平面Rayleigh波入射下饱和土中浅埋隧道复合式衬砌的动力响应

范凯祥; 申玉生; 闻毓民; 黄海峰; 王帅帅; 高波

doi:10.11779/CJGE202203006

平面Rayleigh波入射下饱和土中浅埋隧道复合式衬砌的动力响应 English Version

范凯祥^1,,
申玉生^1, ,,
闻毓民¹,
黄海峰¹,
王帅帅^{1, 2},
高波¹

1.
西南交通大学交通隧道工程教育部重点实验室, 四川成都 610031
2.
中交第二公路工程局有限公司, 陕西西安 710065

基金项目:

国家自然科学基金项目 51778540

国家重点研发计划项目 2019YFC0605104

详细信息

作者简介:
范凯祥(1988—)，男，2011年本科毕业于吉林大学，博士，主要从事隧道抗减震方面的研究。E-mail: fkx_0706@my.swjtu.edu.cn

通讯作者:
申玉生: 许成顺, E-mail: sys1997@163.com

中图分类号: U45
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出版历程
- 收稿日期: 2021-02-22
- 网络出版日期: 2022-09-22
- 刊出日期: 2022-02-28

Dynamic response of composite linings of shallowly buried tunnels in saturated soils subjected to incidence of plane Rayleigh waves

1.
Key Laboratory of Transportation Tunnel Engineering of the Ministry of Education, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China
2.
CCCC Second Highway Engineering Co., Ltd., Xi'an 710065, China

摘要

摘要: 基于Biot波动理论，采用Fourier-Bessel级数展开法，建立了平面Rayleigh波入射下，饱和土中浅埋隧道复合式衬砌的散射力学模型，求解了频域内复合式衬砌的动应力集中系数、孔压集中系数的解析解，通过参数化分析，研究了Rayleigh波在不同入射频率作用下，内衬和外衬的刚度比、厚度比、隧道埋深等因素对复合式衬砌动力响应的影响规律。结果表明，入射频率对复合式衬砌的动应力集中系数和孔压集中系数的空间分布和幅值影响显著；增大内衬和外衬的刚度比、厚度比可以显著降低外衬的动应力集中系数和孔压集中系数，最大降幅可达90%以上，但会显著放大内衬的动应力集中系数，而且超过一定幅值后，对外衬的减震效果影响有限，建议内衬和外衬刚度比取值范围为2~4，厚度比取值范围为1~2；随埋深的增大，内衬的动应力集中系数逐渐降低，Rayleigh波对浅埋隧道动力响应的影响更为显著。研究成果可为水下隧道的抗减震设计提供理论支撑。
- 隧道工程 /
- 饱和土 /
- Rayleigh波 /
- 浅埋隧道 /
- 复合式衬砌 /
- 动力响应
Abstract: Based on the Biot wave theory and the Fourier-Bessel series expansion method, a mechanical model for scattering of composite linings of shallowly buried tunnels in saturated soils subjected to incidence of plane Rayleigh waves is established. The analytical solutions of dynamic stress concentration coefficient, pore pressure concentration coefficient and displacement of saturated soils of the composite linings in frequency domain are solved. Through the parameterization analysis, the influences of the stiffness ratio, thickness ratio and tunnel depth on the dynamic response of the composite linings subjected to Rayleigh waves in different frequencies are studied. The results show that the incident frequency has a significant effect on the dynamic stress concentration coefficient and pore pressure concentration coefficient of the composite linings. Increasing the stiffness ratio and thickness ratio of inner linings to outer linings can significantly reduce the dynamic stress concentration factor and pore pressure concentration factor of the outer linings, and the maximum decrease can be more than 90%, but can significantly amplify the dynamic stress concentration factor of the inner linings, and the impact of shock absorption of the outer linings is limited when the amplitude exceeds a certain value. It is suggested that the stiffness ratio of inner linings to outer linings should be 2~4, and the thickness ratio should be 1~2. With the increase of the buried depth, the dynamic stress concentration coefficient of the inner linings decreases gradually, and the influences of Rayleigh waves on the dynamic response of shallowly buried tunnels are more significant. The results may provide theoretical support for the anti-shock design of underwater tunnels.
- tunnel engineering /
- saturated soil /
- Rayleigh wave /
- shallowly buried tunnel /
- composite lining /
- dynamic response

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0. 引言

土体的流变特性是影响地基长期强度和变形稳定性的关键因素。在实际工程中,土体流变会导致严重的工程事故,例如：20世纪50年代兴建的上海某工业展览馆地面因地基软黏土流变导致在建成当年就下沉60 cm,截至1979年其中央大厅平均沉降已经达到160 cm,造成了巨大的经济损失^[1]。为防止类似事故再次发生,亟需建立更加合理的土体流变模型。

土体的流变可分为与土体体积压缩相关的压缩流变和与土颗粒粒间错动相关的剪切流变^[2]。压缩流变会导致土体压缩,剪切流变会导致土体膨胀。以往学者大多只考虑其中一方面,分别建立了反映体积压缩机制的流变模型^[3-9]和反映剪切膨胀机制的流变模型^[10-13]。双屈服面模型能够全面地描述土体剪缩剪胀特性,因而得到广泛的研究。沈珠江^[14]综合邓肯-张模型和剑桥模型的优点,建立了能够反映特定应力路径的“南水”模型。殷宗泽^[15]提出椭圆-抛物线双屈服面模型,能够较好地反映应力路径的影响和土体剪胀性。上述模型简单、参数易于确定,在岩土工程中得到广泛的应用,但没有考虑土体的时间效应。为了弥补这一缺陷,国内外学者结合双屈服面模型的优点和土的流变特性,建立了一系列双屈服面流变模型。Hsieh等^[16]把加荷时间引入修正剑桥模型椭圆形屈服面和Von Mises模型圆柱形屈服面中,得到了黏性土的应力-应变-时间双屈服面流变模型。Kong等^[17]以塑性剪应变为剪切硬化参数,以各向同性先期固结压力为压缩硬化参数,建立了粗粒土的双屈服面流变模型。詹美礼等^[18]将殷宗泽^[15]弹塑性模型与Merchant模型相结合,建立了双屈服面流变模型。张军辉等^[19]结合广义Bingham模型和椭圆-抛物线双屈服面模型,建立了适用于连云港软土流变特性的双屈服面流变模型。以上流变模型采用的均是真实时间,只要持续时间相同,不同应力历史或应力路径条件下产生的流变变形都是一样的,显然与真实情况不符。若要考虑应力历史和应力路径对流变变形的影响,需要把应变速率引入到流变模型之中^{[5, 9]}。

以往的研究^{[5, 13]}表明,从应力-应变-时间关系式出发,利用等效时间法将应变速率引入流变本构模型中,是一种切实可行的方法。为了采用等效时间法建立新的双屈服面流变模型,本文采用Yin-Graham三维等效时间流变方程^[5]作为第一屈服面流变方程；采用Matsuoka-Nakai屈服准则^[2]作为第二屈服面,根据非相关联流动法则、黏塑性功硬化规律及等效时间法,建立三维应力-黏塑性功-黏塑性功速率关系式,作为第二屈服面流变方程。以第一屈服面反映黏塑性剪缩变形,以第二屈服面反映黏塑性剪胀变形^[20],建立双屈服面三维流变模型。通过Fortran语言编制数值计算程序并在文中给出编程思路,用于模拟加拿大膨润土和香港重塑海相沉积土三轴固结不排水流变试验。结果表明预测值与实测值吻合得较好,说明本文的流变模型在固结不排水流变试验中有很好的适用性。

1. 双屈服面流变本构模型

根据Perzyna过应力模型理论,总应变速率可以分成弹性应变速率和黏塑性应变速率：

$\overset{\cdot}{ε_{i j}} = \overset{\cdot}{ε_{i j}^{e}} + \overset{\cdot}{ε_{i j}^{vp}} = \overset{\cdot}{ε_{i j}^{e}} + \overset{\cdot}{ε_{i j}^{vp1}} + \overset{\cdot}{ε_{i j}^{vp2}} (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3) 。$

(1)

式中 $\overset{\cdot}{ε_{i j}^{e}}$ 为弹性应变速率； $\overset{\cdot}{ε_{i j}^{vp1}}$ 为第一屈服面对应的黏塑性应变速率； $\overset{\cdot}{ε_{i j}^{vp2}}$ 为第二屈服面对应的黏塑性应变速率。

弹性应变速率可以表达为

$\overset{\cdot}{ε_{i j}^{e}} = \frac{κ}{3 V_{0}} \frac{\overset{\cdot}{p^{'}}}{p^{'}} δ_{i j} + \frac{1}{2 G} \overset{\cdot}{S_{i j}},$

(2)

其中,

$G = \frac{3 (1 - 2 ν)}{2 (1 + ν)} \frac{p^{'}}{κ / V_{0}} 。$

(3)

式中 $p^{'}$ 为平均有效应力, $p^{'} = {σ^{'}}_{k k} / 3$ （下标相同代表张量求和）； $S_{i j}$ 为应力偏张量, $S_{i j} = {σ^{'}}_{i j} - p^{'} δ_{i j}$ ； $G$ 为土体的剪切模量； $κ$ 为 $e$ - $\ln p^{'}$ 坐标下的回弹指数； $V_{0} = 1 + e_{0}$ 为土体的初始比容, $e_{0}$ 为初始孔隙比； $δ_{i j}$ 为Kronecker符号（当 $i \neq j$ 时, $δ_{i j} = 0$ ； $i = j$ 时, $δ_{i j} = 1$ ）。

黏塑性应变速率可以由下式计算得到

$\overset{\cdot}{ε_{i j}^{vp}} = S \frac{\partial Q}{\partial σ_{i j}},$

(4)

式中, $S$ 为尺度函数, $Q$ 为黏塑性势函数。

1.1 屈服面方程及其黏塑性势函数

在本文双屈服面模型中,采用修正剑桥模型椭圆形屈服面来反映土体黏塑性剪缩变形,称之为第一屈服面 $F_{1}$ ,屈服函数可表示为

$F_{1} (p^{'}, q) = p^{'} + \frac{q^{2}}{M^{2} p^{'}} - {p^{'}}_{m} = 0 。$

(5)

式中 ${p^{'}}_{m}$ 为等效平均主应力,如图1所示； $M$ 为临界状态应力比, $M = 6 \sin φ^{'} / (3 - \sin φ^{'})$ , $φ^{'}$ 为有效内摩擦角； $q$ 为广义剪应力, $q = {(3 / 2 S_{i j} S_{i j})}^{1 / 2}$ 。

图 1 双屈服面模型

Figure 1. Double-yield surface model

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对于第一屈服面 $F_{1}$ ,采用相关联流动法则^[5],有 $Q_{1} (p^{'}, q) = F_{1} (p^{'}, q)$ 。故第一屈服面黏塑性势函数为

$Q_{1} (p^{'}, q) = p^{'} + \frac{q^{2}}{M^{2} p^{'}} - {p^{'}}_{m} = 0 。$

(6)

采用Matsuoka-Nakai屈服准则来反映土体黏塑性剪胀变形,相应屈服面称之为第二屈服面 $F_{2}$ ,屈服函数可表示为

$F_{2} (I_{1}, I_{2}, I_{3}, k) = I_{1} I_{2} - k I_{3} = 0 。$

(7)

式（7）也可以用 $p^{'}$ , $q$ , $θ_{σ}$ 形式表示为

$F_{2} = 2 q^{3} \sin (3 θ_{σ}) + 9 (1 - \frac{3}{k}) p^{'} q^{2} + 27 (\frac{9}{k} - 1) {p^{'}}^{3} = 0 。$

(8)

其中,

$θ_{σ} = \frac{1}{3} \arcsin (- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{J_{3}}{J_{2}^{3 / 2}}),$

(9)

式中, $k$ 为屈服函数参数, $θ_{σ}$ 为应力洛德角, $J_{2}$ 为应力偏张量第二不变量, $J_{3}$ 为应力偏张量第三不变量。

胡亚元^[21]从耗散空间和真实空间关系角度出发,证明了Matsuoka-Nakai屈服准则与塑性应变增量之间必须服从非相关联流动法则。故对于第二屈服面 $F_{2}$ ,采用非相关联流动法则,即塑性势面 $Q_{2}$ 与屈服面 $F_{2}$ 不一致。假定黏塑性势函数同屈服函数具有相同的形式^[22],故第二屈服面黏塑性势函数为

$Q_{2} = 2 q^{3} \sin (3 θ_{σ}) + 9 (1 - \frac{3}{k_{1}}) p^{'} q^{2} + 27 (\frac{9}{k_{1}} - 1) {p^{'}}^{3} = 0,$

(10)

式中, $k_{1}$ 为黏塑性势函数参数。试验表明,黏塑性势函数参数 $k_{1}$ 与屈服函数参数 $k$ 之间存在下列关系：

$k_{1} = A k + 9 (1 - A),$

(11)

式中, $A$ 为试验待测常数。

1.2 第一屈服面三维流变本构关系

Yin等^[5]以修正剑桥模型椭圆形屈服面为屈服面函数,以体应变为硬化参数建立了基于等效时间的三维流变模型,简称Yin-Graham模型,可以较好地反映土体剪缩特性。本文第一屈服面流变方程沿用这一研究成果,稍作变换,改用黏塑性体应变为硬化参数,则第一屈服面对应的黏塑性体应变速率为

${\dot{ε}}_{v}^{vp1} = \frac{ψ}{V_{0} t_{0}} \exp [- (ε_{v}^{vp1} - ε_{vo}^{vp1}) \frac{V_{0}}{ψ}] {(\frac{{p^{'}}_{m}}{{p^{'}}_{mo}})}^{\frac{λ - κ}{ψ}} 。$

(12)

式中 $λ$ 为 $e - \ln p^{'}$ 坐标下压缩指数； $ψ$ 为土体次压缩指数； $ε_{vo}^{vp1}$ 为 ${p^{'}}_{m} = {p^{'}}_{mo}$ 时对应的黏塑性体应变； $t_{0}$ 为参考时间； ${p^{'}}_{m}$ 为等效平均主应力,可由式（5）求得

${p^{'}}_{m} = p^{'} + \frac{q^{2}}{M^{2} p^{'}} 。$

(13)

根据式（4）,（6）可以得到第一屈服面 $F_{1}$ 对应的黏塑性体应变速率 $\overset{\cdot}{ε_{v}^{vp1}}$ 和黏塑性剪应变速率 $\overset{\cdot}{ε_{s}^{vp2}}$ ：

${\dot{ε}}_{v}^{vp1} = S^{（ 1 ）} \frac{\partial Q_{1}}{\partial p^{'}} = S^{（ 1 ）} (2 p^{'} - {p^{'}}_{m}),$

(14)

${\dot{ε}}_{s}^{vp1} = S^{（ 1 ）} \frac{\partial Q_{1}}{\partial q} = S^{（ 1 ）} \frac{2 q}{M^{2}} 。$

(15)

将式（14）代入式（12）中,可以求得

$S^{（ 1 ）} = \frac{ψ}{V_{0} t_{0}} \exp [- (ε_{v}^{vp1} - ε_{vo}^{vp1}) \frac{V_{0}}{ψ}] {(\frac{{p^{'}}_{m}}{{p^{'}}_{mo}})}^{\frac{λ - κ}{ψ}} \frac{1}{| 2 p^{'} - {p^{'}}_{m} |} 。$

(16)

将式（16）代入式（15）中即可得到与第一屈服面对应的黏塑性剪应变速率：

${\dot{ε}}_{s}^{vp1} = \frac{ψ}{V_{0} t_{0}} \exp [- (ε_{v}^{vp1} - ε_{vo}^{vp1}) \frac{V_{0}}{ψ}] {(\frac{{p^{'}}_{m}}{{p^{'}}_{mo}})}^{\frac{λ - κ}{ψ}} \frac{2 q / M^{2}}{| 2 p^{'} - {p^{'}}_{m} |} 。$

(17)

1.3 第二屈服面三维流变本构关系

第二屈服面 $F_{2}$ 采用黏塑性功硬化规律。当不考虑时间因素时,黏塑性功退化为塑性功。这时硬化规律可表示为

$k = H (W^{p}) 。$

(18)

研究表明^[22],当 $k$ 值超过某一值 $k_{t}$ 时, $(k - k_{t})$ 值与塑性功可近似表示为双曲线关系,其表达式为

$k - k_{t} = \frac{W^{p}}{a + b W^{p}} 。$

(19)

式中, $k_{t}$ 为试验待测常数。加拿大膨润土试验资料^[23]表明 $k_{t}$ 为略大于9的常数, $a = 1 / E_{i}$ , $b = 1 / {(k - k_{t})}_{ult}$ 。各参数含义如图2所示。

图 2

$(k - k_{t})$ 与

$W^{p}$ 关系图

Figure 2. Relationship between

$(k - k_{t})$ and

$W^{p}$

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根据式（19）可以求出塑性功 $W^{p}$ 与 $k - k_{t}$ 关系式：

$W^{p} = \frac{k - k_{t}}{E_{i} [1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}}]} 。$

(20)

式（20）就是忽略时间因素时,黏塑性功与应力之间的关系式。为了考虑土体流变特性,需要将时间因素加入到式（20）中。参照Mesri^[10]建立土的剪切应力-应变-时间关系模型的思路,得到

$W^{vp2} = \frac{k - k_{t}}{E_{i} [1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}}]} {(\frac{t_{e} + t_{r}}{t_{r}})}^{m},$

(21)

式中, $t_{r}$ 为参考时间, $t_{e}$ 为蠕变时间。

式（21）为应力-黏塑性功-蠕变时间关系式,需要通过流变试验来证明其合理性。Yin针对加拿大膨润土做了一系列三轴不排水流变试验^[23],可以根据试验数据绘出 $\ln (W^{vp2})$ 与 $\ln [(t_{r} + t_{e}) / t_{r}]$ 之间的关系,如图3所示（取 $t_{r}$ =24 h）。

图 3

$\ln (W^{vp2})$ 与

$l n [(24 + t_{e}) / 24]$ 关系图

Figure 3. Relationship between

$\ln (W^{vp2})$ and

$l n [(24 + t_{e}) / 24]$

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从图3中可以发现： $\ln (W^{vp2})$ 与 $\ln [(t_{r} + t_{e}) / t_{r}]$ 之间呈线性关系,由此证明式（21）是合理的。

对式（21）两边关于时间进行求导,可以得到

$\overset{\cdot}{W^{vp2}} = \frac{k - k_{t}}{E_{i} [1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}}]} \frac{m {(t_{e} + t_{r})}^{m - 1}}{{(t_{r})}^{m}} 。$

(22)

结合式（21）,（22）,可以得到

${\dot{W}}^{vp2} = \frac{m W^{vp2}}{(t_{e} + t_{r})} 。$

(23)

根据式（21）又可得

$t_{e} = t_{r} {[\frac{E_{i} (1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}}) (W^{vp2})}{k - k_{t}}]}^{\frac{1}{m}} - t_{r},$

(24)

将式（24）代入式（22）中得

${\dot{W}}^{vp2} = \frac{m}{t_{r}} {[\frac{k - k_{t}}{E_{i} (1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}})}]}^{\frac{1}{m}} {(W^{vp2})}^{\frac{m - 1}{m}} 。$

(25)

注意到在上述推导过程中,与文献[5, 9]类似,黏塑性功速率式（25）是以蠕变时间 $t_{e}$ 为桥梁间接获得的。鉴于 $t_{e}$ 在获得黏塑性功速率表达式过程中的作用,与文献[5]一样,把它称之为等效时间。

根据式（23）变换得

$t_{e} = \frac{m W^{vp2}}{{\dot{W}}^{vp2}} - t_{r} 。$

(26)

式（26）表明：当黏塑性功及黏塑性功速率给定时,等效时间 $t_{e}$ 会随着参考时间 $t_{r}$ 选取的不同而发生变化,不利于模型参数在不同参考时间之间的转化,限制了流变模型在实际工程中的运用。为了弥补这一不足,需要引入绝对等效时间的概念^[13],本文将等效时间 $t_{e}$ 与参考时间 $t_{r}$ 之和定义为绝对等效时间 $t_{a}$ ,可写为

$t_{a} = t_{e} + t_{r} 。$

(27)

将式（27）代入到式（26）中得

$t_{a} = \frac{m W^{vp2}}{{\dot{W}}^{vp2}} 。$

(28)

式（28）表明：绝对等效时间与黏塑性功速率成一一对应关系,绝对等效时间不会随着参考时间选取的不同而不同。由于绝对等效时间具有这一优点,在数值求解和实际工程中,相比于以一般等效时间建立的方程,以绝对等效时间建立的流变方程应用时更加方便。这也是文献[13]把 $t_{a}$ 称为绝对等效时间的原因。本文第二屈服面等效时间示意图如图4所示。

图 4 等效时间线示意图

Figure 4. Schematic diagram of equivalent time line

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将式（27）代入式（21）中,得到

$W^{vp2} = \frac{k - k_{t}}{E_{i} [1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}}]} {(\frac{t_{a}}{t_{r}})}^{m} 。$

(29)

式（29）为应力-黏塑性功-绝对等效时间的唯一性关系方程。

根据式（4）,（10）,可以得到第二屈服面 $F_{2}$ 对应的黏塑性体应变速率 ${\dot{ε}}_{v}^{vp2}$ 和黏塑性剪应变速率 ${\dot{ε}}_{s}^{vp2}$ ：

${\dot{ε}}_{v}^{vp2} = S^{（ 2 ）} \frac{\partial Q_{2}}{\partial p^{'}} = S^{（ 2 ）} [9 (1 - \frac{3}{k_{1}}) q^{2} + 81 (\frac{9}{k_{1}} - 1) {p^{'}}^{2}],$

(30)

$\begin{array}{l} {\dot{ε}}_{s}^{vp2} = S^{（ 2 ）} {[{(\frac{\partial Q_{2}}{\partial q})}^{2} + {(\frac{1}{q} \frac{\partial Q_{2}}{\partial θ_{σ}})}^{2}]}^{1 / 2} \\ = S^{（ 2 ）} {{[6 q^{2} \sin (3 θ_{σ}) + 18 (1 - \frac{3}{k_{1}}) p^{'} q]}^{2} + {[6 q^{2} c o s (3 θ_{σ})]}^{2}}^{1 / 2} 。 \end{array}$

(31)

黏塑性功速率等于应力与应变速率乘积：

$\begin{matrix} {\dot{W}}^{vp2} = p^{'} {\dot{ε}}_{v}^{vp2} + S_{i j} {\dot{e}}_{i j}^{vp2} = p^{'} {\dot{ε}}_{v}^{vp2} + q {\dot{ε}}_{v}^{vp2} \cos (θ_{σ} - θ_{{\dot{ε}}^{vp2}}) \\ = S^{（ 2 ）} (p^{'} \frac{\partial Q_{2}}{\partial p^{'}} + q \frac{\partial Q_{2}}{\partial q}) 。 \end{matrix}$ 。

(32)

式中 $e_{i j}^{vp}$ 为黏塑性应变偏张量； $θ_{{\dot{ε}}^{vp j}}$ ( $j = 1, 2$ )分别为两个屈服面对应的应变增量洛德角,可以用 $θ_{σ}$ 来表示：

$θ_{{\dot{ε}}^{vp j}} = \arctan (\frac{\sin θ_{σ} \frac{\partial Q_{j}}{\partial q} + \cos θ_{σ} \frac{1}{q} \frac{\partial Q_{j}}{\partial θ_{σ}}}{\cos θ_{σ} \frac{\partial Q_{j}}{\partial q} - \sin θ_{σ} \frac{1}{q} \frac{\partial Q_{j}}{\partial θ_{σ}}}) (j = 1, 2) 。$

(33)

结合式（10）,（32）,得到

$\begin{matrix} {\dot{W}}^{vp2} = S^{（ 2 ）} [6 q^{3} \sin (3 θ_{σ}) + 27 (1 - \frac{3}{k_{1}}) p^{'} q^{2} + 81 (\frac{9}{k_{1}} - 1) {p^{'}}^{3}] \\ = 3 S^{（ 2 ）} Q_{2} 。 \end{matrix}$ 。

(34)

将式（25）代入式（34）中,可以求得

$S^{（ 2 ）} = \frac{1}{3 Q_{2}} \frac{m}{t_{r}} {[\frac{k - k_{t}}{E_{i} (1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}})}]}^{\frac{1}{m}} {(W^{vp2})}^{\frac{m - 1}{m}} 。$

(35)

将式（35）代入式（30）,（31）中即可得到与第二屈服面对应的黏塑性体应变速率及黏塑性剪应变速率：

$\begin{matrix} {\dot{ε}}_{v}^{vp2} = \frac{m}{t_{r}} {[\frac{k - k_{t}}{E_{i} (1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}})}]}^{\frac{1}{m}} {(W^{vp2})}^{\frac{m - 1}{m}} \cdot \\ \frac{3 (1 - \frac{3}{k_{1}}) q^{2} + 27 (\frac{9}{k_{1}} - 1) {p^{'}}^{2}}{2 q^{3} \sin (3 θ_{σ}) + 9 (1 - \frac{3}{k_{1}}) p^{'} q^{2} + 27 (\frac{9}{k_{1}} - 1) {p^{'}}^{3}}, \end{matrix}$

(36)

$\begin{array}{l} {\dot{ε}}_{s}^{vp2} = \frac{m}{t_{r}} {[\frac{k - k_{t}}{E_{i} (1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}})}]}^{\frac{1}{m}} {(W^{vp2})}^{\frac{m - 1}{m}} \cdot \\ \frac{{{[6 q^{2} \sin (3 θ_{σ}) + 18 (1 - \frac{3}{k_{1}}) p^{'} q]}^{2} + {[6 q^{2} c o s (3 θ_{σ})]}^{2}}^{1 / 2}}{6 q^{3} \sin (3 θ_{σ}) + 27 (1 - \frac{3}{k_{1}}) p^{'} q^{2} + 81 (\frac{9}{k_{1}} - 1) {p^{'}}^{3}} 。 \end{array}$

(37)

1.4 双屈服面三维流变本构关系

按照双屈服面模型理论,将以上第一屈服面三维流变方程与第二屈服面三维流变方程结合起来,建立双屈服面三维流变本构关系。

根据土的应力应变特性^[24],应力偏张量主值 $S_{i}$ ( $i = 1, 2, 3$ )可由式（38）求出；主应变速率 ${\dot{ε}}_{i}$ ( $i = 1, 2, 3$ )可由式（39）求得

$S_{i} = \frac{2}{3} q \sin [θ_{σ} + \frac{(4 - 2 i) π}{3}] (i = 1, 2, 3),$

(38)

${\dot{ε}}_{i} = {\dot{e}}_{i} + {\dot{ε}}_{m} = \frac{{\dot{ε}}_{v}}{3} + {\dot{ε}}_{s} \sin [θ_{{\dot{ε}}^{vp}} + \frac{(4 - 2 i) π}{3}] (i = 1, 2, 3),$

(39)

式中, $e_{i}$ ( $i = 1, 2, 3$ )为应变偏张量主值, $ε_{m}$ 为平均应变。

根据式（1）,（2）,（39）可以求得一点主应变速率表达式：

$\begin{matrix} {\dot{ε}}_{1} = \frac{κ}{3 V_{0}} \frac{p^{'}}{p^{'}} + \frac{1}{2 G} {\dot{S}}_{1} + \frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp1}}{3} + {\dot{ε}}_{s}^{vp1} \sin (θ_{{\dot{ε}}^{vp1}} + \frac{2 π}{3}) + \\ \frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp2}}{3} + {\dot{ε}}_{s}^{vp2} \sin (θ_{{\dot{ε}}^{vp2}} + \frac{2 π}{3}), \end{matrix}$

(40)

$\begin{matrix} {\dot{ε}}_{2} = \frac{κ}{3 V_{0}} \frac{\dot{p^{'}}}{p^{'}} + \frac{1}{2 G} {\dot{S}}_{2} + \frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp1}}{3} + {\dot{ε}}_{s}^{vp1} \sin (θ_{{\dot{ε}}^{vp1}}) + \\ \frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp2}}{3} + {\dot{ε}}_{s}^{vp2} \sin (θ_{{\dot{ε}}^{vp2}}), \end{matrix}$

(41)

$\begin{matrix} {\dot{ε}}_{3} = \frac{κ}{3 V_{0}} \frac{\dot{p^{'}}}{p^{'}} + \frac{1}{2 G} {\dot{S}}_{3} + \frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp1}}{3} + {\dot{ε}}_{s}^{vp1} \sin (θ_{{\dot{ε}}^{vp1}} - \frac{2 π}{3}) + \\ \frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp2}}{3} + {\dot{ε}}_{s}^{vp2} \sin (θ_{{\dot{ε}}^{vp2}} - \frac{2 π}{3}) 。 \end{matrix}$

(42)

由式（40）～（42）可以求得 ${\dot{ε}}_{1}$ , ${\dot{ε}}_{2}$ , ${\dot{ε}}_{3}$ ,分别对时间进行积分,可以得到 $ε_{1}$ , $ε_{2}$ , $ε_{3}$ ,然后由下式（43）、式（44）即可分别求得

$ε_{v} = ε_{1} + ε_{2} + ε_{3},$

(43)

$ε_{s} = \frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{{(ε_{1} - ε_{2})}^{2} + {(ε_{2} - ε_{3})}^{2} + {(ε_{3} - ε_{1})}^{2}} 。$

(44)

式（40）～（42）适用于主应力方向恒定加卸载时的任何应力状态。对于常规三轴试验,应力满足 $σ_{2} = σ_{3}$ ,有 $θ_{σ} = - π/6$ ,由式（33）求得 $θ_{{\dot{ε}}^{vp1}} = θ_{{\dot{ε}}^{vp2}} =$ $- π/6$ 。此时对式（38）进行求导,得到

${\dot{S}}_{i} = \frac{2}{3} \dot{q} \sin [- \frac{π}{6} + \frac{(4 - 2 i) π}{3}] (i = 1, 2, 3) 。$

(45)

将式（45）及 $θ_{σ} = θ_{{\dot{ε}}^{vp1}} = θ_{{\dot{ε}}^{vp2}} = - π/6$ 代入式（40）～（42）中,得到常规三轴试验应力条件下主应变速率表达式：

${\dot{ε}}_{1} = \frac{κ}{3 V_{0}} \frac{\dot{p^{'}}}{p^{'}} + \frac{\dot{q}}{3 G} + (\frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp1}}{3} + {\dot{ε}}_{s}^{vp1}) + (\frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp2}}{3} + {\dot{ε}}_{s}^{vp2}),$

(46)

${\dot{ε}}_{2} = \frac{κ}{3 V_{0}} \frac{\dot{p^{'}}}{p^{'}} - \frac{\dot{q}}{6 G} + (\frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp1}}{3} - \frac{1}{2} {\dot{ε}}_{s}^{vp1}) + (\frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp2}}{3} - \frac{1}{2} {\dot{ε}}_{s}^{vp2}),$

(47)

${\dot{ε}}_{3} = \frac{κ}{3 V_{0}} \frac{\dot{p^{'}}}{p^{'}} - \frac{q}{6 G} + (\frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp1}}{3} - \frac{1}{2} {\dot{ε}}_{s}^{vp1}) + (\frac{{\dot{ε}}_{v}^{vp2}}{3} - \frac{1}{2} {\dot{ε}}_{s}^{vp2}) 。$

(48)

由式（46）～（48）可求得常规三轴试验应力条件下双屈服面流变模型的体应变速率 ${\dot{ε}}_{v}$ 和剪应变速率 ${\dot{ε}}_{s}$ 为

$\begin{matrix} {\dot{ε}}_{v} = \frac{κ}{V_{0}} \frac{\dot{p^{'}}}{p^{'}} + {\dot{ε}}_{v}^{vp1} + {\dot{ε}}_{v}^{vp2} \\ = \frac{κ}{V_{0}} \frac{\dot{p^{'}}}{p^{'}} + S^{（ 1 ）} (2 p^{'} - {p^{'}}_{m}) + S^{（ 2 ）} [9 (1 - \frac{3}{k_{1}}) q^{2} + 81 (\frac{9}{k_{1}} - 1) {p^{'}}^{2}] 。 \end{matrix}$

(49)

$\begin{matrix} {\dot{ε}}_{s} = \frac{\dot{q}}{3 G} + {\dot{ε}}_{s}^{vp1} + {\dot{ε}}_{s}^{vp2} \\ = \frac{\dot{q}}{3 G} + S^{(1)} \frac{2 q}{M^{2}} + S^{(2)} [- 6 q^{2} + 18 (1 - \frac{3}{k_{1}}) p^{'} q] 。 \end{matrix}$

(50)

式中, $S^{（ 1 ）}$ 及 $S^{（ 2 ）}$ 分别由式（16）及式（35）求得。将式（49）,（50）对时间进行积分即可求出 $ε_{v}$ , $ε_{s}$ 。

2. 模型参数确定

从以上公式中可以看出,双屈服面三维流变模型的参数包括有效内摩擦角 $φ^{'}$ ,泊松比 $ν$ , $e - \ln p^{'}$ 坐标下压缩指数 $λ$ 、回弹指数 $κ$ ,次压缩指数 $ψ$ ,比容 $V_{0} (V_{0} = 1 + e_{0})$ ,第一屈服面参考时间 $t_{0}$ ,第一屈服面应力初值 ${p^{'}}_{mo}$ ,黏塑性应变初值 $ε_{vo}^{vp1}$ ,黏塑性指数 $m$ ,第二屈服面参考时间 $t_{r}$ ,剪切硬化功参数 ${(k - k_{t})}_{ult}$ , $E_{i}$ ,剪切塑性势参数 $A$ ,这些模型参数均可以由常规试验求得。

首先,以无侧限压缩试验确定泊松比 $ν$ ,以三轴固结排水剪切试验确定有效内摩擦角 $φ^{'}$ 。

其次,根据三轴等向压缩流变试验确定与第一屈服面相关的模型参数 $t_{0}$ , $λ$ , $κ$ , $ψ$ , $V_{0}$ , ${p^{'}}_{mo}$ 和 $ε_{vo}^{vp1}$ 。在三轴等压应力状态下 $q = 0$ ,只有第一屈服面引起的黏塑性应变而无第二屈服面引起的黏塑性应变。此时,双屈服面三维流变模型退化为Yin-Graham流变模型,由此可以确定与第一屈服面相关的模型参数 $t_{0}$ , $λ$ , $κ$ , $ψ$ , $V_{0}$ , ${p^{'}}_{mo}$ 和 $ε_{vo}^{vp1}$ ,具体确定方法可以参照文献[5]。Yin等^[5]研究后认为,这些参数与常用土工力学参数具有相似性,若无三轴等向压缩流变试验数据,可以参照常规24 h固结试验确定的压缩系数 $C_{c}$ 、卸载/再加载系数 $C_{r}$ 、次固结系数 $C_{α e}$ 、先期固结压力 ${p^{'}}_{c}$ 及相应应变 $ε_{vc}^{vp}$ 按如下公式近似确定：

$\begin{array}{l} κ = \frac{C_{r}}{\ln 10}, λ = \frac{C_{c}}{\ln 10} \\ {p^{'}}_{mo} = {p^{'}}_{c}, ε_{vo}^{vp1} = ε_{vc}^{vp} \\ ψ = \frac{C_{α e}}{\ln 10}, t_{0} = t_{24} 。 \end{array}}$

(51)

最后,根据三轴剪切流变试验确定与第二屈服面相关的模型参数 $t_{r}$ , $m$ , ${(k - k_{t})}_{ult}$ , $E_{i}$ 和 $A$ 。在三轴剪切流变试验中,试验测定的是总应变,它包含弹性应变、第一和第二屈服面对应的黏塑性应变三项。弹性应变可以根据弹性应变公式（2）确定；第一屈服面黏塑性应变根据上述第一屈服面对应的模型参数按照式（12）及式（17）计算得出。总应变减去弹性应变和第一屈服面对应的黏塑性应变,即可得到第二屈服面对应的黏塑性应变。按照黏塑性功公式可以获得每一时刻的黏塑性功 $W^{vp2}$ ,根据黏塑性功随时间变化数据确定第二屈服面相关的模型参数 $t_{r}$ , $m$ , ${(k - k_{t})}_{ult}$ , $E_{i}$ 和 $A$ 。具体确定方法如下：

对式（21）适当进行变形得

$\ln W^{vp2} = \ln W_{o}^{vp2} + m l n \frac{t_{a}}{t_{r}},$

(52)

其中,

$W_{o}^{vp2} = \frac{k - k_{t}}{E_{i} [1 - \frac{(k - k_{t})}{{(k - k_{t})}_{ult}}]} 。$

(53)

对式（53）适当变形得

$\frac{1}{W_{o}^{vp2}} = E_{i} \frac{1}{k - k_{t}} - \frac{E_{i}}{{(k - k_{t})}_{ult}} 。$

(54)

根据上述黏塑性功随时间变化数据,在 $l n (t_{a} / t_{r})$ - $\ln (W^{vp2})$ 坐标系中绘制数据点,根据式（52）通过线性回归获得 $m$ 及 $W_{o}^{vp2}$ 。如图5所示,不同剪应力 $q$ 可以获得不同截距值 $\ln (W_{o}^{vp2})$ 。

图 5

$\ln (W^{vp2})$ 与

$l n (t_{a} / t_{r})$ 关系图

Figure 5. Relationship between

$\ln (W^{vp2})$ and

$l n (t_{a} / t_{r})$

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然后根据式（54）,以 $1 / (k - k_{t})$ 为自变量, $1 / W_{o}^{vp2}$ 为因变量进行线性回归,获得回归直线斜率 $E_{i}$ 及截距 $E_{i} / {(k - k_{t})}_{ult}$ ,由此可以得到模型参数 $E_{i}$ 及 ${(k - k_{t})}_{ult}$ 。

在三轴试验中,根据流动法则,可以得到

$d ε_{3}^{vp2} = S^{（ 2 ）} \frac{\partial Q_{2}}{\partial σ_{3}} d t = S^{（ 2 ）} [I_{2} + I_{1} (σ_{1} + σ_{3}) - k_{1} σ_{1} σ_{3}] d t,$

(55)

$d ε_{1}^{vp2} = S^{（ 2 ）} \frac{\partial Q_{2}}{\partial σ_{1}} d t = S^{（ 2 ）} [I_{2} + I_{1} (2 σ_{3}) - k_{1} σ_{3} σ_{3}] d t 。$

(56)

在三轴压缩状态下,依据试验测定的 $d ε_{1}^{vp2}$ 和 $d ε_{3}^{vp2}$ ,定义黏塑性泊松比 $ν^{vp}$ 为

$ν^{vp} = - \frac{d ε_{3}^{vp2}}{d ε_{1}^{vp2}} 。$

(57)

将式（55）,（56）代入式（57）中,可以得到

$k_{1} = \frac{(I_{2} + I_{1} σ_{3}) (1 + ν^{vp})}{σ_{3} (σ_{1} + ν^{vp} σ_{3})} + \frac{I_{1}}{σ_{3}} 。$

(58)

在计算出 $k_{1}$ 值后,可由式（7）求出 $k$ ,可以发现 $k_{1}$ 与 $k$ 是一一对应的。试验资料表明塑性势函数参数 $k_{1}$ 与屈服函数参数 $k$ 存在线性关系,如式（11）所示,可以由此求出土样对应的 $A$ 值。

3. Fortran程序编制

通过目前广泛应用的4阶Rung-Kutta方法将本文建立的双屈服面三维流变模型中微分公式用差分公式形式表示,接着利用Fortran语言在计算机中编制计算程序,用于获得数值解。双屈服面三维流变本构模型程序在Fortran中编写思路如图6所示。

图 6 Fortran程序框图

Figure 6. Flow chart of Fortran

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4. 算例验证

上文建立了双屈服面三维流变模型并给出了模型参数确定方法及数值计算程序编写思路,本节将通过加拿大膨润土及香港重塑海相沉积土三轴固结不排水流变试验来验证模型的合理性。

4.1 加拿大膨润土流变试验

Yin^[23]针对加拿大膨润土（Canada bentonite,简称CB）进行了一系列常规三轴固结不排水流变试验。试样初始有效围压为2460 kPa,剪应力加载方式为多级加载。试验土样主要物理力学性质见表1。部分模型参数Yin^[23]已给出,见表2。

表 1 试样的物理特性指标^[23]

Table 1. Physical properties of sample

土样	重度/(kN·m^-3)	含水率/%	饱和度/%	土粒相对密度	比容V₀	泊松比 $ν$
CB	16.46	22.3	99.4	2.70	1.609	0.3

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表 2 部分模型参数^[23]

Table 2. Part of model parameters

$φ^{'}$ /(°)	$λ / V_{0}$	$κ / V_{0}$	$ψ / V_{0}$	${p^{'}}_{mo}$ /kPa	t₀/h	$ε_{vo}^{vp1}$
15	0.05	0.025	0.0025	1900.77	24	0

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当不考虑第二屈服面时,本文双屈服面流变模型退化为Yin-Graham模型,图7给出了试验实测值、双屈服面流变模型预测值及Yin-Graham模型预测值之间的对比。

图 7 实测与预测结果对比

Figure 7. Comparison between measured and predicted results

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从图7中可以发现,在三轴剪切流变试验中,当剪应力较大时,Yin-Graham模型预测的剪应变普遍偏小,并且剪应力越大,模型预测值与实测值之间差别越大,这是由于Yin-Graham模型缺少反映剪胀机制的第二屈服面导致的。为了弥补这部分变形的缺失,本文在Yin-Graham模型基础上增加反映剪胀机制的第二屈服面,对应的模型参数 $m$ , ${(k - k_{t})}_{ult}$ , $E_{i}$ 和 $A$ 可以按照第2节介绍方法确定。 $\ln (W^{vp2})$ - $l n (t_{a} / t_{r})$ 关系见图3,参数 $m$ 取图3中3条直线斜率平均值 $m$ = 0.02018。其余参数值为： ${(k - k_{t})}_{ult}$ =0.7685, $A$ =0.42, $E_{i}$ =0.0317。第二屈服面对应模型参数如表3所示。

表 3 模型参数

Table 3. Model parameters

m	(k-k_t)_ult	E_i	A	t_r/h
0.02018	0.7658	0.0317	0.42	24

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在求出模型参数后,按第3节介绍方法利用Fortran语言编制程序进行数值计算,对上述固结不排水剪切流变试验进行模拟,模拟结果如图8,9所示。

图 8 剪应变与时间关系图

Figure 8. Relationship between shear strain and time

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图 9

$p^{'}$ -

$q$ 空间有效应力路径图

Figure 9. Effective stress paths in

$p^{'}$ -

$q$ space

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从图8中可以看出,剪应变随着剪应力的增加而增加,当剪应力较大土样接近破坏时,剪应变增长速度明显加快。当剪应力给定时,在试样达到破坏前,剪应变在剪应力施加初始阶段内迅速增加,但随着时间的增长剪应变增加速度明显放缓。从图8,9中可以看出,无论是剪应变与时间关系还是 $p^{'}$ - $q$ 空间有效应力路径,基于等效时间的双屈服面三维流变模型都可以较好地拟合试验数据。图7也给出了本文所建立的双屈服面三维流变模型预测值,并与Yin-Graham模型预测值及实测值进行对比。从图7中可以发现,当剪应力水平较低时两种模型预测结果都较好；当剪应力水平较高土体接近破坏时,双屈服面三维流变模型因充分反映了剪应力对流变发展过程的影响,故拟合的更好,这是Yin-Graham流变模型没能体现的。

4.2 香港重塑海相沉积土流变试验

Zhu^[25]针对香港重塑海相沉积土（remoulded Hong Kong marine deposits,简称RHKMD）进行了一系列三轴固结不排水流变试验,试验围压为400 kPa,剪应力加载方式为单级加载。土样主要物理力学性质见表4。按照第2节介绍的方法确定模型参数,见表5。

表 4 试样物理特性指标

Table 4. Physical properties of sample

土样	含水率/%	饱和度/%	土粒相对密度	比容V₀	泊松比 $ν$
RHKMD	48.3	98	2.66	2.216	0.3

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表 5 模型参数

Table 5. Model parameters

$λ / V_{0}$	$κ / V_{0}$	$ψ / V_{0}$	${p^{'}}_{mo}$ /kPa	t₀/h	$ε_{vo}^{vp1}$
0.0793	0.018	0.0025	15.2	24	0
$φ^{'}$	m	${(k - k_{t})}_{ult}$	E_i	A	t_r/h
31.5°	0.0328	4.003	0.2565	0.58	24

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图10为剪应变实测值与模型预测值对比图,图11为实测及模型预测 $p^{'}$ - $q$ 关系对比图。从图10,11中可见,模型预测结果与实测结果较为吻合,说明基于等效时间的双屈服面三维流变模型能够较好地模拟单级加载三轴固结不排水剪切流变试验,进一步验证了本文所提模型合理性。

图 10 剪应变与时间关系图

Figure 10. Relationship between shear strain and time

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图 11

$p^{'}$ -

$q$ 空间有效应力路径图

Figure 11. Effective stress paths in

$p^{'}$ -

$q$ space

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5. 结论

本文以Yin-Graham三维流变方程作为第一屈服面流变方程,以新建立的三维流变方程作为第二屈服面流变方程,将二者相结合建立了双屈服面三维流变模型,得到以下3点结论。

（1）以Matsuoka-Nakai屈服准则为第二屈服面,根据非相关联流动法则,以黏塑性功为硬化参数,借鉴Mesri建模思路构建应力-黏塑性功-时间关系,利用等效时间法得到应力-黏塑性功-黏塑性功速率关系式,以便考虑应力历史及应力路径的作用。然后采用Perzyna过应力理论建立了反映土体剪胀特性的第二屈服面三维流变方程。

（2）根据双屈服面模型理论,以Yin-Graham三维流变方程为反映剪缩的第一屈服面流变方程,以本文新建立的三维流变方程为反映剪胀的第二屈服面流变方程,建立了双屈服面三维流变模型。新的双屈服面流变模型考虑了黏塑性应变速率效应,克服了以往基于真实时间流变模型无法考虑应力历史及应力路径的缺陷；并且考虑了土体剪缩、剪胀特性,克服了单一屈服面流变模型只能考虑剪缩（或剪胀）的缺陷。

（3）按照经典的4阶Rung-Kutta方法,通过Fortran语言,编制了本构模型计算程序。在固结不排水条件下,应用计算程序数值分析了常规三轴试验多级加载和单级加载的流变发展过程,并把计算预测值与两种不同场地的软土流变试验实测值进行了对比分析。结果表明,双屈服面三维流变模型能够较好地反映土体的流变特性。特别是可以较好地反映较高应力水平下土体接近破坏时的流变现象。

图 1 力学模型

Figure 1. Mechanical model

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图 2 地表正规化位移

Figure 2. Normalized displacements of surface

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图 3 变刚度复合式衬砌动应力集中系数和孔压集中系数

Figure 3. DSCF and PPCF of composite linings with variable stiffnesses

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图 4 汶川地震龙溪隧道开裂

Figure 4. Cracking of Longxi tunnel in Wenchuan earthquake

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图 5 内衬和外衬刚度比对复合式衬砌动应力集中系数和孔压集中系数的影响

Figure 5. Influences of stiffness ratio on DSCF and PPCF of composite lining

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图 6 变厚度复合式衬砌动应力和孔压集中系数

Figure 6. DSCF and PPCF of composite linings with variable thicknesses

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图 7 内衬和外衬厚度比对复合式衬砌动应力集中系数和孔压集中系数的影响

Figure 7. Influences of thickness ratio on DSCF and PPCF of composite lininges

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图 8 隧道埋深对复合式衬砌动应力集中系数和孔压集中系数的影响

Figure 8. Influences of buried depth on DSCF and PPCF of composite linings

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