Numerical study on dynamic crack propagation of brittle materials by discontinuous deformation analysis
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摘要: 非连续变形分析方法(DDA)属于隐式离散元法，通过引入虚拟节理可以模拟材料从连续到破坏全过程。尝试将DDA方法应用于脆性材料动态裂纹扩展问题。采用基于Voronoi多边形离散的DDA方法进行模拟。由于Voronoi多边形会存在较多短边，采用原始DDA程序计算时短边会优先发生破坏。针对该问题通过引入均布弹簧算法，在一定程度上减轻了过多短边发生破坏的问题。其次，为了能够定量分析动态裂纹扩展，提出了一套参数标定方案。该方案通过单轴压缩试验进行弹性参数标定，通过带切槽半圆盘试验进行强度参数标定。利用标定后的参数模拟的带切槽半圆盘，裂纹扩展路径与试验结果高度一致。最后，基于标定的参数，模拟了几类典型脆性材料的动态裂纹扩展问题，包括自相似裂纹扩展、裂纹分叉和紧凑拉伸试验。模拟结果表明，DDA方法能够较好地再现自相似裂纹扩展时裂纹扩展速度保持不变的规律，可以真实地模拟出脆性材料的裂纹分叉现象，并成功模拟了不同加载速度下紧凑拉伸试验中不同的破坏模式。这些算例验证了DDA方法在模拟脆性材料动态裂纹扩展问题的可行性，为后续相关应用打下了基础。
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关键词:
- 脆性材料 /
- 非连续变形分析 /
- Voronoi多边形 /
- 动态裂纹扩展 /
- 裂纹扩展速度
Abstract: The discontinuous deformation analysis (DDA), as an implicit discrete element method, can simulate the evolution process from continuum to failure by introducing the virtual joint technology. In this study, the DDA method is modified and applied to the dynamic crack propagation problem of brittle materials. Firstly, the DDA with Voronoi discretization is adopted. Since there are many short edges in the Voronoi discretization, these edges will fail preferentially using the original DDA algorithm. A uniform spring algorthim for the DDA is proposed to solve this issue. Then, a parameter calibration scheme is presented. The uniaxial compression and a semi-circular bend (SCB) with a pre-existing crack are used to calibrate the elastic parameters and the strength parameters, respectively. Based on the calibrated parameters, the predicted crack propagation paths of SCB are highly consistent with the test results. Finally, several dynamic crack propagation problems for brittle materials, such as self-similar crack propagation, crack branching and compact tensile tests, are simulated based on the calibrated parameters. The proposed DDA method can reproduce the phenomenon of crack propagation with the constant speed for the self-similar crack and the crack branching phenomenon under dynamic loading. Meanwhile, different failure patterns for compact tensile tests under different loading speeds are reproduced successfully. The results verify the feasibility of the DDA for dynamic crack propagation of brittle materials, and pave the way for future engineering applications. -
0. 引言
随着城市化发展的不断推进，各区域间的用水矛盾日益突出，已对城市用水及备用水源提出严峻考验，输水隧洞的内水压力不断增加。然而，随着隧洞内外压力差的不断增大，单层衬砌的承载能力和耐久性已无法满足工程需求[1]。近年来，引水工程开始采用盾构法双层衬砌作为输水隧洞的结构型式，如南水北调穿黄隧洞、团城湖至第九水厂输水工程（一期）等[2]。
相比于单层衬砌，双层衬砌的承载能力和耐久性明显提升，但由于涉及两层衬砌间的接触和传力问题，其受力情况更加复杂。根据结构的受力特点，双层衬砌主要分为分离式和复合式两种。分离式衬砌在内衬和外衬之间设置防水垫层，切断了内外衬的传力路径，使两者分开受力，即外水土压力由外衬承担，内水压由内衬承担[3]。这种结构受力明确，已有较成熟的设计准则；复合式衬砌不设置防水垫层，内衬与外衬间可传递压力，形成联合承载体系，共同承担内水压的作用。这种结构虽然整体刚度较大，经济性有所提高，但联合承载机理、各层结构的受力状态更复杂，已成为国内外的研究热点。
日本学者针对复合式衬砌的研究起步较早。村上博智等[4]通过多环轴向模型试验探讨了内外衬的相互作用关系；佐久門彰三等[5]在研究管片剪切试验过程中，提出了考虑单、双衬轴向刚度的计算模型；高松伸行等[6]通过模型试验研究了复合式衬砌纵向接头抗弯性能，并探讨了外衬与围岩之间的作用力分布形态。前期研究主要针对复合式衬砌的抗外压承载性能和受力特性。随着国内调水工程项目的发展与推进，段国学等[7]依托穿黄工程的仿真模型试验，分析了分离与联合受力下内衬混凝土的应力变化；谢小玲等[8]模拟了穿黄隧洞的围岩、复合衬砌和垫层等结构，探讨了内外衬之间的传力机制及高压下内水外渗的影响；Yang等[9]研究了充水工况下隔水垫层对预应力复合衬砌结构受力的影响；徐传堡[10]初步探究了几种复合式衬砌承担高内水压力的可行性。
综上，现有盾构法双层衬砌结构的研究较少涉及针对复合式双层衬砌结构联合承载性能的专门研究，同时，缺少该结构在多种围岩强度下不同内外水压差下结构受力与变形规律的分析，工程设计选型尚存在一定的不确定性。因此，本文依托珠江三角洲水资源配置工程，提出了一种基于高压橡胶囊体与钢反力架相结合的内压加载体系，对“管片-钢筋混凝土”复合式双层衬砌结构实施了原位试验，并构建了三维精细化数值模型，对该结构在内压加载中的联合承载和结构失效过程进行了数值仿真分析。同时，揭示了复合式衬砌结构在多种围岩强度下的受力变形规律，为高内压、长距离输水工程衬砌结构选型设计提供重要参考与借鉴。
1. 原位试验
珠江三角洲水资源配置工程作为中国第十四个五年规划和2035年远景目标的国家水网骨干工程，是迄今为止广东省历史上投资额最大、输水线路最长、受水区域最广的调水工程。工程输水线路全长113 km，输水隧洞最高设计内水压力为1.55 MPa，为世界上内水压力最大、盾构施工最长的调水工程。隧洞衬砌选型设计难度大，需开展原位试验为工程提供科学依据。结构选型原位试验位于珠江三角洲水资源配置工程深圳分干线，共设4组试验区间，分别为单层衬砌、双层复合式衬砌、三层钢内衬分离式和叠合式衬砌结构（区间1，2，3和4），每组结构区间长为15 m，各组区间间距为3 m。本文重点针对复合式衬砌结构（区间2）展开讨论。该区间隧洞主要位于全风化片麻岩内，全风化岩以砂质黏土、砂土为主。试验段纵剖面如图 1所示。
1.1 衬砌结构型式
如图 2所示，双层衬砌结构外衬由3块标准块（B1~B3）、2块邻接块（L1~L2）和1块封顶块（F）组成，内衬为现浇钢筋混凝土。其中，外衬管片外径为6.0 m，内径为5.4 m，环宽为1.5 m；混凝土采用C55材料，管片内外侧设置HRB400环向受力筋（12C18），采用M24弯螺栓（A4-70级）。内衬钢筋混凝土厚度为600 mm；采用C30混凝土材料，内外侧设置HRB400环向受力筋（C22@150）。内衬外之间可传递压力，不传递拉力和剪力。鉴于洞内空间十分有限，如何进行内水压力的模拟和监测仪器的布设，以探究结构的联合承载性能，成为本次试验亟待解决的关键技术。
1.2 加载系统
为尽可能模拟隧洞正常工作状态下衬砌法向面荷载的内水压力，本试验提出一种充水高压橡胶囊体与钢反力架相结合的加载系统，采用16路精准加压伺服系统控制洞内水压力。如图 3所示，通过在隧洞内部安置高强度内撑钢管作为反力支架，钢管直径4256 mm，长6 m，材质Q345C，壁厚28 mm，内置环向加劲环和型钢内撑，按环向间隔30°布置。在钢反力钢架与内衬钢管之间，全周均匀布置12个特制柔性囊体，每个特制囊体由超高分子量聚乙烯纤维、芳纶纤维等高强纤维及多层橡胶蒙皮材料组成，两端为扁平头枕形，满水状态下长5.0 m，宽1.0 m，厚0.3 m，最大耐压1.6 MPa，注水加压口径采用DN25。囊体内部注满水时可通过舒展膨胀充满钢反力钢架与内衬钢管之间的间隙，从而向内衬钢筋混凝土提供法向压力，模拟隧洞衬砌承担的内水压力。12个囊体同时注满水用水量约达22 m3。
选取区间中心断面作为本次试验分析目标环。试验采用的注水与加压系统、相关控制阀仪表或传感器、接口等集成于同一泵站中。其中，大流量注水泵用于快速注水与排水；低流量加压泵可按要求加压；先导式溢流阀用于调压。内压加载范围为~0.60 MPa，共分21级加载。第1~6级每级加载0.05 MPa，直至0.30 MPa；第7~21级每级加载0.02 MPa，直至0.60 MPa。每个加载等级稳压30 min，加载完毕后再进行囊体泄压。每组试验内压加卸载循环3次。
1.3 监测方案
为实现复杂环境下大尺度衬砌结构变形和承载规律的测量，本次原位试验在使用传统振弦式传感器的基础上，广泛采用分布式光纤感测技术，如图 4。其中，钢筋应力计、管片接缝测缝计采用振弦式仪器，测量精度分别为0.01 MPa和0.001 mm；螺栓应变计、土压力计和渗压计采用光纤光栅感测仪器，测量精度为1 με/0.1kPa；管片和内衬表面的应变感测光缆采用全分布式布里渊散射型光纤感测技术，空间分辨率为20 cm，测量精度为1 με，可探测混凝土开裂。加载阶段进行传统监测仪器和光纤光栅传感器的自动化采集，稳压阶段进行分布式感测光缆的人工采集。
2. 三维有限元模型
试验段作为珠江三角洲水资源配置工程的标段之一，需确保结构安全和后期正常使用，内压仅加载至0.60 MPa，未能探究结构的极限承载能力。因此，本文针对上述“管片-钢筋混凝土”复合式衬砌结构型式，基于精细化仿真技术，开展进一步探究。
2.1 有限元网格
为考虑管片错缝拼装的影响，数值模型建立了三环管片，选取中间环管片作为目标环。模型考虑了管片手孔、橡胶止水带、螺栓等细部构造（图 5），钢筋以杆单元嵌入内衬钢筋混凝土，共包括273617个单元和95742个节点。
2.2 模型参数
模型主要包括混凝土、钢和橡胶3类材料。其中，混凝土本构采用总应变裂缝模型，钢筋与螺栓本构采用Von Mises模型。材料力学参数详见表 1。接触关系为硬接触，接触面之间存在摩擦力，切向应力达到临界值后产生滑移。混凝土接触面摩擦系数取0.6，混凝土与钢材、橡胶与橡胶间接触面摩擦系数分别取0.3和0.4[11-12]。
表 1 材料参数Table 1. Parameters of materials材料 弹性模量/GPa 抗拉强度/MPa 抗压强度/MPa 屈服强度/MPa 极限强度/MPa C30 30.0 2.01 20.1 — — C55 35.5 2.74 35.5 — — 钢筋 200 — — 400 540 螺栓 206 — — 450 700 橡胶 0.01 — — — — 2.3 荷载与边界条件
依据试验段区间的地质勘探信息，基于荷载-结构法得到衬砌结构所受外部压力如图 6所示。其中，外部水土压力施加于管片外表面，通过设置全周受压弹簧表征围岩约束作用[13]，地层抗力系数取15 MPa/m。内压荷载施加于钢筋混凝土内表面，最大内水压力设为0.80 MPa，以0.05 MPa为增量步，分16步加载。
3. 不同内压下的结构响应
原位试验与数值仿真结果如图 7~16所示，其中，拉应力、拉应变取“+”；压应力、压应变取“-”；径向扩张取“+”，径向收缩取“-”。
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图 14 不同围岩强度下接缝张开量Figure 14. Joint opening under different strengths of surrounding rock![]()
图 16 不同围岩强度下螺栓应力Figure 16. Stresses of bolts under different strengths of surrounding rock3.1 变形及裂缝
外衬内弧面上部约270°和内衬外弧面全周铺设了应变感测光缆，用于在原位试验中监测两者的环向变形状态。从现场监测结果（图 7）可知，随着内压的增大，内外衬均呈现拉应变逐渐增大的趋势，即结构向外膨胀受拉，说明两者协同变形作用明显。最大应变响应区位于右拱腰（F块）附近，其次为左拱腰（B2块），而拱顶与仰拱处应变响应较小。环向应变分布与结构在横椭圆变形时的内力特征相符。可见，结构呈现横椭圆变形的趋势。
数值仿真同样表现出上述变形趋势，且右拱腰同样为最大应变响应区，如图 8所示。随着内压等级的提高，横椭圆变形加剧。当内压为0.8 MPa时，外衬拱顶和仰拱位置径向收缩量分别为3.0，2.9mm，即竖向收缩量为5.9 mm，左右拱腰位置径向扩张量分别为3.8，5.7 mm，即横向扩张量为9.5 mm，椭圆度为0.26%。管片拱顶和仰拱位置变形一致，因封顶块处于右拱腰位置，整体刚度较小，导致右拱腰外衬扩张量大于左拱腰。内衬的变形与外衬变形基本一致，皆为横椭圆变形，竖向收缩量为5.9 mm，横向扩张量为9.4 mm。外衬与内衬之间协调变形，结构型式协同作用明显，可充分发挥结构的联合承载性能。
基于BOFDA解调技术的分布式光纤空间分辨率为20 cm，可探测混凝土开裂的位置，但无法对衬砌表面的裂缝进行精确宽度测量，故未能从原位试验中获取混凝土裂缝的发展规律。但从数值仿真的结果（图 9）可见，外衬在内压加载过程中裂缝响应较大的区域为B1块和B3块。当内压超过0.50 MPa时，B1块和B3块管片最大裂缝宽度增速明显增大，即在内水压作用下，外衬内侧裂缝主要发生在拱顶和拱底处。当内压为0.7 MPa时，外衬B1块裂缝宽度最大值为0.215 mm，已超过规范限值[14]。内衬在内压加载过程中裂缝响应较大的区域同样对应外衬的B1块和B3块。当内压超过0.35 MPa时，B1块和B3块对应位置最大裂缝宽度增速明显增大。当内压为0.60 MPa时，内衬B1块对应位置裂缝宽度达0.218 mm，已超过规范限值。
可见，在内压加载前期，内外衬裂缝发展表现出一定的协同性，体现了结构的联合承载特性。随着内压的增大，内衬钢筋混凝土成为整个衬砌结构中最先产生裂缝的构件。当内压超过0.35 MPa时，内衬进入裂缝快速发展阶段，此时结构整体刚度减小；当内压达到0.60 MPa，即内外压差为0.4 MPa时，内衬超过正常使用极限状态，承担内压的能力明显降低，此时外衬管片承担内压比例增大。当内压达到0.70 MPa时，外衬管片已达正常使用极限状态。
3.2 管片接缝张开量
在原位试验中，管片接缝张开量随着内压增大呈现逐渐增大趋势（图 10（a）），即外衬管片受内压作用后发生膨胀变形。当内压达到0.60 MPa时，接缝张开量介于0.01~0.11 mm，相较于2 mm接缝张开限值，仍留存较大的安全储备。
相对于原位试验，数值仿真结果偏大（图 10（b））。随着内压等级的提高，管片接缝处呈现受拉张开的趋势。当内压低于0.35 MPa时，接缝张开量变化趋于平缓；当内压处于0.35~0.60 MPa时，接缝张开量增大速度加快；当内压超过0.60MPa时，增长幅度均较大。与内衬钢筋混凝土裂缝的增长变化规律基本一致。内压0.8 MPa对应的最大接缝张开量为0.78 mm，位于B3-L2接缝；其次为0.69 mm，位于L1-B1接缝。与内衬最大裂缝出现的位置相近，即靠近拱顶和拱底，说明整体结构在该处为薄弱部位。鉴于F块所在一侧整体刚度小于B2块所在侧及管片结构的受力模式为顶部荷载小于底部荷载等影响，导致管片接缝出现右侧变化量大于左侧、上部变化量大于下部的情况。
鉴于测缝计类型、安装方式、施工工艺等因素对测量效果的影响，原位试验结果将存在一定误差，未能精准表征测缝计与管片接缝的协同变形特性，宜参考数值仿真结果。
3.3 管片螺栓应力
螺栓应力在原位试验中呈现出受压趋势，如图 11（a）。当内压达到0.35 MPa时，各螺栓应力增量均达到峰值；当内压达到0.60 MPa时，螺栓最大压应力为44.4 MPa，位于拱顶L1-B1接缝处螺栓，其余接缝处螺栓压应力较小，其值介于0.9~12.4 MPa。
但在数值模拟中，随着内压的提高，螺栓应力表现出拉应力增大的现象，如图 11（b）。当内压0~0.35 MPa时，螺栓拉应力增长较为平缓；当内压为0.35~0.6 MPa时，应力加速增长并出现第一个应力增量峰值；当内压为0.65~0.80 MPa时，应力增长剧烈，出现第二个应力增长峰值，且明显高于前一个峰值。最大应力同样出现在L1-B1接缝处螺栓（20.6 MPa），其次为L1-B1接缝处螺栓（20.4 MPa）。值得注意的是，数值模拟中螺栓表现出整体受拉外翻的变形趋势，最大应力出现在内弧面，为拉应力，而在原位试验中，考虑到传感器位置的局限性，未能真实反映螺栓中心的应力状态。螺栓应变计布置于螺栓外弧面，在外翻的变形趋势下表现为压应力增大，因此呈现两个应力趋势相反的情况。
结合原位试验与数值仿真结果可知，当内压小于0.35 MPa时，螺栓应力和接缝张开量变化较小，内压由内外衬共同承担，结构整体刚度较大，联合承载性能得到充分发挥。当内压达到0.35 MPa时，螺栓应力和接缝张开量均进入快速发展阶段，应力增量达到第一个峰值，与裂缝进入快速发展阶段的时间点一致，说明此时管片开始承担更大比例的内压，结构整体刚度开始下降，但仍展现出较强的联合承载特性。当内压超过0.60 MPa，即内外压差超过0.40 MPa时，螺栓应力增量出现第二个峰值，即此时内衬已受损严重，联合承载性能逐渐降低，管片为承担内压的主要结构。
4. 围岩对衬砌联合承载的影响
作为长距离引水工程，珠江三角洲水资源配置工程将穿越黏土、全风化和强风化花岗片麻岩等不同类型的地层。但原位试验未能揭示衬砌结构在不同地质条件下的变形特征。因此，本文基于数值模拟手段，选取强度为15，100，300 MPa（分别记为围岩1、围岩2和围岩3）的3种代表性围岩，针对复合式衬砌在不同围岩强度下的受力变形特征进行研究。由3.1可知，管片与钢筋混凝土的变形规律一致，因此本节重点分析管片的变形及受力特性。
4.1 径向变形
由图 12可知，在围岩1条件下，结构横椭圆变形较为明显；在围岩2和围岩3条件下时，外衬在0°、90°、180°和270°4个位置的变形量基本接近，但与围岩强度为15 MPa时相比，数值较小，表明围岩分担内压的效果随着围岩强度的提高，效果减弱。
当内压为0.70 MPa时，相对变形量的增量明显提升，围岩强度越小，增量越大；当内压为0.8 MPa时，围岩1，2和3条件下的衬砌竖向变形量分别为-5.98，-0.20，0.20 mm；横向变形量分别为9.49，4.22，1.97 mm；椭圆度分别为0.26%，0.07%和0.02%。相比围岩1，围岩2和围岩3条件下结构椭圆度依次减少73%和92%。表明围岩强度越大，外衬在内压作用下的径向变形越小，结构椭圆度越小，即围岩对结构的约束作用越强。
4.2 接缝张开量
由图 13可知，随着内压的增大，管片接缝张开量表现出增大的趋势。内压加载过程中上下对称位置处的接缝张开量基本一致，接缝张开量最大处位于B3-L2、L1-B1接缝，其次为B2-B3、B1-B2接缝，最小为L2-F、F-L1接缝。
选取F-L1、B2-B1和B3-L2的结果（图 14）可知：当内压达0.8 MPa时，对于F-L1接缝，3种围岩下的接缝张开量分别为0.18，0.12，0.06 mm。相对于围岩1，围岩2和围岩3条件下分别减小33.3%和66.7%；对于B2-B1接缝，3种围岩下的接缝张开量分别为0.25，0.21，0.17 mm。相对于围岩1，围岩2和围岩3条件下分别减小16.0%和32.0%；对于B3-L2接缝，3种围岩下的接缝张开量分别为0.98，0.58，0.30 mm。相对于围岩1，围岩2和围岩3条件下分别减小40.8%和69.4%。此外，随着围岩强度的提高，接缝张开量的快速增长节点逐渐推后：当为隧洞位于围岩1条件时，接缝张开量在0.35 MPa内压时进入快速增长阶段；当处于围岩2时，对应的内压节点为0.50 MPa；而处于围岩3时，对应的内压节点为0.80 MPa。可见，围岩强度越高，复合式衬砌-围岩的联合承载越明显，管片所分担的内压越小，围岩分担的内压越大。
4.3 螺栓应力
内压作用下3种围岩强度的螺栓应力均为拉应力（图 15），且随着围岩强度的增大，同内压等级下，螺栓应力越小。
由图 16可知，当内压为0.0~0.5 MPa时，每种围岩强度对应下的螺栓应力均较为接近，表明此时围岩强度对螺栓应力的影响效果较弱；当内压为0.5~0.8 MPa时，螺栓应力开始出现较大程度的增大，此阶段围岩强度影响效果显著。当内压达到0.8 MPa时，F-L1处螺栓应力变化受围岩影响最大，围岩3条件下螺栓应力较围岩1条件下减小16.6 MPa，降低82.2%；B1-B2处螺栓应力变化受围岩影响最小，围岩3条件下螺栓应力较围岩1条件下减小1.9 MPa，降低46.7%。在3种围岩强度下，螺栓应力分别在内压达0.35，0.50，0.80 MPa时进入快速发展阶段，与接缝张开量呈现相似的变化规律，即随着围岩强度的提高，围岩分担内压的效果增强。建议当围岩条件较好时，宜充分利用复合式衬砌的联合承载特性，适当降低衬砌截面厚度。
5. 结论
本文依托珠江三角洲水资源配置工程，针对“管片-钢筋混凝土”复合式衬砌结构开展了原位试验与数值仿真研究，分析了内压加载过程中该结构的联合承载和结构失效过程，并对多种围岩强度下结构的受力变形规律进行了探讨，得出以下4点结论。
（1）本试验提出一种充水高压橡胶囊体与钢反力架相结合的加载方法，可在洞内有限条件下较好地实现内水压力的模拟。采用的光纤感测技术弥补了传统传感器监测方法的不足，实现隧洞结构的全断面连续监测，但针对螺栓应力的测量仍有改进的空间。
（2）对于双层复合式衬砌结构，内衬钢筋混凝土为首先出现裂缝的部位，成为结构承载力下降的控制因素。当内外压差达0.4 MPa时，内衬裂缝超过规范限值，同时存在内部钢筋锈蚀、结构承载力降低的风险。因此，该结构适用于内外压差较小（< 0.4 MPa）的工程中。
（3）在内压作用下，管片接缝均呈现张开趋势，螺栓呈现外翻的变形特征，衬砌结构表现出向外膨胀受拉的趋势，并呈现横椭圆变形规律。当内外压差较小（< 0.4 MPa）时，复合式衬砌联合承载作用明显，当内外压差较大（> 0.4 MPa）时，联合承载性能因结构受损而降低。
（4）随着围岩强度的提高，结构在内压作用下的联合承载性能提升，径向变形、接缝张开量及螺栓应力均减小，围岩分担内压的效果增强。当处于围岩条件较好的地层中时，可考虑优化复合式双层衬砌的衬砌厚度。
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图 1 不同边长块体的破坏模型及块体1，2的y方向位移–时间关系
Figure 1. Failure model with different size blocks and y-direction displacement-time curves of blocks 1 and 2
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图 2 单轴压缩试样微破裂角度分布
Figure 2. Distribution of microcrack angle of uniaxial compression specimens
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图 4 巴西劈裂试样微破裂角度分布
Figure 4. Distribution of microcrack angle of Brazilian split specimens
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图 6 SCB的Voronoi多边形离散模型及正则化临界应力强度因子对比
Figure 6. Voronoi discretization model of SCB and comparison of critical normalized stress intensity factors from experimental and numerical tests
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图 7 SCB模拟的裂纹扩展路径与试验对比
Figure 7. Comparison of numerical and experimental crack propagation paths
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图 9 预加载试样自发裂纹产生引发弹性波的速度云图
Figure 9. Elastic waves induced by spontaneous crack in a pre-loaded specimen
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图 11 规则网格的自相似裂纹扩展和不同预荷载下不规则网格的自相似裂纹扩展
Figure 11. Self-similar crack propagation for both regular and irregular discretizations under different pre-loads
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图 15 不同数值方法得到的裂纹扩展速度与时间关系对比图
Figure 15. Comparison of predicted crack velocity versus time by different numerical methods
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图 16 不同冲击速度下裂纹扩展路径的试验[27]和模拟结果对比
Figure 16. Comparison of experimental and simulation results of crack propagation path under different loading velocities
表 1 DDA微观参数取值
Table 1 Values of DDA microscopic parameters
密度/(kg·m-3) 弹性模量/GPa 泊松比 内摩擦角/(°) 端部摩擦角 黏聚力/MPa 抗拉强度/MPa 法向弹簧刚度/GPa 切向弹簧刚度/GPa 最大位移比 时间步长 1190 4.4 0.38 30 0 70 7 13.2 5.28 1×10-5 0(自动计算时步) 
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表 2 块体数量对岩石材料弹性参数的影响
Table 2 The influence of the number of blocks on the elastic parameters
块体尺寸/mm 块体数量/个 弹性模量/GPa 泊松比 1.0 6129 59.30 0.268 1.5 2672 59.05 0.264 2.0 1593 58.62 0.264 2.5 1051 59.10 0.264 3.0 701 58.61 0.269 4.0 430 58.82 0.273 注：Voronoi离散(R=0.3)。
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表 3 PMMA和模型的宏观参数值
Table 3 Value of macroscopic parameters of PMMA and model
类型 密度/(kg·m-3) 弹性模量/GPa 泊松比 PMMA材料 1190 3.24 0.350 模型 1190 3.28 0.357
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表 4 数值标定荷载与试验荷载对比
Table 4 Comparison of numerical and experimental load
裂纹角度/(°) 数值荷载/kN 试验荷载均值/kN 误差/% 0 2.28 2.38 4.20 10 2.47 2.53 2.37 20 2.28 2.45 6.94 30 2.53 3.03 16.50 40 3.54 3.73 5.09 43 3.58 3.63 1.38 47 4.14 4.13 0.24 50 3.97 4.24 6.37
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