Predicting soil-water retention curve based on NMR technology and fractal theory
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摘要: 土-水特征曲线（SWRC）是非饱和土力学中的基础本构关系,在研究非饱和土强度、体变及渗透系数等方面具有重要作用。通过试验直接测量SWRC,耗时较长,且通常得到的只是离散数据点,缺乏连续性,不能完全满足非饱和土研究的需要,因此,通过间接方法快速预测SWRC的完整数学表达式具有实际意义。以无损伤的核磁共振（nuclear magnetic resonance）技术为基础,结合Young-Laplace理论,建立基质吸力ψ与T2值的关系式;利用分形理论,推导出质量含水率w与T2值的关系式,最终建立了预测SWRC的数学模型,研究结果表明其预测结果与实测值吻合较好。Abstract: It has been recognized that the soil-water retention curve (SWRC) is a fundamental constitutive relationship of unsaturated soil mechanics, which plays a decisive role in the researches on the strength, volume change and permeability coefficient of unsaturated soils. The direct experimental methods for measuring the SWRC are time-consuming, and they usually provide some discrete data points which are short of sufficient continuity, thus they cannot completely meet the needs of researches on unsaturated soils. So, it is necessary to fast obtain the complete mathematical expression for SWRCs by using the indirect method. Based on the non-invasive nuclear magnetic resonance (NMR) technology, the relationship between matric suction ψ and relaxation time T2 is established by using the Young-Laplace theory. Then, by using the fractal theory, an expression for the relationship between mass water content w and relaxation time T2 is derived. On this basis, a specific NMR-fractal method is promoted to predict SWRCs. The experimental results show good agreement with the predicted values by the proposed fractal method.
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Keywords:
- nuclear magnetic resonance /
- fractal theory /
- soil-water retention curve /
- prediction
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0. 引言
裂隙岩体失稳破坏过程主要受内部锁固段岩桥和结构面控制。在外营力影响下,岩体内部结构面逐渐成核、扩展并贯通锁固段岩桥,导致整个岩体失稳破坏。因此,端部开裂的裂隙岩体内部锁固段岩桥贯通对岩体整体失稳破坏过程起着关键作用,本文对开放岩桥裂纹扩展贯通过程进行研究,有助于进一步研究锁固型脆性裂隙岩体突发失稳破坏机制。
目前为止,学者基于大量室内试验和理论分析,开展了大量裂隙类岩石的裂纹扩展研究,Rao等[1]、Gou等[2]通过试验研究了岩石不同形状裂纹的闭合规律及断裂机理；Bobet等[3-4]通过试验观察和数值预测研究了岩石材料的裂纹聚结情况；Wong等[5-6]对不同裂隙岩石材料裂纹起裂和聚结过程进行了宏观和微观解释；黄达等[7-8]通过加卸载试验研究了裂隙岩体变形破坏及裂纹扩展演化规律；赵延林等[9-10]对压、剪作用下断续节理岩桥进行了破断试验与数值研究；杨圣奇等[11-14]进行了断续裂隙岩石破坏形态研究及裂纹扩展颗粒流分析；Zhou等[15-16]通过数值模拟研究了多裂纹类岩石材料的裂纹扩展和聚结行为。
另外,脆性岩石破裂伴随应变能释放,破坏时有声发射前兆,前人结合声发射和断裂理论分析,也取得了丰硕成果,纪洪广等[17-18]通过室内试验研究了花岗岩破裂过程声发射特征；Chen等[19]基于声发射研究了岩桥的破坏机理；宋义敏等[20]对不同加载速率下预制裂纹花岗岩断裂特征进行了研究；黎立云等[21]对多裂纹岩桥贯通机理进行研究,得出岩桥裂纹贯通性质由裂纹尖端应力极值的性质决定。综上,前人对脆性岩桥裂纹扩展研究主要考虑了内部节理工况,对开放型岩桥研究也是在封闭环境下进行试验,没有直观分析岩桥裂纹扩展贯通过程,对其脆性破坏机理研究还不够完善。
因此,在以上研究成果的基础上,本文结合AE监测及断裂理论分析,对开放型花岗岩岩桥进行单轴试验,研究其裂纹贯通过程及脆性破坏特征。试验结果表明,单轴压缩下不同长度花岗岩岩桥裂纹扩展过程、贯通模式及力学特征明显不同,其力学特性和AE参数特征能很好反映岩桥脆性破坏过程。此研究结果为端部开裂的裂隙岩体脆性破坏及突发失稳过程提供了理论依据。
1. 试验方案
1.1 岩样制备
为模拟端部开裂的裂隙岩体内部锁固段岩桥贯通导致岩体整体突发失稳破坏过程,本试验选用结构均匀、质地坚硬的细粒花岗岩为材料,按照国际岩石力学试验标准将其加工成尺寸为
ϕ 50 mm×100 mm的圆柱体标准试件,再用岩石切割机制成3种不同长度开放型岩桥试样,每种岩桥制作5个,共15个岩样,分3组进行试验。图1所示为不同长度岩桥试样示意图,黑色箭头线表示预制裂纹高度,红色箭头线表示岩桥长度,试样上、下预制裂纹高度分别为25,20,15 mm,对应50,60,70 mm岩桥,下部预制裂纹倾角45°,上部预制裂纹中垂向下,试验时试样两端受压。鉴于篇幅限制,本文分别选取典型岩样G-50-2、G-60-2、G-70-2作详细对比分析。![图 1 不同长度花岗岩岩桥试样示意图]()
图 1 不同长度花岗岩岩桥试样示意图Figure 1. Schematic diagram of granite bridge samples with different lengths1.2 试验仪器与方法
加载设备采用MTS815多功能电液伺服刚性试验机,采用位移方式控制,以0.1 mm/min速率进行加载。声发射监测使用美国物理声学公司（PAC）研制的Micro-ⅡAE系统,频率范围1kHz-3MHz,门槛值为40dB,采样率10兆/秒,岩样周围布置4个探头,采样间隔1 μs。拍摄记录采用索尼CX900E高速摄像机。
便于高速摄像机观测岩桥裂纹扩展过程,试样不用热缩管包裹,除加载外不受任何约束。为尽量减小端部效应影响,安放前在试件和上、下垫块之间抹适量耦合剂。试验后通过分析开放岩桥力学特性和AE特征,结合高速摄像机记录信息,对其裂纹扩展贯通过程及突发脆性破坏特征进行研究。
2. 力学特性分析
2.1 开放岩桥应力应变曲线
图2为单轴压缩条件下不同长度花岗岩岩桥典型岩样力学特性曲线,结合表1分析,曲线大致分为5个阶段：微裂纹压密段（OA）,曲线上凹,试件局部微结构面调整；主裂纹萌生段（AB）,曲线呈线性,主裂纹萌生,B点附近轻微波动；主裂纹扩展贯通段（BC）,曲线偏离线性,主裂纹稳定扩展并贯通,次裂纹萌生,C点附近出现明显应力降；次裂纹扩展贯通段（CD）,曲线波动上升,次裂纹快速扩展贯通,D点对应试件单抗强度；整体脆性破坏段（DE）,峰后曲线滞留一定时间再突降,可能是由于试件到达峰值强度时没有即时破碎,滞留一定时间后才脆性破坏完全。同时,随着岩桥长度增加,裂纹压密段变长,主裂纹贯通段变短,曲线应力波动次数减少,峰值附近曲线更尖锐,峰后曲线滞留时间变长。
![图 2 不同长度岩桥单轴压缩轴向应力–轴向应变曲线]()
图 2 不同长度岩桥单轴压缩轴向应力–轴向应变曲线Figure 2. Stress-strain curves of rock bridges with different lengths under uniaxial compression表 1 应力曲线分界点对应强度与单抗强度比Table 1. Strengths and uniaxial compressive strength ratios of stress curve demarcation point岩桥长度/mm 强度比/% A/D B/D C/D 50 36.05 72.09 87.21 60 45.63 74.76 95.15 70 41.77 81.00 83.54 2.2 开放岩桥力学参数分析
表2所示为不同长度花岗岩岩桥单轴压缩下力学参数平均值,可以看出,岩桥越长,平均强度越大,弹性模量均值越大。而随着岩桥长度增加,预制裂纹逐渐变短,当预制裂纹长度为零时,试件为完整岩样,说明与完整岩样相比,随着预制裂纹变长,岩桥变短,其单轴抗压强度逐渐降低,变形程度越来越小。
表 2 单轴压缩下不同长度花岗岩岩桥力学参数均值Table 2. Average mechanical parameters of granite bridges with different lengths under uniaxial compression岩桥长度/mm 高度/mm 直径/mm 弹模/GPa 强度/MPa 50 99.95 50.04 11.23 88.86 60 99.92 50.02 13.65 114.11 70 100.01 50.05 16.95 147.82 2.3 开放与闭合裂纹应力特征对比
为了便于描述,把在花岗岩岩桥边缘切割贯穿的预制裂纹称为开放裂纹,把在花岗岩试样内部切割贯穿的预制裂纹称为闭合裂纹。闭合裂纹[22-23]应力曲线经历了压密、弹性变形、非稳定破裂和破裂后4个阶段,破裂后表现出明显的脆性破坏特征,与完整岩样相比,强度减小,这与开放裂纹基本相似。闭合裂纹峰前曲线呈“阶梯状上升”,峰后曲线“突降”,而开放裂纹峰前曲线“波动上升”,峰后曲线“滞留–突降”,且随裂纹长度增加,滞留时间变长。
3. 贯通破坏机制分析
3.1 开放岩桥贯通破坏特征
为清晰表述岩桥裂纹贯通过程,将最先起裂并贯通岩桥的裂纹定义为主裂纹；将后续产生的裂纹统称为次裂纹。表3为单轴压缩条件下不同长度花岗岩岩桥典型岩样裂纹起裂贯通过程及脆性破坏前形态分析,由表可知,随轴向应力增加,不同长度岩桥裂纹扩展贯通特征共性在于：
表 3 不同长度典型岩样裂纹起裂贯通过程及脆性破坏形态Table 3. Crack initiation coalescence process and brittle failure morphology of typical rock samples with different lengths岩样编号 裂纹起裂 裂纹扩展–贯通模式 脆性破坏形态 破坏特征描述 G-50-2 
①主裂纹从下部裂纹尖端起裂,产生2条张拉裂纹向上部扩展贯通岩桥；②主裂纹贯通过程有多个拐折点,说明岩桥不是一次性贯通,而是多次张拉-剪切逐级破坏,贯通后大块崩落,次裂纹沿主裂纹发育；③次裂纹快速扩展贯通为宏观裂纹,试件发生脆性破坏,伴随较小声响,岩块轻微弹射。 G-60-2 
①主裂纹从下部裂纹尖端起裂,产生1条张拉裂纹向上倾斜扩展贯通岩桥上端面,贯通过程发生多次剪切拉裂；②主裂纹贯通后大块崩落,次裂纹沿主裂纹拐折处萌生扩展；③次裂纹向下扩展贯通岩桥下端面,向内扩展贯通岩桥,伴随较大响声,岩桥脆性破坏,岩块弹射远。 G-70-2 
①主裂纹从下部裂纹尖端起裂,产生1条张拉裂纹向上倾斜扩展贯通岩桥上端面,贯通路径拐折处明显减少；②主裂纹贯通后大块崩飞,尖端处小岩块弹射,次裂纹发育；③次裂纹快速扩张,部分贯通试件下端面,部分向内扩展贯通岩桥,试件发生脆性破裂,响声大,岩块弹射很远。 （1）主裂纹都从下部预制裂纹尖端起裂,偏转一个角度（起裂角
θ0 ）后向上拐折扩展贯通,扩展路径是曲线。（2）主裂纹贯通过程不是一次性的,而是发生多次剪切–张拉破坏后逐级破坏贯通[24]。
（3）主裂纹贯通后大块崩落,次裂纹沿主裂纹多级破坏拐折处萌生并快速扩展贯通,岩桥发生脆性破坏,伴随一定响声,岩块弹射向四周。
主要差异在于短岩桥（50 mm）主裂纹起裂后向上趋于竖直扩展与上部预制裂纹贯通（简称贯通岩桥）,次裂纹向内扩展贯通岩桥,长岩桥（60,70 mm）主裂纹起裂后向上倾斜扩展贯通岩桥上端面,次裂纹向下扩展贯通岩桥下端面及向内扩展贯通岩桥。另外,随着岩桥长度增加,脆性破坏响声越大,岩块弹射越远,主裂纹贯通过程拐折点减少,说明岩桥越长,破坏时释放能量越大,逐次多级破坏次数越少。
3.2 开放岩桥裂纹扩展机理分析
由3.1节分析可知,主裂纹由下部预制裂纹尖端起裂扩展,因此,本节着重分析下部预制裂纹断裂机理。下部预制裂纹是一个三维裂纹,以裂纹前缘边中点为坐标原点,该点的切线方向为z轴,平行于裂纹面方向为x轴,垂直于裂纹面为y轴,如图3所示。沿x轴方向的力平行于裂纹面向面内作用,属于Ⅱ型,沿y轴方向作用的力垂直于裂纹面作用,属于Ⅰ型,沿z轴方向的力平行于裂纹面向面外作用,属于Ⅲ型。
单轴加载应力
σ 在xoy平面内,且与裂纹面法线方向（y轴）的夹角为45°,以拉为正,压为负,对裂纹尖端一点应力进行描述,应力状态为σij=[−sin245∘σ−sin45∘cos45∘σ0−sin45∘cos45∘σ−cos245∘σ0000], (1) 式中,i,j=x,y,z。
根据线弹性断裂力学理论分析[25],该三维裂纹尖端在柱坐标中应力分量为
σij=Kh√2πrfhij(θ)+0(r−1/2)。 (2) 式中 i,j=x,y,z；h=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ；
Kh 为不同类型裂纹应力强度因子；fhij(θ) 为不同类型裂纹关于θ 的函数（在二维应力中,θ 为裂纹扩展角）。由应力状态分析式（1）可知,该三维裂纹属于二维应力问题,面内受剪和受压,并且在轴向压应力作用下裂纹闭合,属于Ⅱ型（滑开型）。
略去高阶无穷小,裂纹尖端应力状态极坐标表达式为
σrr=KⅡ2√2πrsinθ2(3cosθ−1), (3) σθθ=−3KⅡ2√2πrcosθ2sinθ, (4) τrθ=KⅡ2√2πrcosθ2(3cosθ−1)。 (5) 主裂纹受张应力作用张拉扩展,并且该裂纹起始扩展在岩样下部预制裂纹尖端,扩展路径最终趋于沿竖直方向,即纯Ⅰ型（张开型）扩展。所以,根据线弹性断裂力学扩展准则[25],宜采用最大周向应力理论分析。裂纹沿
σθθmax 对应的θ 扩展,满足∂σθθ/∂θ=0,∂2σθθ/∂θ2=0。 (6) 将式（4）代入式（6）,可得裂纹尖端起始扩展角
θ0 ：θ0=arccos13=70∘32′。 (7) 由以上分析可知,裂纹起始扩展方向与岩桥长度无关,沿最大压应力方向扩展。
图4为不同长度岩桥典型岩样破坏面及裂纹扩展角三维示意图,表4为单轴压缩下不同长度花岗岩岩桥裂纹扩展角统计,其中,有5个岩样试验不成功,无法统计数值。从图4及表4可知,50,60,70 mm岩桥裂纹扩展角试验均值分别为67.4°,70°,71°,与理论值70.53°分别相差3.13°,0.53°,0.47°,说明理论计算结果与试验结果基本符合,且扩展最终路径趋于Ⅰ型扩展。
![图 4 不同长度典型岩样破坏面及裂纹扩展角θ0三维示意图]()
图 4 不同长度典型岩样破坏面及裂纹扩展角θ0三维示意图Figure 4. Three-dimensional diagram of failure surface and crack propagation angle θ0of typical rock samples with different lengths表 4 单轴压缩下不同长度开放岩桥裂纹扩展角Table 4. Crack propagation angle of open bridge with different lengths under uniaxial compression试件编号 扩展角θ0/(°) 试件编号 扩展角θ0/(°) 试件编号 扩展角θ0/(°) G-50-1 65 G-60-1 71 G-70-1 70 G-50-2 70 G-60-2 68 G-70-2 76 G-50-3 71 G-60-3 — G-70-3 69 G-50-4 69 G-60-4 72 G-70-4 72 G-50-5 62 G-60-5 69 G-70-5 68 均角 67.40 均角 70.00 均角 71.00 3.3 开放与闭合裂纹起裂扩展破坏特征对比
图5所示为单轴压缩下闭合裂纹起裂扩展破坏特征示意图[23],由图可知,水平裂纹主要受张拉破坏,竖直裂纹主要受剪切破坏,倾斜裂纹受张拉–剪切混合作用,形成①翼裂纹、②共面裂纹和③反翼裂纹,裂纹主要从两端起裂,直接扩展贯通试件。图6所示为单轴压缩下开放裂纹起裂扩展破坏特征示意图,由图可知,开放裂纹面相当于倾斜临空面,为岩桥破坏提供了变形和滑移的让位空间,导致岩桥主裂纹贯通后沿临空面大块滑移–崩落,崩落方向受岩桥长度影响。
![图 5 闭合裂纹起裂扩展破坏特征示意图[23]]()
![图 6 开放裂纹起裂扩展破坏特征示意图]()
图 6 开放裂纹起裂扩展破坏特征示意图Figure 6. Schematic diagram of crack initiation and propagation failure characteristics of open cracks同时,开放裂纹内端受约束,主裂纹从内端起裂,向上多次拐折扩展贯通,扩展过程拐折处产生分支次裂纹向内扩展,尖端产生次裂纹向下贯通,导致岩桥脆性破坏。与闭合裂纹相比,开放裂纹扩展过程不是直接贯通,而是经过多次应力调整,产生大量分支裂纹,导致岩桥发生多次逐级破坏。
4. 声发射特征分析
4.1 AE参数与力学特性关系
根据AE监测结果,可将AE参数曲线分为上升期、稳定期和波动期3个阶段。AE参数特征表现出明显的阶段性和突发性（图7～9）。上升期AE事件数少,计数率和能率增长缓慢,应力曲线上凹,到①处计数率和能率微增,应力曲线轻微波动；稳定期计数率和能率比较稳定,应力曲线稳定上升,在②处计数率和能率突增,应力曲线突降；波动期计数率和能率快速增加,应力曲线波动上升,到③处应力曲线达到峰值,计数率和能率剧增；之后计数率和能率消失,应力曲线滞留-突降至零。
4.2 AE特征与裂纹扩展关系
表5为单轴压缩条件下不同长度岩桥AE参数特征信息统计,主要为3个峰值点（微增、突增、剧增）和2次相对稳定期。从表5中可以看出,随着岩桥长度增加,主裂纹起裂时间变长,稳定扩展持续时间（分别为44,30,11 s）减少,次裂纹稳定扩展持续时间（20,35,65 s）增多,计数和能量逐渐增大。说明岩桥越长,主裂纹起裂越困难,起裂后裂纹扩展速度越快,脆性破坏特征越明显。
表 5 不同长度岩桥AE特征信息统计Table 5. Statistics of AE feature information of rock bridges with different lengths试样编号 微增 第一稳定期起止时间/s 突增 第二稳定期起止时间/s 剧增（最大值） 计数/(106次) 能量/(106aJ) 计数/(106次) 能量/(106aJ) 计数/(106次) 能量/(106aJ) G-50-2 0.81 0.92 298~342 1.36 1.83 360~380 5.10 7.22 G-60-2 2.33 2.16 375~405 3.75 4.14 415~450 7.08 10.6 G-70-2 0.82 0.73 361~372 1.18 1.71 375~440 8.24 14.1 结合图7～9分析可知,计数率和能率微增,应力曲线轻微波动,对应岩桥主裂纹起裂；计数率和能率突增,应力曲线发生明显应力降,对应岩桥主裂纹贯通；计数率和能率2次相对稳定期,应力曲线稳定上升,分别对应岩桥主、次裂纹稳定扩展；计数率和能率剧增,应力曲线达到峰值,对应次裂纹快速贯通,岩桥即将发生脆性破裂。
4.3 开放与闭合裂纹AE特征对比
闭合裂纹AE参数变化分为上升期、平静期和波动期[26],表现出明显阶段性,加载初期基本没有声发射活动,随应力增加,声发射率突增,集中出现在破坏前,表现出明显突发性,这和开放裂纹AE特征一致。主要差异在于开放裂纹AE参数脆性破坏前表现出“多峰值”（至少3个）现象,闭合裂纹AE参数大多只有1～2个峰值,并且开放裂纹AE事件率最大值出现在峰值强度附近,而闭合裂纹均发生在峰值应力前。
5. 结论
本文通过对不同长度开放型花岗岩岩桥开展单轴压缩试验,得到以下3点结论。
（1）开放岩桥裂纹贯通特征共性在于主裂纹从下部裂纹尖端起裂,向上部拐折扩展贯通,贯通过程受张拉–剪切混合作用,使岩桥发生逐次多级破坏；次裂纹主要受剪切作用,沿主裂纹拐折处起裂扩展贯通岩桥及下端面,导致岩桥脆性破坏。主要差异在于短岩桥主裂纹贯通岩桥,长岩桥主裂纹贯通岩桥上端面。
（2）开放岩桥裂纹起始扩展方向与岩桥长度无关,倾向于最大压应力方向。其力学特性和AE参数特征能同步反映裂纹起裂扩展贯通破坏全过程。力学曲线出现明显应力降,AE参数曲线突增,表明岩桥主裂纹贯通；力学曲线出现“滞留–突降”特征,AE参数曲线剧增,表明岩桥脆性破坏。
（3）与闭合裂纹扩展特征相比,开放裂纹岩桥表现出大块滑移–崩落和逐级破坏特征,AE参数出现多峰值现象。并且,随岩桥长度增加,开放岩桥单轴抗压强度增大,峰前波动次数和AE参数峰值数减少,多级破坏过程和峰后滞留时间变短。
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![图 5 闭合裂纹起裂扩展破坏特征示意图[23]](/fileYTGCXB/journal/article/ytgcxb/2018/8/1000-4548-42-05-013-F005.jpg)
