考虑地震需求统计不确定性的地铁车站结构地震易损性分析

崔春义; 许民泽; 许成顺; 赵经彤; 刘海龙; 孟坤

doi:10.11779/CJGE20230980

考虑地震需求统计不确定性的地铁车站结构地震易损性分析 English Version

1.
大连海事大学土木工程系, 辽宁大连 116026
2.
北京工业大学城市与工程安全减灾省部共建教育部重点实验室, 北京 100124
3.
山东科技大学交通学院, 山东青岛 266590

基金项目:

国家重点研发计划项目 2021YFB2601102

国家自然科学基金面上项目 52178315

国家自然科学基金面上项目 51578100

大连市科技创新基金项目 2022JJ12GX031

详细信息

作者简介:
崔春义(1978—)，男，教授，博士生导师，主要从事岩土力学数值方法和地下结构抗震等方面研究工作。E-mail: cuichunyi@dlmu.edu.cn

中图分类号: TU435;TU924
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出版历程
- 收稿日期: 2023-10-07
- 网络出版日期: 2024-10-11
- 刊出日期: 2025-02-28

Seismic fragility analysis of subway station structures considering statistical uncertainty of seismic demands

1.
Department of Civil Engineering, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China
2.
Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China
3.
College of Transportation, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China

摘要

摘要: 为避免非完备地震需求样本集所导致的地铁车站结构地震易损性分析认知不确定性，提出了一种可考虑地震需求统计不确定性的地铁车站结构地震易损性分析方法。首先，基于Bootstrap法将有限地震需求样本问题转换为大样本问题；其次，结合最大熵原理和Copula理论构建统计不确定性变量的联合概率分布模型；在此基础上，进一步量化由地震需求统计不确定性所导致的地震易损性水平变异性，并求解得出均值地震易损性曲线以及对应一定置信度的包络地震易损性曲线；最后，以大开地铁车站为具体对象，系统分析了地震需求统计不确定性的影响规律。研究表明：在有限地震需求样本条件下地铁车站结构地震易损性水平具有显著的变异性，且该变异性会随着地震动强度的增加呈现出先增大后减小的变化趋势；均值与包络易损性曲线可有效考虑基于有限地震需求样本的地铁车站结构地震易损性不确定性程度，且具有良好可信度。所提出的相关分析方法和结论可为地铁车站结构抗震性能和地震风险评估提供参考和指导作用。
- 地铁车站结构 /
- 地震易损性 /
- 认知不确定性 /
- Bootstrap法 /
- 最大熵原理
Abstract: To avoid the epistemic uncertainty for seismic fragility of subway station structures caused by the incomplete seismic demand sample set, a novel procedure of seismic fragility analysis of subway station structures considering the statistical uncertainty of seismic demands is proposed. The limited set of seismic demand samples is firstly converted into a large sample problem based on the Bootstrap method. Then, the joint probability distribution model of statistical uncertainty variables is further established by combining the maximum entropy principle with the copula theory. On this basis, the variability of seismic fragility of subway station structures caused by the statistical uncertainty of seismic demands is further quantified, and the mean fragility curves and envelope fragility curves with certain confidence level are obtained. Finally, the Daikai subway station is taken as the prototype to investigate the influences of the statistical uncertainty. The results show that the seismic fragility of subway station structures derived from the limited seismic demand samples has significant variability which shows a tendency of increase and then decrease with the increase of the ground motion intensity. Moreover, the mean fragility curves and envelope fragility curves can effectively reflect the uncertainty of seismic fragility derived from the limited seismic demand samples, and have higher reliability. It may provide reference and guidance for the seismic performance and seismic risk assessment of subway station structures.
- subway station structure /
- seismic fragility /
- epistemic uncertainty /
- Bootstrap method /
- maximum entropy principle

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0. 引言

近几十年来，在世界上发生的多次地震中，诸多城市地铁车站地下结构遭受了不同程度的破坏^[1-2]。目前，美国太平洋地震研究中心建立起的第二代基于性能的地震工程风险决策方法为量化地震荷载及结构随机性对结构抗震性能的影响提供了有效途径。地震易损性分析作为其中的重要一环，已越来越多应用于地下结构地震安全评估当中，这为地铁车站地下结构灾后应急响应及抗震韧性评估提供参考与指导作用。

地下结构地震易损性评估方法按其数据来源主要分为：①基于试验数据的地震易损性评估；②基于历史震害资料的地震易损性评估；③基于数值模拟的地震易损性评估。基于试验数据的地震易损性研究对于认识地下结构的损伤机理及性能水准等方面具有积极意义^[3]。但由于场地特征条件和地震荷载随机性以及试验成本等因素限制，难以获得大量试验数据样本，基于试验数据的地下结构地震易损性研究目前还相对较少。在基于历史震害资料的地震易损性评估方面，美国生命线联盟（American Lifeline Alliance; ALA）和HAZUS系统^[4-5]最早针对全球隧道震害资料进行统计，并建立了矩形断面隧道经验地震易损性曲线。然而，该方法需收集大量地质条件和结构类型相似情况下的震害资料，这就对样本有效性提出了挑战，同时也可导致分析结果具有较大离散性。此外，相对于地上结构，目前关于地下结构地震损害的案例较少，特别是城市地铁车站这种大型地下结构。显然，基于震害资料的地下结构地震易损性评估方法较难推广。进一步地，在分析过程中为充分考虑地震动、结构、场地条件的不确定性以及土-地下结构相互作用，学者们基于数值模拟对地下结构开展地震易损性分析。针对城市地铁车站地下结构，学者们亦在损伤指标和地震动强度参数优选^[6]、地震动记录类型和土-结构相对刚度影响^[7-8]、破坏状态界限量化^[9]等方面给出了相应建议，并构建了相应的地震易损性曲线。值得注意的是，在基于数值模拟的地下结构地震易损性分析中，选取符合地下结构场地特征条件的地震动记录越多，地下结构地震动响应数据样本集越完备，地震易损性分析精度也就越高，但由材料的非线性力学行为和土-地下结构非线性相互作用所造成的数值消耗将会大大增加，这对实际的地下结构地震风险评估是不实用的。

从上述研究现状不难看出，3种方法所具有的共同特征是通过有限地震需求样本，甚至是小样本来构建地下结构地震易损性曲线，所用地震需求数据尚无法涵盖整个概率空间完备的不确定性信息。此外，有限地震需求样本所携带信息与真实总体（无穷多组或者样本数目足够大的完备地震需求数据集）之间存在的偏差势必会导致易损性函数特征参数（即均值和方差）估计的误差^[10]。因此，由有限地震需求样本所计算的地下结构地震易损性及函数特征参数值将被视为真实值的估计值，上述误差也被视为由有限样本导致的认知不确定性。考虑到通过当前分析方法计算地铁车站结构地震易损性会不可避免地造成易损性分析结果的认知不确定性以及通过构建完备地震需求数据集来提高地铁车站结构地震易损性分析精度的困难，如何量化上述认知不确定性并开展更为可靠的地铁车站结构地震易损性分析成为亟待解决的问题。

鉴于此，本文从不确定性量化角度出发，提出考虑地震需求统计不确定性的地铁车站结构地震易损性分析方法。通过综合采用非参数化Bootstrap法和最大熵原理以及Copula理论构建相关统计不确定性变量的联合概率密度函数，在此基础上，进一步量化地铁车站结构地震易损性的变异性，并求解可考虑地震需求统计不确定性的均值易损性曲线和对应一定置信水平的包络易损性曲线。

1. 考虑地震需求统计不确定性的地铁车站地震易损性分析方法

1.1 基于Bootstrap法的统计不确定性变量样本确定

在传统地震易损性分析理论中，基于地震需求样本及极限状态阈值即可确定结构不同极限状态的地震易损性，具体如下所示：

${P_{\text{f}}}(im) = P({\text{C}} \leqslant {\text{EDP|IM}} = im) = \varPhi \left[ {\frac{{\ln {m_{{\text{D}}|{\text{IM}}}} - \ln {m_{\text{C}}}}}{{\sqrt {\beta _{\text{d}}^2 + \beta _{\text{C}}^2} }}} \right] \text{，}$

(1)

$\ln ({m_{{\text{D|IM}}}}) = {\alpha _1}\ln ({\text{IM}}) + {\alpha _2} \text{，}$

(2)

${\beta _{\text{d}}} = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^{{N_{\text{D}}}} {{{[\ln {d_i} - \ln ({m_{{\text{D}}|{\text{IM}}}})]}^2}} }}{{{N_{\text{D}}} - 2}}} 。$

(3)

式中：IM为地震动强度；EDP为地震需求；C为结构抗震能力； ${m_{{\text{D}}|{\text{IM}}}}$ 和 ${m_{\text{C}}}$ 分别为结构地震需求均值和抗震能力均值； ${\beta _{\text{d}}}$ 和 ${\beta _{\text{c}}}$ 分别为结构地震需求对数标准差和抗震能力对数标准差； ${\alpha _1}$ 和 ${\alpha _2}$ 为拟合系数；d_i为地震需求样本；N_D为地震需求样本数。

但如前所述，地铁车站结构地震需求样本往往有限，甚至具有很小样本量，从而导致地震易损性评估结果失真，即所谓概率分布参数不确定性造成的认知不确定性^[11]。本文为量化上述认知不确定性对地铁车站结构地震易损性分析的影响，首先将R=(α₁, α₂, β_d)视作统计不确定性变量，并进一步通过Bootstrap法进行表征^[12]。

Bootstrap法其核心是通过对原始数据进行足够次数的有放回随机抽样，得到大量与原样本相同容量的Bootstrap子样本，并通过子样本获得统计量估计值，从而进一步得到统计量概率分布特征。本质上，该方法是将有限样本问题转换为大样本问题的方法，其基本流程如下：

（1）基于试验、震害资料或数值模拟获取地铁车站结构地震需求和相应地震动强度的原始样本 $\boldsymbol{X}=\left\{\left(i m_1, e d p_1\right),\left(i m_2, e d p_2\right), \cdots,\left(i m_n, e d p_n\right)\right\}$ ，以及结构不同极限状态阈值。

（2）对原始数据样本X进行有放回随机抽样，得到一个样本容量与原始样本容量相同的Bootstrap子样本 $\boldsymbol{X}_1^{\text{*}} = \{ (i{m_1},ed{p_1})_1^{\text{*}},(i{m_2},ed{p_2})_1^{\text{*}}, \cdots ,(i{m_n},ed{p_n})_1^{\text{*}}\}$ ，并依据式（2），（3）计算统计不确定性变量的估计值 $\hat \alpha _1^1$ ， $\hat \alpha _2^1$ 和 $\hat \beta _{\text{d}}^1$ 。

（3）重复步骤（2）N_B次，即可得到统计不确定性变量的Bootstrap样本集 ${(\hat \alpha _1^1,\hat \alpha _1^2, \cdots ,\hat \alpha _1^{{N_B}})^{\text{*}}}$ ， $(\hat \alpha _2^1,\hat \alpha _2^2, \cdots ,$ $\hat \alpha _2^{{N_B}}{)^{\text{*}}}$ 和 ${(\hat \beta _{\text{d}}^1,\hat \beta _{\text{d}}^2, \cdots ,\hat \beta _{\text{d}}^{{N_B}})^{\text{*}}}$ 。此外，为满足大样本统计量相合性并获得统计量高阶矩，Bootstrap抽样次数应足够大^[13]。因此，本文取N_B=10⁵。

1.2 统计不确定性建模

由于基于最大熵原理可有效捕获特定数据下变量的边缘分布信息，而基于Copula理论则可构建具有任意边缘概率分布形式的随机变量间复杂相关性结构^[14-15]。因此，结合上述两种理论来描述多维随机变量的概率分布特征可有效提高所构建概率模型的精度及适用性，并可避免联合概率分布模型具有高斯特性等假设所导致的认知不确定性。鉴于此，为保证统计不确定性量化分析的准确性，本文进一步结合最大熵原理和Copula理论构建统计不确定性变量R的概率密度函数。

具体地，当随机变量服从概率密度为 $f(\theta )$ 的连续分布时，信息熵H在随机变量定义域 ${\Omega _\theta }$ 内的定义为

$H = - c\int_{{\Omega _\theta }} {f(\theta )\ln f(\theta ){\text{d}}\theta } 。$

(4)

基于最大熵原理的边缘概率分布估计基本思想是：在当前具有数据支撑的信息下，变量最无偏、最合理的概率分布模型应为使信息熵最大的模型^[14]。这里将统计不确定性变量Bootstrap样本数据信息作为约束条件（式（6）），可将统计不确定性变量边缘概率密度函数估计视为一个优化问题：

$\text { Maximize: } \quad H=-c \int_{\Omega_\theta} f(\theta) \ln f(\theta) \mathrm{d} \theta \text{，}$

(5)

$\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \int_{\Omega_\theta} f(\theta) \mathrm{d} \theta=1 \\ \int_{\Omega_\theta} g_k(\theta) f(\theta) \mathrm{d} \theta=m_k \quad k=1,2, \cdots, n \end{array}\right. 。$

(6)

式中： ${m_k}$ 为统计不确定性变量Bootstrap样本的统计特征； ${g_k}(\theta )$ 为约束条件函数，在实际中 ${g_k}(\theta )$ 多采用原点矩或中心矩。

为解决上述优化问题，构建拉格朗日函数 $L(\theta )$ ，并令 $\frac{{\partial L}}{{\partial f(\theta )}} = 0$ ，故可得基于最大熵原理的边缘概率密度函数，其形式如下所示：

$f(\theta ) = \exp [{b_0} + \sum\limits_{k = 1}^n {{b_k}{g_k}(\theta )} ] 。$

(7)

式中： ${b_k}$ （ $k = 0,1,2 \cdots ,n$ ）为待定参数。

至此，基于最大熵原理的统计不确定性变量边缘概率分布求解问题可转化成以式（6）为约束条件的待定参数 ${b_k}$ （ $k = 0,1,2 \cdots ,n$ ）求解问题。具体地，将式（7）代入式（6）中并求解偏导 $\frac{{\partial {b_0}}}{{\partial {b_k}}}$ ，即可得到关于待定参数 ${b_k}$ （ $k = 0,1,2 \cdots ,n$ ）的非线性方程组。

$\left\{\begin{array}{l} b_0=-\ln \left\{\int_{\Omega_\theta} \exp \left[\sum\limits_{k=1}^n b_k g_k(\theta)\right] \mathrm{d} \theta\right\}, \\ \frac{\int_{\Omega_\theta} g_k(\theta) \exp \left[\sum\limits_{k=1}^n b_k g_k(\theta)\right] \mathrm{d} \theta}{\int_{\Omega_\theta} \exp \left[\sum\limits_{k=1}^n b_k g_k(\theta)\right] \mathrm{d} \theta}=m_k \quad k=1,2, \cdots, n。 \end{array}\right.$

(8)

本文将利用非线性规划算法求解上述方程组。显然，对于总离差平方和 $\zeta = \sum\limits_{k = 1}^n {{\text{error}}_k^2}$ 而言，当其满足 $\zeta \leqslant \varepsilon$ 条件时，其对应解即为待定系数 ${b_k}$ （ $k = 0,1,2,$ $\cdots ,n$ ）最优解。其中， ${\text{erro}}{{\text{r}}_k} = =\frac{\int_{\Omega_\theta} g_k(\theta) \exp \left[\sum\limits_{k=1}^n b_k g_k(\theta)\right] \mathrm{d} \theta}{\int_{\Omega_\theta} \exp \left[\sum\limits_{k=1}^n b_k g_k(\theta)\right] \mathrm{d} \theta}-m_k$ 为基于边缘概率密度估计函数和Bootstrap样本计算的k阶矩误差， $\varepsilon$ 为允许误差。进一步地，将所求得待定系数 ${b_k}$ （ $k = 0,1,2 \cdots ,n$ ）代入式（7）中即可最终求得统计不确定性变量边缘概率密度函数 $f({\alpha _1})$ ， $f({\alpha _2})$ 和 $f({\beta _{\text{d}}})$ 。

在上述基础上，采用Copula函数来具体表征变量 ${\alpha _1}$ ， ${\alpha _2}$ ， ${\beta _{\text{d}}}$ 之间的相关性结构。基于Copula理论，联合概率密度函数 $f({\boldsymbol{R}})$ 形式如式（9）所示，其对应最优Copula函数可依据AIC或BIC准则进行选取^[15]。

$f(\boldsymbol{R}) = c[F({\alpha _1}),F({\alpha _2}),F({\beta _{\text{d}}})]f({\alpha _1})f({\alpha _2})f({\beta _{\text{d}}}) 。$

(9)

式中： $c[ \cdot ]$ 为Copula密度函数； $F( \cdot )$ 为累计分布函数。

1.3 均值易损性与包络易损性求解

为进一步量化由地震需求统计不确定性所导致的地铁车站结构地震易损性的变异性，在定义域 ${\Omega _{\boldsymbol{R}}}$ 内通过对统计不确定性变量进行积分，进而求得地铁车站结构地震易损性相关统计矩。均值易损性曲线以及易损性标准差曲线可通过式（10），（11）得到。考虑到难以获得地震易损性相关统计矩的解析形式，本文将采用Gauss-legendre积分算法进行数值求解。

$P_{\mathrm{f}}^m(i m)=E\left[P_{\mathrm{f}}(i m)\right]=\int_{\Omega_R} P_{\mathrm{f}}(i m ; \boldsymbol{R}) f(\boldsymbol{R}) \mathrm{d} \boldsymbol{R} \text{，}$

(10)

$s_{\text{f}}^{}(im) = \sigma [{P_{\text{f}}}(im)]$

$=\sqrt{\int_{\Omega_{\mathbf{R}}}\left\{P_{\mathrm{f}}(i m ; \boldsymbol{R})-P_{\mathrm{f}}^m(i m)\right\}^2 f(\boldsymbol{R}) \mathrm{d} \boldsymbol{R}}。$

(11)

值得强调的是，均值易损性本质上对所有统计不确定性变量的影响进行了均化处理，而易损性自身具有一定的不确定性程度，故其可由对应一定置信水平的包络易损性来呈现，如下所示：

$[P_{\text{f}}^{{\text{lower}}}(im),P_{\text{f}}^{{\text{upper}}}(im)] = [{P_{\text{f}}}(im|{{\boldsymbol{R}}_\psi }),{P_{\text{f}}}(im|{{\boldsymbol{R}}_\eta })] 。$

(12)

式中： ${{\boldsymbol{R}}_\psi }$ ， ${{\boldsymbol{R}}_\eta }$ 均代表统计不确定性变量R的分位值。

2. 数值模型建立与地震动记录选取

2.1 数值模型建立

本文以日本阪神地震中遭受震害的大开地铁车站主体结构为例，其结构埋深4.8 m，宽17 m，高7.17 m，中柱间距3.5 m，中柱截面为0.4 m×1 m，配筋率为6.0%，结构横截面和中柱配筋图如图 1所示。该车站所处场地由全新世砂土、更新世黏土、更新世砂土组成，土体物理参数详见文献[2]所述。本文进一步考虑结构材料参数随机性对地震响应及抗震性能的影响，依据拉丁超立方抽样技术并借助Tcl语言和OpenSees开源程序平台构建包含100个土-地铁车站结构相互作用体系数值模型的样本集，其对应的结构材料参数随机变量概率分布特征及相关系数矩阵详见文献[16]。

图 1 大开车站结构详图

Figure 1. Details of Daikai subway station

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具体地，数值模型中土体选取Quad平面应变单元，土体本构力学行为均采用多屈服面弹塑性材料模拟。其中：砂土为可考虑循环荷载作用下砂土剪胀、剪缩、流动等特性的PDMY材料，其屈服面为Drucker-Prager模型；黏土为剪切变形特性对围压变化不敏感的PIMY材料，其屈服面为Von Mises模型。地铁车站结构选取具有纤维截面的dispBeamColumn单元模拟，混凝土则采用可考虑箍筋约束效应的修正Kent-Park模型，钢筋采用可考虑各向同性应变硬化效应的Giuffre-Menegotto-Pinto模型。选用BeamContact2D单元来模拟土体与地铁车站结构之间的摩擦接触界面。摩擦接触界面的本构则采用基于正则化库仑摩擦定律的ContactMaterial2D模型，其界面刚度参数和界面摩擦系数分别设置为1000 kPa/m和0.4^{[8, 17]}。土-地铁车站结构相互作用体系数值模型如图 2所示。其中，数值模型单元网格尺寸为0.5~1.7 m，均小于1/10~1/8波长，满足数值模型计算稳定性和精度要求^[6]。根据文献[]所述，当整体有限元模型地基宽度B与地下结构宽度b满足 $B/b$ ≥ $5$ 条件时，模型侧向边界对地下结构动力响应的影响可以忽略。本文中B=170 m，b=17 m，并将两侧边界条件设置为捆绑边界，显然满足数值求解的动力边界设置要求。模型底部采用固定边界，顶部为自由边界。在此基础上，首先对数值模型施加初始地应力平衡，然后采用基底一致激励，输入水平地震动，进而获取地铁车站结构初始地震需求样本。

图 2 大开车站有限元模型图

Figure 2. FE model for Daikai subway station

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2.2 地震动记录选取

本文地震动选自太平洋地震工程研究中心（PEER）的强震记录，其选取原则如下^[6]：①所选取地震动记录应能充分考虑阪神地震中大开地铁车站所遭受的实际地震动；②地震动记录所对应场地特征条件应尽可能与大开地铁车站场地条件相似；③所选地震动记录应涵盖较广范围的地震强度以及频率特性，从而能充分考虑地震动的不确定性。鉴于阪神地震中大开车站的震中距为15 km，震源深度为10~14 km，最大地震加速度为0.84g，场地等效剪切波速为191.9 m/s，本文进一步结合上述选取原则从PEER库中选取100条地震动记录，其震级范围为6.5~8.0，震中距范围为10~30 km，Vs30范围为180~360 m/s，PGA范围为0.05g~0.9g。所选取的100条地震动记录加速度反应谱如图 3所示。

图 3 地震动记录反应谱曲线

Figure 3. Acceleration response spectra of seismic records

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值得强调的是，图 3中地震波为地面监测台站所监测得到的，而本文中地铁车站结构地震分析需进一步通过EERA程序对地表处地震波进行反演处理，进而将其转换为基岩处地震波。图 3所对应的反演后地震动加速度反应谱如图 4所示。

图 4 基岩处地震动反应谱曲线

Figure 4. Acceleration response spectra at the bedrock

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3. 地震易损性分析

3.1 地震需求分析及极限状态划分

在上述基础上，进一步采用云图法获得地震需求数据。具体地，基于随机性、唯一性及完备性原则，采用Python中的numpy函数将上述100组基岩波与100个土-地铁车站相互作用体系数值模型样本随机组合，并进行非线性动力时程分析，从而获得地铁车站结构初始地震需求样本集合。进一步地，将PGA作为地震动强度指标，最大层间位移角θ_max为地震需求指标，依据式（2），（3）对地铁车站结构进行概率地震需求分析，进而求解基于有限地震需求样本的易损性估计值。地震需求样本及拟合结果如图 5及下式所示：

$\begin{gathered} \ln \theta_{\max }=0.7919 \ln \text { PGA }-4.793, \\ \beta_{\mathrm{d}}=0.3486。 \end{gathered}$

(13)

图 5 地震需求样本及拟合结果

Figure 5. Seismic demand samples and fitting results

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此外，本文将地铁车站结构极限状态划分为：轻微破坏、中等破坏、严重破坏和完全破坏，并开展数值模型样本的地下结构pushover分析。具体地，对土体和结构节点施加沿土层深度呈倒三角形分布的单调递增水平惯性加速度，并进行非线性动力分析，进而得到地铁车站结构中柱的承载能力曲线。将层间位移角θ作为量化指标，基于M-θ四折线模型^[2]（如图 6所示）对100组地铁车站结构数值模型样本的pushover曲线进行极限状态阈值标定，从而得到结构抗震能力均值和对数标准差，具体如表 1所列。

图 6 M-θ四折线骨架模型示意图

Figure 6. Schematic diagram of M-θ skeleton curve

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表 1 地铁车站抗震能力均值及对数标准差

Table 1. Mean values and logarithmic standard deviations of seismic capacity

极限状态	轻微破坏	中等破坏	严重破坏	完全破坏
m_c/%	0.1453	0.2983	0.3795	0.5308
β_c	0.1763	0.1681	0.1508	0.2222

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3.2 统计不确定性量化

将上述100组地铁车站结构地震需求样本作为原始数据集，并采用Bootstrap法将有限样本问题转化为大样本问题。具体地，结合1.1节所提求解流程及MATLAB中的bootstrp函数和polyfit函数，进一步编写了对应计算程序，对原始地震需求数据集进行处理，从而得到10⁵组统计不确定性变量R的Bootstrap样本集。鉴于采用样本数据前四阶统计矩信息即可精确得到随机变量概率密度函数^[14]，本文将 ${g_k}(\theta ) =$ ${\theta ^k}$ （ $k = 1,2,3,4$ ）（即前四阶原点矩）作为约束条件函数，并将允许误差ε设定为10^-7，进一步基于最大熵原理拟合统计不确定性变量R的边缘概率密度函数。值得强调的是，因基于最大熵原理的概率密度函数求解过程对拉格朗日乘子较为敏感，故本文将待定参数b_k保留至4位小数。表 2和图 7给出了统计不确定性变量的边缘概率密度函数拟合结果。综合可见，拟合概率密度曲线与频率分布直方图保持了较好的一致性，且总离差平方和ζ均小于允许误差ε，这表明统计不确定性变量边缘概率密度函数的拟合效果良好，且无需对变量分布形式进行假设，避免了引入额外认知不确定性。

表 2 边缘概率密度函数待定参数拟合结果

Table 2. Fitting results of parameters for marginal probability density functions

待定参数	统计不确定性变量
待定参数	α₁	α₂	β_d
b₀	-22.6662	-207.6298	-38.8341
b₁	1.9867	-4.3506	186.5833
b₂	72.4687	3.1861	-126.8387
b₃	2.1695	-5.6748	62.6025
b₄	-59.7779	-0.9661	-733.9239
ζ	7.96×10^-9	3.08×10^-13	1.91×10^-9

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图 7 统计不确定性变量概率密度函数曲线

Figure 7. Marginal probability density curves of statistical uncertainty variables

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此外，当采用Copula函数构建统计不确定性变量间的相关性结构时，多维阿基米德Copula函数（如Frank Copula函数、Clayton Copula函数、No.16 Copula函数等）需假设多变量间具有相同的相关结构，且只能描述变量间正相关性。然而，表 3所示的统计不确定性变量间具有不同相关系数，且拟合系数α₁，α₂与地震需求对数标准差β_d间同时具有负相关性。因此，本文将椭圆Copula函数簇中的Gaussian Copula函数和t Copula函数作为备选函数，并基于AIC准则选取Gaussian Copula函数作为描述统计不确定性变量间相关性结构的最优函数，从而进一步构建统计不确定性变量联合概率密度函数，具体如下式所示：

$f(\boldsymbol{R})=|\rho|^{-1 / 2} \exp \left[-\frac{1}{2} \xi^{\prime}\left(\rho^{-1}-\boldsymbol{I}\right) \xi\right] f\left(\alpha_1\right) f\left(\alpha_2\right) f\left(\beta_{\mathrm{d}}\right) 。$

(14)

表 3 统计不确定性变量间相关性系数

Table 3. Correlation coefficients between statistical uncertainty variables

变量	Pearson相关系数	Kendall秩相关系数	Gaussian Copula相关系数
α₁和α₂	0.9523	0.8066	0.9542
α₁和β_d	-0.0071	-0.0070	-0.0109
α₂和β_d	-0.0046	-0.0064	-0.0101

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式中： $\xi ' = ({\Phi ^{ - {\text{1}}}}(F({\alpha _1})),{\Phi ^{ - {\text{1}}}}(F({\alpha _2})),{\Phi ^{ - {\text{1}}}}(F({\alpha _3})))$ 为标准正态分布变量；I为单位矩阵； $\rho$ 为依据表 3中Gaussian Copula函数相关性系数构建的矩阵。

3.3 统计不确定性对地震易损性的影响

进一步地，将联合概率密度函数 $f({\boldsymbol{R}})$ 代入式（10）中，计算地铁车站均值地震易损性 $P_{\text{f}}^m(im)$ ，如所示。由可见，考虑地震需求统计不确定性的均值地震易损性与基于有限地震需求样本的地震易损性估计值间存在一定差异。具体地，在轻微破坏状态下，考虑地震需求统计不确定性的均值地震易损性小于地震易损性估计值，而在中等破坏、严重破坏和完全破坏状态下均值地震易损性则高于估计值。这表明在评估地铁车站结构地震易损性时，由有限地震需求样本所导致认知不确定性将引起不可靠的分析结果。此外，依据式（11）计算地铁车站结构地震易损性标准差 ${s_{\text{f}}}(im)$ ，如图 9所示。由图 9可知，随着地震动强度PGA的增加，地铁车站结构地震易损性标准差呈现出先增大后减小的趋势。这一结果揭示了地震需求统计不确定性对地铁车站结构地震易损性影响的客观规律，即随着地震动强度增加呈现出先增大后减小的非线性特性，且进一步表明了不同地震动强度下基于有限地震需求样本的地铁车站结构地震易损性估计精度不同。因此，在评估和预测地铁车站结构抗震能力及地震风险时，对于不同地震动强度需采取不同策略以适应地震易损性变异程度的变化规律。特别地，当地震动强度足够大时，失效概率离散性逐步趋向于0，由有限地震需求样本所导致的认知不确定性对地铁车站结构地震易损性评估的影响则可忽略。

图 8 地震易损性均值与估计值对比

Figure 8. Comparison of mean and estimated seismic fragilities

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图 9 地震易损性标准差

Figure 9. Standard deviations of seismic fragility

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为讨论统计不确定性变量间相关性的影响规律，本文进一步给出了未考虑统计不确定性变量间相关性的均值地震易损性曲线和地震易损性标准差曲线，分别如图 8，9所示。

由图 8可见，未考虑统计不确定性变量间相关性的均值地震易损性均小于考虑统计不确定性变量间相关性的均值地震易损性以及地震易损性估计值。这表明忽略统计不确定性变量间相关性会一定程度上低估有限地震需求样本所引起的不确定性程度，进而在一定程度上会高估地铁车站结构抗震性能。

由图 9可见，考虑和未考虑统计不确定性变量间相关性所对应的地震易损性标准差曲线具有相似的发展规律，但后者失效概率标准差峰值小于前者。进一步地，综合图 9和表 4可知，考虑统计不确定性变量间相关性与否，对失效概率标准差峰值所对应的地震动强度具有一定影响。具体地，忽略统计不确定性变量间相关性后，轻微破坏状态下具有失效概率标准差峰值的地震动强度增大，而中等、严重和完全破坏状态下具有失效概率标准差峰值的地震动强度减小。由此可知，不精确的统计不确定性建模同样会导致认知不确定性量化结果失真。因此，在量化由有限地震需求样本所导致的地震易损性认知不确定性过程中，合理地表征统计不确定性变量间的相关性结构是十分必要的。

表 4 标准差峰值对应的地震动强度

Table 4. Ground motion intensities corresponding to peak standard deviation

极限状态	考虑相关性	未考虑相关性
轻微破坏	0.095g/0.0769	0.111g/0.0443
中等破坏	0.340g/0.0523	0.274g/0.0404
严重破坏	0.435g/0.0618	0.371g/0.0556
完全破坏	0.630g/0.0821	0.560g/0.0736

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3.4 均值与包络地震易损性曲线

如前所述，有限地震需求样本条件下地铁车站结构地震易损性具有显著变异性，且均值地震易损性曲线可反映地震需求统计不确定性对地震易损性的平均影响水平，但其尚不能给出地震易损性所对应上下界或变异性程度。此外，通过试算发现，变量R在 $[\mu - 3\sigma ,\mu + 3\sigma ]$ 区间内已包含了99%的统计不确定性变量。其中，μ和σ分别代表统计不确定性变量R的均值和标准差。因此，为表征地铁车站结构地震易损性的统计变异性，本文将进一步考虑易损性函数与变量R的增减关系以及其在区间运算时所具有的扩张性，并基于统计不确定性变量R在 $[\mu - 3\sigma ,\mu + 3\sigma ]$ 区间值和式（12）构建置信水平为99%的包络地震易损性，从而可替代传统地震易损性分析中单一易损性曲线，具体计算结果如表 5和图 10所示。

表 5 不同地震动强度下各极限状态的包络地震易损性

Table 5. Envelope seismic fragilities of limit states under different ground motion intensities

PGA/g	轻微破坏		中等破坏		严重破坏		完全破坏
PGA/g	上界	下界	上界	下界	上界	下界	上界	下界
0.1	0.5787	0.3367	0.0095	0.0279	0.0009	0.0057	0.0001	0.0008
0.2	0.9806	0.7638	0.3257	0.2225	0.1251	0.0864	0.0341	0.0205
0.3	0.9992	0.9171	0.7438	0.4636^#	0.4941^*	0.2481	0.2099	0.0793
0.4	0.9999	0.9685	0.9251	0.6501^#	0.7854^*	0.4224^#	0.4661^*	0.1687
0.5	1.000	0.9870	0.9798	0.7751^#	0.9215^*	0.5715^#	0.6825^*	0.2710
0.6	1.000	0.9942^#	0.9945^*	0.8550^#	0.9732^*	0.6880^#	0.8244^*	0.3728
0.7	1.000	0.9973^#	0.9985^*	0.9055^#	0.9908^*	0.7725^#	0.9064^*	0.4669
注：符号#和*所对应数值分别代表相邻极限状态的包络地震易损性交叉区间下限和上限。

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图 10 地铁车站均值与包络地震易损性曲线

Figure 10. Mean and envelope seismic fragility curves of subway station

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由表 5和图 10可知，包络地震易损性上下界间宽度可反映地铁车站地震易损性的变异性程度。当地震动强度较小时，包络地震易损性上下界水平接近，即地震动和结构自身不确定性占主导地位，显然此时地震需求统计不确定性的影响可以忽略。不同地，随着地震动强度的逐步增大，包络地震易损性上下界间宽度则呈现先增大后减小的变化趋势。特别地，当地震动强度足够大时，均值地震易损性水平趋近于1，且包络地震易损性上下界间宽度减缩至0，意味着地铁车站结构失效是必然的，即此时不存在任何不确定性的影响。由上述结果可知，相对于传统分析方法中基于有限地震需求样本所确定的地震易损性而言，依据本文方法求得的均值与包络易损性可更为有效地考虑有限地震需求样本所导致的地铁车站结构地震易损性不确定性程度，从而能更好地保证地震易损性分析可信度。这样，对于当前地铁车站结构的非完备地震需求数据集统计不确定性及地震易损性变异性量化，本文从不确定性量化角度所提方法均呈现出良好适用性。此外，由于材料非线性力学行为、土-地下结构非线性相互作用所导致的较高数值消耗，部分型式的地下结构地震需求数据同样具有一定程度的统计不确定性。因此，本文所提方法亦可为其他相关型式地下结构地震易损性变异性的量化分析提供参考。需要指出的是，表 5中相邻极限状态所对应包络地震易损性水平存在一定交叉现象。例如：当地震动强度PGA为0.4g时，严重破坏状态下包络地震易损性上界0.7854大于中等破坏状态下包络地震易损性下界0.6501，即交叉区间为[0.6501，0.7854]。这表明对于不同极限状态定义存在一定模糊性，而此种模糊性亦应是未来相关工作的重要考量点。

4. 结论

针对当前有限地震需求数据导致地铁车站地震易损性具有较低可信度的问题，本文综合Bootstrap法、最大熵原理以及Copula理论，提出了一种可考虑地震需求统计不确定性的地铁车站结构地震易损性分析方法，并以大开地铁车站为具体对象，系统分析了地震需求统计不确定性的影响规律。主要得到以下4点结论。

（1）综合非参数化Bootstrap法和最大熵原理的统计不确定性变量边缘概率密度曲线构建法具有良好鲁棒性。这为量化有限地震需求样本导致的地铁车站地震易损性认知不确定性提供了一种有效途径。

（2）在不同地震动强度作用下，基于有限地震需求样本的地铁车站结构地震易损性变异程度不同，且该变异程度会随着地震动强度的增加呈现出先增大后减小的变化趋势。

（3）忽略统计不确定性变量间相关性的影响，会在一定程度上低估有限地震需求样本所引起的地铁车站结构地震易损性不确定性程度，进而在一定程度上高估地铁车站结构抗震性能。

（4）本文所提方法能对地铁车站结构地震需求统计不确定性的影响进行有效量化，同时所得均值与包络易损性曲线亦能考虑地铁车站地震易损性的变异程度，且具有良好可信度，可为地铁车站结构抗震性能和地震风险评估提供参考和指导作用。

图 1 大开车站结构详图

Figure 1. Details of Daikai subway station

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图 2 大开车站有限元模型图

Figure 2. FE model for Daikai subway station

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图 3 地震动记录反应谱曲线

Figure 3. Acceleration response spectra of seismic records

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图 4 基岩处地震动反应谱曲线

Figure 4. Acceleration response spectra at the bedrock

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图 5 地震需求样本及拟合结果

Figure 5. Seismic demand samples and fitting results

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图 6 M-θ四折线骨架模型示意图

Figure 6. Schematic diagram of M-θ skeleton curve

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图 7 统计不确定性变量概率密度函数曲线

Figure 7. Marginal probability density curves of statistical uncertainty variables

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图 8 地震易损性均值与估计值对比

Figure 8. Comparison of mean and estimated seismic fragilities

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图 9 地震易损性标准差

Figure 9. Standard deviations of seismic fragility

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图 10 地铁车站均值与包络地震易损性曲线

Figure 10. Mean and envelope seismic fragility curves of subway station

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表 1 地铁车站抗震能力均值及对数标准差

Table 1 Mean values and logarithmic standard deviations of seismic capacity

极限状态	轻微破坏	中等破坏	严重破坏	完全破坏
m_c/%	0.1453	0.2983	0.3795	0.5308
β_c	0.1763	0.1681	0.1508	0.2222

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表 2 边缘概率密度函数待定参数拟合结果

Table 2 Fitting results of parameters for marginal probability density functions

待定参数	统计不确定性变量
待定参数	α₁	α₂	β_d
b₀	-22.6662	-207.6298	-38.8341
b₁	1.9867	-4.3506	186.5833
b₂	72.4687	3.1861	-126.8387
b₃	2.1695	-5.6748	62.6025
b₄	-59.7779	-0.9661	-733.9239
ζ	7.96×10^-9	3.08×10^-13	1.91×10^-9

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表 3 统计不确定性变量间相关性系数

Table 3 Correlation coefficients between statistical uncertainty variables

变量	Pearson相关系数	Kendall秩相关系数	Gaussian Copula相关系数
α₁和α₂	0.9523	0.8066	0.9542
α₁和β_d	-0.0071	-0.0070	-0.0109
α₂和β_d	-0.0046	-0.0064	-0.0101

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表 4 标准差峰值对应的地震动强度

Table 4 Ground motion intensities corresponding to peak standard deviation

极限状态	考虑相关性	未考虑相关性
轻微破坏	0.095g/0.0769	0.111g/0.0443
中等破坏	0.340g/0.0523	0.274g/0.0404
严重破坏	0.435g/0.0618	0.371g/0.0556
完全破坏	0.630g/0.0821	0.560g/0.0736

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表 5 不同地震动强度下各极限状态的包络地震易损性

Table 5 Envelope seismic fragilities of limit states under different ground motion intensities

PGA/g	轻微破坏		中等破坏		严重破坏		完全破坏
PGA/g	上界	下界	上界	下界	上界	下界	上界	下界
0.1	0.5787	0.3367	0.0095	0.0279	0.0009	0.0057	0.0001	0.0008
0.2	0.9806	0.7638	0.3257	0.2225	0.1251	0.0864	0.0341	0.0205
0.3	0.9992	0.9171	0.7438	0.4636^#	0.4941^*	0.2481	0.2099	0.0793
0.4	0.9999	0.9685	0.9251	0.6501^#	0.7854^*	0.4224^#	0.4661^*	0.1687
0.5	1.000	0.9870	0.9798	0.7751^#	0.9215^*	0.5715^#	0.6825^*	0.2710
0.6	1.000	0.9942^#	0.9945^*	0.8550^#	0.9732^*	0.6880^#	0.8244^*	0.3728
0.7	1.000	0.9973^#	0.9985^*	0.9055^#	0.9908^*	0.7725^#	0.9064^*	0.4669
注：符号#和*所对应数值分别代表相邻极限状态的包络地震易损性交叉区间下限和上限。

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