0.   引言

砂土液化会导致土体强度和刚度的损失，是建筑物和基础设施破坏的主要原因之一。由砂土液化引起的地下结构或上部结构的破坏，如位移过大、结构转动和地面破坏，以及地下结构的上浮等在世界范围内广泛发生，如2018年中国松原地震^[1]，2016年日本Kumamoto地震^[2]。因此，砂土液化一直是土木基础设施中具有挑战性的工程问题。合理评价饱和砂土在液化过程中的性质演变及其对循环荷载的动力响应，是解决液化砂土大变形问题的关键^[3]。

利用有效应力原理可以评价液化的起始。Seed等^[4]将初始液化定义为首次出现有效应力为零的状态。根据超孔隙水压力（EPWP）可将液化分为液化前和液化后两个阶段。Konstadinou等^[5]根据超孔压的增量模式将其分为3个不同的液化阶段，并提出了超孔压的增长表达式。Pan等^[6-7]根据应力-应变关系和孔压消散过程将液化过程分为低强度阶段、超线性强度恢复阶段和次线性强度恢复阶段。

虽然有学者关注液化的阶段性特征和阶段过渡的判断准则^[8-9]，但现有的研究仍存在一些问题。例如，现有的研究通常只从传统固体连续介质理论的角度考虑液化的阶段性特征。由于，不同粒径分布、相对密度和工作条件的砂土液化过程不同，现有的液化阶段性判断准则也不同。此外，能够描述液化过程阶段性特征的统一流体本构模型鲜有报道。

通过一系列不排水循环三轴试验，研究了循环荷载作用下液化过程的阶段性特征。根据孔压比增长速率，将饱和砂土液化过程分为固态土体阶段、固液相变阶段、触变性流体阶段和稳定性流体阶段4个阶段。基于Gompertz成长函数和孔压触变性流体模型(TEPP)，提出了考虑阶段性特征的修正孔压触变性流体模型(MTEPP)并进行了验证。

1.   试验方案

1.1   试验砂样及试验工况

南京细砂是一种广泛分布在南京长江下游漫滩上的冲积沉积物。试验以南京细砂作为研究对象，所用南京细砂颗粒级配曲线如图 1所示，主要物理参数如下：不均匀系数C_u=2.31，曲率系数C_c=1.07，特征粒径d₅₀=0.16mm，最大孔隙比e_max=1.14，最小孔隙比e_min=0.62，颗粒密度G_s=2.70 g/cm³。

图  1  南京细砂的颗粒级配曲线

Figure  1.  Grain-size distribution curve of Nanjing fine sand

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试验以初始有效围压${\sigma '_{\text{c}}}$和循环应力比（CSR）作为主要影响因素进行考虑，开展固结不排水循环三轴试验，研究初始有效围压和循环应力比对砂土动力特性的影响。根据两个影响因素所设计的试验加载方案如表 1所示，初始有效围压采用50，100，150 kPa；循环应力比即有效围压归一化的循环剪应力控制在0.15，0.18，0.21；加载频率均控制为1 Hz。此外，为排除相对密度对试验结果的影响，仅考虑中密砂土，试样相对密实度D_r为50%，其对应饱和密度为1.90 g/cm³，含水率为32.6%。

表  1  南京细砂循环三轴试验方案

Table  1.  Schemes of cyclic triaxial tests on Nanjing fine sand

工况	加载频率f/Hz	初始有效围压σ'c/kPa	循环应力比CSR
T1	1	50	0.18
T2	1	100	0.15
T3	1	100	0.18
T4	1	100	0.21
T5	1	150	0.18
T6	1	150	0.21

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1.2   试样制备及试验过程

在3种初始有效围压作用下，进行等压固结。开启排水阀，直至超孔压完全消散，达到目标有效围压；关闭排水阀，试样制备完成。饱和固结后，通过动三轴仪顶部压板与试样顶部接触，对试样施加不同正弦轴向应力，并记录试样的轴向应力、轴向应变和超孔压随时间的变化规律，以评价南京细砂不排水动力特性。当超孔压达到初始有效围压时，继续加载10个循环后停止试验。

2.   试验结果及分析

2.1   南京细砂的液化阶段性特征

图 2为T1工况下饱和砂土液化阶段的孔压比增长速率和残余剪应变随循环荷载的变化规律。在此基础上，详细描述了饱和砂土动孔压比与剪应变的关系，以及孔压比增长速率随循环荷载的发展规律。

图  2  残余剪应变与孔压比增长速率的阶段特征

Figure  2.  Comparison of stage characteristics between residual shear strain and growth rate of excess pore pressure ratio

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孔压增长是循环荷载作用下饱和砂土内部结构变化的根本原因^[10]。将单位时间内峰值孔压比变化量定义为孔压比增长速率：

式中：${r_{\text{u},i + 1}}$，${r_{\text{u},i}}$，${r_{\text{u},i - 1}}$分别为${t_{i + 1}}$，${t_i}$，${t_{i - 1}}$时刻对应的孔压比；${\dot r_{\text{u}}}$为${t_i}$时刻的孔压比增长速率。

图 3为T1工况（${\sigma '_{\text{c}}} = 50{\text{ kPa}}$，CSR=0.18）下土体剪应变与孔压比关系。根据孔压比增长速率可将剪应变与孔压关系分为4个阶段。各阶段孔压比在加载阶段与卸载阶段的发展并不一致，其差异随着循环次数的增加而增大，这与饱和砂土内部结构的不断变化有关。

图  3  剪应变-孔压比曲线

Figure  3.  Curves of shear strain against ratio of excess pore pressure

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图 4，5为T1工况下饱和砂土液化阶段孔压比、孔压比增长速率、剪应变率及表观黏度随循环次数的变化规律。根据孔压比增长速率的阶段性特征将其划分为四个阶段描述饱和砂土的剪应变与孔压比关系，以及剪应变率和表观黏度等随循环次数的发展规律。

图  4  孔压比与孔压比增长速率发展

Figure  4.  Development of ratio of excess pore pressure and its growth rate

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图  5  剪应变率与表观黏度发展

Figure  5.  Development of rate of shear strain and apparent viscosity

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（1）第一阶段（第1—第5个循环），即固态土体阶段，剪应变$\gamma$随孔压比${r_{\text{u}}}$呈线性增加（图 3）。加载阶段和卸载阶段的$\gamma {\text{ - }}{r_{\text{u}}}$曲线存在差异，且差异随周期增大而增大。需要注意的是，随着循环次数的增加，孔压比增长速率${\dot r_{\text{u}}}$逐渐减小（图 4）。加载初始阶段，饱和砂土的表观黏度较高，约为1550 kPa∙s；剪应变率几乎为0（图 5）。

（2）第二阶段，即固液相变阶段，饱和南京细砂的剪应变$\gamma$仍随着孔压比${r_{\text{u}}}$的增大而增大。剪应变随孔压比的增长速率略大于第一阶段。加载阶段和卸载阶段的剪应变-孔压比曲线差异明显大于第一阶段。表观黏度随循环次数的增加而急剧线性下降；剪应变率开始缓慢增加，但数值仍然在10^-2数量级，说明饱和砂土的流动性仍然很小。由于超孔压的产生，饱和砂土的内部结构逐渐被破坏，剪应变率缓慢增加。孔压比随着循环次数的增加而迅速积累，且孔压比增长速率增大（图 4）。饱和砂土仍处于轴向压缩状态。

（3）第三阶段，触变流体阶段与前两个阶段不同，剪应变与孔压比的发展曲线呈向上的抛物线。孔压比增长速率显著降低，直到饱和砂土完全液化。与前两个阶段相比，这一阶段的土体应变对孔压发展更加敏感，土体表现出显著的孔压触变性特征。土体的表观黏度随循环次数呈非线性下降，最终达到最小值，约15 kPa∙s。剪应变率显著提高，最终约为0.17%∙s^-1。这是由于土体刚度和强度的损失与超孔压的产生有关，表明饱和砂土的流动性是显著的。

（4）第四阶段，饱和南京细砂完全液化，其孔压比维持为1.0左右（图 3，4）；与此同时，双幅剪应变保持在2.7%左右（图 3）。液化后饱和砂土表观黏度保持为最小值，约为15 kPa∙s，表现为一种液体。

综上所述，饱和南京细砂剪应变的发展与孔压有关。饱和砂土的孔压比增长速率预示着土体内部结构的变化，表现出明显的阶段性特征，这与Konstadinou等^[5]的结论一致。

2.2   饱和砂土液化阶段划分

图 6为所有工况下饱和南京细砂的剪应变和孔压增长速率随循环次数的变化情况。结果表明，无论试验条件如何，饱和南京细砂均表现出典型的阶段性特征。由于未获得液化后的试验数据，其他5个试验条件的第四阶段无法进行。根据对饱和南京细砂液化过程中孔压增长速率的讨论，发现液化过程中饱和砂土呈现了4个不同性质的演变阶段。因此，以孔压增长速率进行阶段划分，并根据饱和砂土所处状态及动力响应特征将4个阶段分别命名：①固态土体阶段；②固液相变阶段；③触变性流体阶段；④稳定性流体阶段。

图  6  南京细砂所有工况的阶段性特征

Figure  6.  Stage characteristics of Nanjing fine sand for all cases

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固态土体阶段：饱和砂土几乎没有流动性。孔压在这一阶段急剧上升，但孔压比增长速率逐渐降低。在循环荷载作用下，土体残余剪应变增量处于较低状态，剪应变增长缓慢，处于累积残余变形的过程。

固液相变阶段：饱和砂土内部结构逐渐破坏，流动性开始缓慢增强，但仍处于较弱的水平。在这一阶段饱和砂土单个循环内残余剪应变增量逐渐增大，相应的孔压比增长速率逐渐增大，孔压在这一阶段快速积累，表观黏度开始呈线性急剧下降，剪应变率缓慢增加。

触变性流体阶段：饱和砂土处于高孔压比状态，剪应变率及累计残余应变显著提高，流动性开始急剧上升，土体处于高流动性状态。与固态土体及固液相变阶段相比，这一阶段的土体单周残余应变对孔压发展更加敏感，土体表现出显著的孔压触变性特征。此外，该阶段孔压上升速率逐渐降低，直至初始液化后，饱和砂土孔压峰值不再发生变化。

稳定性流体阶段：这一阶段的饱和砂土处于动态稳定性流体阶段，其对循环荷载的响应不再随振次发生变化。

2.3   饱和砂土液化阶段性特征的验证

下面对其他学者开展的另外3种类型砂土（Ticino sand^[11]、Leighton Buzzard sand^[12]、Sant' Agostino sand^[13]）在初始有效围压50 kPa下的循环三轴试验进行分析，验证其四阶段特性及阶段划分方法的适用性。3种砂土颗粒级配曲线如图 7所示，试验条件如表 2所示。

图  7  砂土颗粒级配曲线

Figure  7.  Grain-size distribution curves of sand

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表  2  3种类型砂土的试验条件

Table  2.  Test conditions for several types of sand

试验编号	砂土名称	f/Hz	Dr%	CSR
CTX_T2	Ticino sand	0.010	37.8	0.255
CTX_LB3	Leighton Buzzard sand	0.010	54.4	0.128
S_SA10	Sant' Agostino sand	0.008	73.0	0.164

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图 8给出了这3类砂的孔压比${r_{\text{u}}}$和孔压比增长速率${\dot r_{\text{u}}}$、剪应变率$\dot \gamma$和表观黏度$\eta$的变化规律。结果表明，即使这四类砂的级配、相对密度、围压、循环应力比及加载频率与本文试验均不同，但饱和砂土在循环荷载作用下均表现出明显的阶段性特征，而本文提出的以孔压比增长速率${\dot r_{\text{u}}}$作为液化阶段划分标准对饱和砂土普遍适用。

图  8  不同砂的阶段性特征

Figure  8.  Stage characteristics of different sands

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3.   考虑阶段性特征的MTEPP模型

3.1   表观黏度与孔压比的关系

Cheng等^[14-15]提出的经典Cross触变性流体本构模型可以用状态方程和速率方程表示为

式中：$\lambda$为结构完整性参数，取值范围为0~1($\lambda$=0表示结构完全破坏；$\lambda$=1对应结构完整状态)；常数a，b，c，n可以通过试验得到；$b(1 - \lambda )$和$c\lambda {\dot \gamma ^n}$分别为结构的重构速率和破坏速率。

Wang等^[16]提出了一种基于Cross模型的孔压触变性流体模型(TEPP)来描述循环荷载作用下饱和砂土的流体特性。在TEPP模型中，$\lambda = 1 - {r_{\text{u}}}$，$a = {\eta _0} - {\eta _\infty }$，式（2），（3）可表示为

式中：${\eta _0}$为初始平衡态的表观黏度（${r_u} = 0$，$\lambda = 1$）；${\eta _\infty }$为极限平衡状态下的表观黏度，意味着触变流体的内部结构不再发生变化（${r_{\text{u}}} = 1$，$\lambda = 0$）。饱和砂土在循环荷载作用下内部结构的重构速率很低，因此参数b近似等于零。TEPP模型将表征流体性质的参数c作为常数，这与本研究观察到的阶段性特征不一致。

在本研究中，使用不同的破坏速率参数c来表征循环荷载作用下饱和砂土的不同阶段。因此，修正速率方程为

此外，在Cross模型和TEPP模型中，表观黏度η均与结构参数$\lambda$(在TEPP模型中与孔压比相关)呈线性关系。然而，本研究进行的动三轴试验表明，表观黏度η与孔压比(${r_{\text{u}}} = 1 - \lambda$)之间存在非线性关系。表观黏度η随着超孔压比${r_{\text{u}}} = 1 - \lambda$的增大呈现出3个阶段，即缓慢衰减阶段、快速衰减阶段以及趋向稳定阶段。因此，本文引入Gompertz函数来描述表观黏度与孔压比的关系：

式中：η₀为函数的上限，本文为初始平衡状态下（r_u=0）的表观黏度；k为控制衰减速率的系数，k越大衰减速率越快，具体取值可由试验结果拟合得到；${r_{{\text{u,c}}}}$为Gompertz函数转折点处的超孔压比，数值上接近于表观黏度为0.37η₀时对应的超孔压比。

Gompertz函数可以用来描述非线性增长的现象，具有发生阶段、发展阶段和成熟阶段3个阶段。在每个阶段，函数的增长速率都不同。在发生阶段，受初始条件限制（围压、土骨架接触力等），增长速率相对较缓慢；在发展阶段，增长速率迅速增大，主要受到增长条件的影响（外部动荷载等）；在成熟阶段，函数的增长速率开始逐渐减缓，主要由于生态系统的内在限制所导致（最终液化状态）。这种非线性增长现象具有广泛的应用背景，例如生物学、医学、经济学等领域。

图 9比较了饱和南京细砂的线性函数(Cross模型和TEPP模型)与Gompertz函数中$\eta$和${r_{\text{u}}}$的拟合曲线。Gompertz函数拟合参数的${R^2}$均大于0.97。结果表明，与Cross和TEPP函数相比，Gompertz函数能更好地描述饱和砂土表观黏度$\eta$与孔压比${r_{\text{u}}}$之间的关系。据此，在TEPP模型中引入Gompertz函数可得到修正状态方程为

图  9  表观黏度与孔压比的关系

Figure  9.  Relationships between apparent viscosity and ratio of pore pressure

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因此，由式（6），（8）可得到修正的TEPP模型(MTEPP)。表 3比较了3种触变流体模型。

表  3  触变性流体本构模型

Table  3.  Constitutive models for thixotropic fluid

方程	Cross触变性流体模型[15]	TEPP模型[16]	MTEPP模型（本文提出）
状态方程	$\tau = ({\eta _\infty } + a\lambda ) \cdot \dot \gamma$	$\tau = [{\eta _\infty } + ({\eta _0} - {\eta _\infty }) \cdot (1 - {r_{\text{u}}})]\dot \gamma$	$\tau = {\eta _0}{\text{e}^{ - {\text{e}^{\left[ { - k\left( {\left( {1 - {r_{\text{u}}}} \right) - \left( {1 - {r_{{\text{u,c}}}}} \right)} \right)} \right]}}}} \cdot \dot \gamma$
速率方程	${\text{d}}\lambda /{\text{d}}t = b(1 - \lambda ) - c\lambda {\dot \gamma ^n}$	${\text{d}}(1 - {r_{\text{u}}})/{\text{d}}t = - c(1 - {r_{\text{u}}})\dot \gamma$	$\text{d}(1-{r}_{\text{u}})/\text{d}t=-c(1-{r}_{\text{u}})\dot{\gamma }\text{ }\left(c=\left\{\begin{array}{c}{c}_{1}（\text{stage1}）\text{ }\\ {c}_{2}（\text{stage2}）\text{ }\\ {c}_{3}（\text{stage3}）\text{ }\end{array}\right.\right)$
表观黏度	$\eta {\text{ = }}{\eta _\infty } + a\lambda$	$\eta {\text{ = }}{\eta _\infty } + ({\eta _0} - {\eta _\infty })(1 - {r_{\text{u}}})$	$\eta {\text{ = }}{\eta _0}{\text{e}^{ - {\text{e}^{\left[ { - k\left( {\left( {1 - {r_{\text{u}}}} \right) - \left( {1 - {r_{{\text{u,c}}}}} \right)} \right)} \right]}}}}$

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3.2   考虑阶段性特征的MTEPP模型

式（5）可表示为

对式（9）积分得到：

式（10）的离散形式可导出为

式中：${r_{\text{u},i}}$为第i次循环的最大孔压比，${\dot \gamma _j}$为第j次循环的最大剪应变率，$\Delta t = 1/f$为单周循环加载时间。至此，式（11）给出了基于能量积累的超孔压模型，土体超孔压发展与各振动周次的剪应变率相关。该式从流体力学角度解释了动荷载作用下饱和砂土的超孔压发展的内在物理机制。

将${r_{\text{u},i}}$和${\dot \gamma _j}$的实测值代入式（11），得到每种情况下的拟合参数${c_1}$，${c_2}$，${c_3}$的值。根据试验结果，得到了初始表观黏度${\eta _0}$、衰减系数k和${r_{{\text{u},c}}}$。表 4总结了${c_1}$，${c_2}$，${c_3}$，k，${r_{{\text{u},c}}}$，${\eta _0}$等参数，可见，有效围压越低，循环应力比越高，${c_1}$值越大，表明在低围压、高循环应力比条件下，饱和土更易由固体阶段转变为固流过渡阶段。初始表观黏度${\eta _0}$随液化势的增大（${\sigma '_c}$增大或CSR减小）而减小。

表  4  MTEPP模型参数拟合

Table  4.  Fitting of paramettrs of MTEPP model

工况	${\sigma '_{\text{c}}}$/kPa	CSR	拟合参数
			c1	c2	c3	k	ru, c	η0/(kPa·s)
T1	50	0.18	17	18.3	9.2	5.29	0.68	1812.68
T2	100	0.15	3.1	5.3	4.9	5.58	0.73	3543.70
T3	100	0.18	3.9	4.2	3.8	3.45	0.57	3117.99
T4	100	0.21	10.0	11.0	5.5	4.61	0.63	2767.69
T5	150	0.18	2.9	6.3	5.9	6.11	0.70	5287.53
T6	150	0.21	3.2	5.1	4.2	6.60	0.73	3295.47

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图 10对比了饱和南京细砂超孔压比实测结果与式（11）拟合结果。各工况R²均大于0.96，表明用不同的c来描述阶段性特征是可行的。达到从第k阶段进入第k+1级所需的循环次数N_k与相应的${r_{{\text{u}} - k}}$线性相关，即

图  10  MTEPP模型测得曲线与拟合曲线孔压比对比

Figure  10.  Comparison of ratio of pore pressure between measured and fitted curves of MTEPP model

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式中：${l_a}$，${l_b}$为独立于围压${\sigma '_{\text{c}}}$和循环应力比CSR的拟合参数，${r_{{\text{u}} - k}}$为土体从k阶段进入k+1阶段时的超孔压比。抗液化性较高的饱和砂土从固体阶段向液体阶段转变需要较多的循环次数和${r_{{\text{u}} - 1}}$。

利用Wang等^[16]提供的19组南京细砂试验数据，给出了过渡阶段临界循环次数N_k与对应超孔压比的关系。临界循环次数的上限和下限也如图 11所示。

图  11  饱和南京细砂阶段转化的临界循环次数

Figure  11.  Critical number of cycles for transition of saturated Nanjing fine sand

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3.3   MTEPP在饱和砂土动力响应计算中的应用

根据以下状态方程和速率方程可得到饱和砂土的液化发展过程：

MTEPP模型计算过程如图 12所示，具体步骤如下：

图  12  MTEPP模型计算流程图

Figure  12.  Flow chart of calculation of MTEPP model

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（1）确定试验条件，包括加载条件、相对密度、有效围压、循环应力比。

（2）确定模型参数${c_1}$，${c_2}$，${c_3}$，k，${r_{{\text{u},c}}}$，${\eta _0}$。

（3）将初始孔隙压力比${r_{\text{u},0}}$代入式（13），计算初始剪应变率${\dot \gamma _0}$。

（4）将初始剪应变率${\dot \gamma _0}$代入式（14），计算第一个循环的孔压比${r_{\text{u},1}}$。

（5）将循环次数和计算出的孔压比与图 11准则进行比较，确定液化阶段。

（6）根据液化阶段，选择对应的速率方程。

（7）重复步骤（3）、步骤（4）、步骤（5）和步骤（6），迭代计算得到每个循环结束后的超孔压比r_{u, i}及剪应变率${\dot \gamma _{\text{u},i}}$，直到得到的${\dot \gamma _{\text{u},i}}$超过0.999。

（8）停止计算。

根据上述步骤，迭代计算南京细砂孔压比和剪应变率的变化规律，并与试验结果进行对比，如图 13所示。

图  13  MTEPP模型模拟孔压比和剪应变率的发展

Figure  13.  Development of ratio of pore pressure and rate of shear strain simulated by MTEPP model

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迭代计算采用的参数如表 4所示。计算得到的孔压比和剪应变率发展曲线与试验曲线包络线吻合较好。此外，计算得到的土体达到液化的循环次数与试验结果接近。因此，本文提出的MTEPP模型可以很好地预测饱和砂土的液化过程。

4.   结论

（1）根据孔压比增长速率以及反映流动性的剪应变率和表观黏度等参数的响应特征，发现饱和中密南京细砂液化是一个具有阶段性特征的连续过程。根据孔压比增长速率，液化过程可分为固体阶段、固体-流体阶段、触变流体阶段和稳定性流体阶段4个阶段，并根据其他学者的研究验证其四阶段特性及阶段划分方法的适用性。

（2）揭示了饱和砂土阶段变化所需振次及孔压比之间的相互关系，采用Gompertz函数代替线性函数来描述表观黏度与超孔隙水压比之间的关系，通过不同的破坏速率参数c来描述液化阶段特征，提出了考虑液化阶段性特征的MTEPP模型。迭代计算结果表明，提出的MTEPP模型可以较好地模拟孔压和剪应变率的发展过程。

改进的孔压触变性流体模型考虑了阶段性特征，为解决地震液化这一关键问题提供了一种新的统一方法。MTEPP模型是一种模拟土体液化过程的动态模型，不同于传统的应力-应变模型，该模型简化了循环荷载作用下土体的剪胀和剪缩响应，采用动态响应峰值的发展路径，建立了剪应力、剪应变率和孔压比之间的简化物理模型。与传统的液化模型相比，MTEPP模型考虑了孔压比与剪应变率之间的耦合关系，采用Gompertz函数更好地描述了表观黏度与孔压比的非线性关系，并在模型中体现了液化阶段性特征，更适合模拟土体液化大变形行为，并且易于推广到三维模型。