基于相似性原则的橡胶颗粒-砂混合物热导率理论模型

张涛; 杨玉玲; 张家铭; 周逸文; 刘松玉

doi:10.11779/CJGE20221333

基于相似性原则的橡胶颗粒-砂混合物热导率理论模型 English Version

1.
南京工业大学交通运输工程学院, 江苏南京 210009
2.
中国地质大学(武汉)工程学院, 湖北武汉 430074
3.
东南大学岩土工程研究所, 江苏南京 210096

基金项目:

国家自然科学基金项目 41907248

国家自然科学基金项目 41807260

详细信息

作者简介:
张涛(1986—)，男，安徽肥东人，博士（后），副教授，主要从事环境岩土和特殊地基处理等方面的研究工作。E-mail: zhangtao_seu@163.com

通讯作者:
杨玉玲, E-mail: yangyuling_seu@163.com

中图分类号: TU449
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出版历程
- 收稿日期: 2022-10-30
- 网络出版日期: 2024-02-05
- 刊出日期: 2024-01-31

Theoretical model for thermal conductivity of rubber-sand mixtures based on similarity heat conduction principle

1.
College of Transportation Engineering, Nanjing Tech University, Nanjing 210009, China
2.
Faculty of Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China
3.
Institute of Geotechnical Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China

摘要

摘要: 为准确定量评价人工隔热材料橡胶颗粒-砂混合物的导热性能，突破现有经验关系模型适用性较差的局限性，以Wiener土体热导率模型为框架，基于相似性原则，通过对混合物中各介质的导热性能进行分析，建立用于计算混合物热导率的理论模型，分析模型中计算参数的意义和确定方法，根据文献报道热导率测试数据，对比验证模型的有效性，并探讨模型进一步完善和拓展的研究方向。研究结果表明：橡胶颗粒和孔隙液的导热能力相似，可将两者归属为相似类传热介质应用于Wiener串、并联模型中；模型综合考虑了橡胶掺量、粒径比、饱和度和孔隙率等对橡胶颗粒-砂混合物结构和导热性能的影响，准确描述了混合物热导率和橡胶掺量、粒径比的相关关系，与实测数据的对比结果显示了较高的精确度。探明复杂应力状态和极端气候条件对刚-柔性颗粒混合物导热性能的作用规律，是进一步完善和拓展本文模型的重要研究内容。
- 橡胶颗粒-砂混合物 /
- 热传导 /
- 颗粒接触 /
- 土体结构 /
- 理论模型
Abstract: The aims of this study are to quantitatively assess the thermal conductivity of the artificial rubber particles-sand mixtures and to break through the limited applicability of the current empirical models. Based on the Wiener model and similarity principle, the thermal conductivity of each constitute in the mixtures is analyzed, and a theoretical model for calculating the thermal conductivity of the mixtures is developed. The meaning and the determination method of each parameter in the new model are investigated. The validity of this new model is verified throgh the thermal conductivity data derived from the existing literatures, and further lines of inquiry for the thermal conductivity model are discussed and suggested. The results indicate that the rubber particles process comparable thermal-transmission capacity to the pore water within the rubber-sand mixtures. Therefore, they can be categorized as similar thermal transfer medium when applied in either series or parallel Wiener models. The new model systematically consider the influences of rubber content, particle size ratio, saturation level and porosity on the structure and the thermal conduction capacity of the rubber-sand mixtures. It accurately describes the relationship between the thermal conductivity of the mixtures and either the rubber content or the particle size ratio, and shows high accuracy to the measured data results. Exploring the effects of complex stress state and the extreme climatic conditions on thermal conduction property of the rigid-soft granular particle mixtures is suggested important for further investigating and improving the proposed new model.
- rubber-sand mixture /
- thermal conduction /
- particle contact /
- soil structure /
- theoretical model

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0. 引言

中国早期的垃圾填埋场大多未修建衬垫及渗滤液收集系统，仅依靠天然土层阻隔污染物，逐渐成为重大的环境安全隐患^[1-2]。在场地外围修建竖向隔离屏障成为治理此类简易填埋场污染问题的常用方法^[3-4]。其中，土-膨润土（SB）阻隔墙因成本低廉、施工方便、渗透系数低和拥有自愈合性能，而备受关注^[5]。其施工步骤是：先开挖沟槽，同时采用泥浆护壁，再将开挖出来的土层与膨润土按比例混合均匀，最后回填形成柔性墙体。SB阻隔墙的渗透系数是影响其防污阻隔性能的关键因素，实际工程一般要求小于10^-9 m/s^[6]。

然而，大量SB材料化学相容性(化学相容性在环境岩土工程领域中，泛指各类工程屏障材料抵抗污染作用对其工程性质造成不利影响的能力）试验表明，土体孔隙水中的有机物和阳离子分别会影响孔隙溶液的介电常数和阳离子浓度，从而使膨润土颗粒双电层厚度压缩，并最终导致SB材料渗透系数显著增大^{[1-2, 7-13]}。因此在评估SB阻隔墙的服役寿命时，有必要考虑填埋场渗滤液中污染物对SB材料的影响。中国垃圾填埋场渗滤液中的典型污染物主要有有机污染物(COD)、持久性有机物（PAHs、DDT、PCBs等）、无机盐（Na、Ca、Mg等）和重金属（Cu、Zn、Pb等），它们的质量浓度范围如表 1所示。有机物中极高浓度的COD对SB材料的影响较大，然而COD在土中的分解速率极快（半衰期为10~30 d）^[15]，到达阻隔墙时，浓度可以忽略不计。阳离子中无机盐（Na、Ca、Mg等）的浓度较高，特别是Na⁺和Ca²⁺远超其它阳离子^[2]。根据Stern-Guoy模型^[16]，双电层的厚度与离子强度 $I$ ( $I = 0.5\sum {{c_k}z_k^2}$ ，其中 ${c_k}$ 和 ${z_k}$ 是第k个阳离子的浓度和化合价)的平方根成反比，渗滤液中极高浓度的Na⁺和Ca²⁺对SB材料的影响较大。综合以上分析，阳离子Na⁺和Ca²⁺将成为影响SB材料化学相容性的关键污染物。Na⁺和Ca²⁺由于坏境危害性较小，故一般不作为指示污染物用于SB阻隔墙服役寿命的评估^[17-19]，但其较高的浓度，足以影响SB阻隔墙的防渗性能，从而加快其他高危害性物质溢出，如加快持久性有机物的溢出。因此，在评估SB阻隔墙的长期服役性能时，考虑Na⁺和Ca²⁺对墙体材料渗透系数的影响十分重要。

表 1 垃圾填埋场渗滤液中典型污染物质量浓度^{[2, 14]}

Table 1. Typical pollutant mass concentrations in landfill leachate^{[2, 14]}

污染物类型	质量浓度范围/(mg·L^-1)
COD	8000~20000
PAHs、DDT、PCBs等持久性有机物	0.01~0.1
Na、Ca、Mg等无机盐	1000~4000
Cu、Zn、Pb等重金属	0.01~2.00

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对于污染状态下饱和SB渗透系数的预测，大量学者基于试验数据，提出了各种经验公式。例如Castelbaum等^[20]基于膨润土孔隙比计算砂-膨润土的渗透系数，刘松玉^[6]给出改进黏粒孔隙比用于预测砂-黏性土-膨润土的渗透系数。但上述经验公式与试验结果拟合的判定系数R²分别为0.157和0.660，拟合结果较为一般。Xu等^[2]通过有效孔效率评估不同膨润土掺量砂-膨润土的渗透系数，判定系数R²达到了0.969。该理论认为膨润土颗粒双电层内的胶凝状结合水（主要为弱结合水），会堵塞土体中的渗流通道，而在阳离子作用下，双电层厚度减小，结合水含量降低，从而让土体孔隙增大，并最终导致SB渗透系数上升，如图 1所示。其中有效孔隙率为土体孔隙体积减去结合水体积之后占总体积的百分比。目前，考虑SB化学相容性的阻隔墙长期服役性能研究较少，有必要开展这方面的研究以更为准确地评估阻隔墙的服役寿命。

图 1 有效孔隙率理论示意图

Figure 1. Theoretical schematic diagram of effective porosity

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针对以上研究情况，本文在已有研究的基础上，建立了考虑Na⁺和Ca²⁺作用下SB阻隔墙-含水层系统中有机物污染物运移数值模型，并采用有限差分法对该模型进行了求解。通过将数值模型的计算结果分别与Li等^[21]所求解析解的计算结果、有限元软件的模拟结果进行对比分析，验证了所建模型的正确性。最后基于所建的数值模型，分析了相关参数变化对有机物运移过程以及阻隔墙长期服役性能的影响。

1. 一维阻隔墙-含水层系统污染物运移模型

1.1 计算简图

为SB阻隔墙-含水层系统中污染物运移模型的计算简图。中，从左到右依次为渗滤液、上游含水层、SB阻隔墙、下游含水层和江河或河流。假定上游含水层、SB阻隔墙和下游含水层始终处于饱和状态，厚度分别为 ${L_{{\text{ua}}}}$ ， ${L_{\text{w}}}$ 和 ${L_{{\text{da}}}}$ ，坐标轴x由上游含水层左边界垂直向右。 ${h_{\text{w}}}$ 为SB阻隔墙两侧的水头差， ${C_{{\text{p,0}}}}(t)$ ， ${C_{{\text{n,0}}}}$ 和 ${C_{{\text{c,0}}}}$ 分别为渗滤液中有机物、Na⁺和Ca²⁺浓度，其中有机物由于生物分解随时间逐渐减少^[23]。随着污染物向右侧运移，SB阻隔墙内的Na⁺和Ca²⁺浓度逐渐升高，导致土体结合水含量下降，有效孔隙率增大，渗透系数变大，最终加速了有机物的运移。

图 2 阻隔墙-含水层系统中污染物一维运移模型计算简图

Figure 2. Calculation diagram for transport of contaminants in cutoff wall-aquifer system

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1.2 基本假定

本文一维阻隔墙-含水层系统污染物运移模型的建立基于以下5点假设^{[1-2, 17-18, 22]}：①SB阻隔墙和含水层皆是均质各向同性的，并处于饱和状态。同时，土中液相在模型各层的对流属于稳态流，且满足Darcy定律。②有机污染物在土层中的运移方式考虑分子扩散、对流、机械弥散和吸附。而土体对Na⁺和Ca²⁺的吸附以静电吸附为主，吸附量较少，因此它们的运移方式仅考虑分子扩散、对流和机械弥散。由于研究区域内有机物的浓度较低，土体对其的吸附遵循一阶Henry定律。③有机污染物在渗滤液、阻隔墙和含水层中自然衰减随时间的关系满足一阶降解模型。④Na⁺和Ca²⁺作用下SB的渗透系数采用有效孔隙率理论计算，而其有效孔隙率随Na⁺和Ca²⁺浓度的变化关系则依靠试验拟合获得。⑤考虑到SB中的结合水为胶凝状物质，会堵塞渗流通道，使用扣除结合水的有效孔隙作为污染物和流体的输运通道，即在污染物运移控制方程中，使用有效孔隙率替代孔隙率。

1.3 控制方程

有机物在阻隔墙-含水层系统中的运移控制方程为^{[19, 22]}

$\begin{aligned} & \frac{\partial\left[n_{\mathrm{eff}, i} C_{\mathrm{p}, i}+\left(1-n_i\right) \rho_i K_{\mathrm{d}, i} C_{\mathrm{p}, i}\right]}{\partial t} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\partial}{\partial x}\left(n_{\mathrm{eff}, i} D_{p, i} \frac{\partial C_{\mathrm{p}, i}}{\partial x}-n_{\mathrm{eff}, i} v_{\mathrm{s}, i} C_{\mathrm{p}, i}\right)-\lambda_i C_{\mathrm{p}, i} 。 \end{aligned}$

(1)

Na⁺的运移控制方程为

$\frac{{\partial ({n_{{\text{eff}},i}}{C_{{\text{n}},i}})}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{n_{{\text{eff}},i}}{D_{{\text{n}},i}}\frac{{\partial {C_{{\text{n}},i}}}}{{\partial x}} - {n_{{\text{eff}},i}}{v_{{\text{s}},i}}{C_{{\text{n}},i}}} \right) 。$

(2)

Ca²⁺的运移控制方程为

$\frac{{\partial ({n_{{\text{eff}},i}}{C_{{\text{c,}}i}})}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{n_{{\text{eff}},i}}{D_{{\text{c}},i}}\frac{{\partial {C_{{\text{c}},i}}}}{{\partial x}} - {n_{{\text{eff}},i}}{v_{{\text{s}},i}}{C_{{\text{c}},i}}} \right) 。$

(3)

式中： $i = {\text{ua, w, da}}$ ( ${\text{ua}}$ 表示上游含水层， ${\text{w}}$ 表示SB阻隔墙， ${\text{da}}$ 表示下游含水层，下同)； ${C_{{\text{p}},i}}$ ， ${C_{{\text{n}},i}}$ 和 ${C_{{\text{c}},i}}$ 分别为土体中有机物、Na⁺和Ca²⁺的浓度； ${n_{{\text{eff}},i}}$ 为土体的有效孔隙率，其中含水层一般不含有黏土颗粒，因此其有效孔隙率与孔隙率一致，而SB阻隔墙的有效孔隙率会随着Na⁺和Ca²⁺浓度的变化而变化； ${n_i}$ 为土体的孔隙率，考虑到SB阻隔墙和含水层的孔隙率在污染物作用下变化极小^[1-2]，认为其不发生变化； ${\rho _i}$ 为土体的土颗粒密度； ${K_{{\text{d}},i}}$ 为土体的分配系数； ${D_{{\text{p,}}i}}$ ， ${D_{{\text{n}},i}}$ 和 ${D_{{\text{c}},i}}$ 分别为有机物、Na⁺和Ca²⁺在土体中的水动力弥散系数； ${v_{{\text{s}},i}}$ 为土体中孔隙水的实际流动速度， ${v_{{\text{s}},i}} = {v_{\text{d}}}/{n_{{\text{eff,}}i}}$ ， ${v_{\text{d}}}$ 为土体中孔隙水的达西流速； ${\lambda _i}$ 为有机物在土体中的衰减因子。

有机物、Na⁺和Ca²⁺在土体中的水动力弥散系数 ${D_{j,i}}(j = {\text{p, n, c}})$ 可表示为有效分子扩散系数 $D_{j,i}^*$ 和机械弥散系数 ${D_{L,i}}$ 之和^[23]：

${D_{j,i}} = D_{j,i}^* + {D_{L,i}} 。$

(4)

污染物有效分子扩散系数 $D_{j,i}^*$ 与土体孔隙率有关^[24]，考虑到结合水的存在，将孔隙率替换为有效孔隙率：

$D_{j,i}^* = n_{{\text{eff}},i}^{{m_i}}{D_{0,j}} 。$

(5)

式中： ${m_i}$ 为经验指数； ${D_{0,j}}$ 为污染物自由扩散系数。

污染物机械弥散系数 ${D_{L,i}}$ 与土体孔隙水流速有关：

${D_{{\text{L,}}i}} = {\alpha _{{\text{L}},i}}{v_{{\text{s}},i}} \text{，}$

(6)

式中， ${\alpha _{{\text{L}},i}}$ 为纵向弥散系数。

1.4 墙体化学相容性参数计算理论

Na⁺和Ca²⁺作用下墙体运移参数的基本计算思路总结如下：①基于SB化学相容性试验，拟合得到Na⁺和Ca²⁺浓度和有效孔隙率的关系；②根据有效孔隙率理论，求解SB的渗透系数；③最后通过阻隔墙渗透系数的调和平均数计算达西流速，从而获得其它流速相关运移参数的表达式。

SB的有效孔隙率会随阳离子浓度的升高而增大，并最终趋于稳定^[1-2]，Xu等^[2]测定了膨润土掺量分别为5%，6%，7%时砂-膨润土在不同Ca²⁺浓度下的有效孔隙率。参照砂土的相对密实度，对不同膨润土掺量砂-膨润土的有效孔隙率做归一化处理：

${R_{{\text{eff}}}} = \frac{{n_{{\text{eff,w}}}^{\text{s}} - {n_{{\text{eff,w}}}}}}{{n_{{\text{eff,w}}}^{\text{s}} - n_{{\text{eff,w}}}^{\text{t}}}} 。$

(7)

式中： ${R_{{\text{eff}}}}$ 为相对有效密实度； $n_{{\text{eff,w}}}^{\text{s}}$ 为SB稳定时的有效孔隙率； $n_{{\text{eff,w}}}^{\text{t}}$ 为未污染时SB的有效孔隙率。

由可知不同膨润土掺量的砂-膨润土 ${R_{{\text{eff}}}}$ 的自然对数值与Ca²⁺浓度成正比：

$\ln {R_{{\text{eff}}}} = \eta {C_{{\text{c,w}}}} \text{，}$

(8)

图 3 R_eff与Ca²⁺浓度的关系

Figure 3. Relationship between R_eff and concentration of Ca²⁺

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式中， $\eta$ 为相对有效密实度拟合系数。

并且 ${R_{{\text{eff}}}}$ 与Ca²⁺浓度拟合直线的斜率与膨润土掺量也呈正比，如图 4所示。当膨润土掺量为0时，拟合直线的斜率为0，代表土体有效孔隙率不随污染物浓度的变化而变化，这是因为此时土体只包含砂颗粒，不存在双电层和结合水：

$\eta = \mu \varsigma 。$

(9)

图 4 拟合直线斜率η与膨润土掺量ζ的关系

Figure 4. Relationship between slope of fitted straight line and content of bentonite

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式中： $\mu$ 为斜率拟合系数； $\varsigma$ 为膨润土含量。

结合式（7）~（9）可获得不同膨润土掺量砂-膨润土的有效孔隙率与Ca²⁺浓度的关系：

${n_{{\text{eff,w}}}} = (n_{{\text{eff,w}}}^{\text{t}} - n_{{\text{eff,w}}}^{\text{s}})\exp (\mu \varsigma {C_{{\text{c,w}}}}) + n_{{\text{eff,w}}}^{\text{s}} 。$

(10)

根据Stern-Guoy模型^[16]，相同离子强度的不同阳离子对膨润土颗粒双电层的影响一致，并且Xu等^[2]试验也证明了在相同离子强度下，Ca²⁺与Ca²⁺-Na⁺-Zn²⁺混合离子对SB的作用效果几乎一致。因此可将土体孔隙水中Na⁺和Ca²⁺转化为相同离子强度的Ca²⁺，并代入式（10）计算混合离子作用下不同膨润土掺量砂-膨润土的有效孔隙率：

${n_{{\text{eff,w}}}} = (n_{{\text{eff,w}}}^{\text{t}} - n_{{\text{eff,w}}}^{\text{s}})\exp \left[ {\mu \varsigma \left( {{C_{{\text{c,w}}}} + \frac{{{C_{{\text{n,w}}}}}}{4}} \right)} \right] + n_{{\text{eff,w}}}^{\text{s}} 。$

(11)

SB材料的渗透系数 ${k_{{\text{v,w}}}}$ 会随着有效孔隙率的升高而增大^[1-2]，参考Xu等^[2]研究，假定SB的渗透系数与有效孔隙率的变化关系为

${k_{{\text{v,w}}}} = \alpha n_{{\text{eff,w}}}^\beta 。$

(12)

式中： $\alpha$ 为渗透系数拟合系数； $\beta$ 为渗透系数拟合指数。

根据SB材料的渗透系数 ${k_{{\text{v,w}}}}$ 可计算阻隔墙渗透系数的调和平均数 ${k_{\text{w}}}$ 为

${k_{\text{w}}} = \frac{{{L_{\text{w}}}}}{{\int_{{L_{{\text{ua}}}}}^{{L_{\text{w}}} + {L_{{\text{ua}}}}} {\frac{1}{{{k_{{\text{v,w}}}}}}{\text{d}}x} }} 。$

(13)

则达西流速 ${v_{\text{d}}}$ 为

${v_{\text{d}}} = \frac{{{h_{\text{w}}}}}{{{L_{\text{w}}}}}{k_{\text{w}}} 。$

(14)

基于上述推导分析，可以发现Na⁺和Ca²⁺在SB阻隔墙-含水层系统中的运移会影响阻隔墙的运移参数，而运移参数的变化反过来又会影响Na⁺、Ca²⁺和持有机物的运移，因此这是一个十分复杂的耦合问题，并且涉及多种污染物的运移。考虑到Na⁺和Ca²⁺的环境危害性较小，阻隔墙服役寿命评估的指示污染物仅为有机物。

1.5 初始条件和边界条件

假定在初始时刻，系统中各种污染物浓度为0，因此，相应的初始条件可写为

${C_{j,i}}(x,0) = 0 。$

(15)

渗滤液中Na⁺和Ca²⁺浓度保持不变，而有机物浓度由于生物分解会随时间衰减，因此系统的左边界可写为

$\left.\begin{array}{l}{C}_{\text{n,ua}}(0,t)={C}_{\text{n,0}}\text{ }\text{，}\\ {C}_{\mathrm{c,ua}}(0,t)={C}_{\text{c,0}}\text{ }\text{，}\\ {C}_{\text{p,ua}}(0,t)={C}_{\text{p,0}}\mathrm{exp}(-{\lambda }_{\text{L}}t)\text{ }。\end{array}\right\}$

(16)

式中， ${\lambda _{\text{L}}}$ 为有机物在渗滤液中的衰减因子。

系统的右边界为江河或湖海，该处的污染物会很快被稀释带走，因而对应的右边界为

${C_{j,{\text{da}}}}({L_{{\text{ua}}}} + {L_{\text{w}}} + {L_{{\text{da}}}},t) = 0 。$

(17)

在SB阻隔墙和含水层的交界面，各种污染物满足浓度连续和通量连续条件，考虑到系统中的达西流速相同，且界面处的渗流满足浓度连续性条件，因而界面处的运移通量连续条件作了相应的简化，则有

上游含水层和SB阻隔墙界面：

$\left.\begin{array}{l}{C}_{j,\text{ua}}({L}_{\text{ua}},t)={C}_{j,\text{w}}({L}_{\text{ua}},t)\text{ }\text{，}\\ {n}_{\text{eff,ua}}{D}_{j,\text{ua}}\frac{\partial {C}_{j,\text{ua}}({L}_{\text{ua}},t)}{\partial x}\\ ={n}_{\text{eff,w}}{D}_{j,\text{w}}\frac{\partial {C}_{j,\text{w}}({L}_{\text{ua}},t)}{\partial x}\text{ }。\end{array}\right\}$

(18)

SB阻隔墙和下游含水层界面：

$\left.\begin{array}{l}{C}_{j,\text{w}}({L}_{\text{ua}}+{L}_{\text{w}},t)={C}_{j,\text{da}}({L}_{ua}+{L}_{\text{w}}\text{,}t)\text{ }\text{，}\\ {n}_{\text{eff,w}}{D}_{j,\text{w}}\frac{\partial {C}_{j,\text{w}}({L}_{\text{ua}}+{L}_{\text{w}},t)}{\partial x}\\ ={n}_{\text{eff,da}}{D}_{j,\text{da}}\frac{\partial {C}_{j,\text{da}}({L}_{\text{ua}}+{L}_{\text{w}},t)}{\partial x}\text{ }。\end{array}\right\}$

(19)

2. 模型有限差分解

在对所建模型进行有限差分求解时，首先需要对空间和时间进行步长划分，令 $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 分别为计算的空间步长和时间步长，并将空间坐标和时间坐标分别进行 $E$ 等分和 $F$ 等分，则有 ${x_e} = e\Delta x$ ， $e = 0,{\text{ }}1,{\text{ }}2,{\text{ }} \cdots ,$ ${E}_{1}，\text{ }\cdots ，{E}_{2}，\cdots ，E$ ， ${E_1}\Delta x = {L_{{\text{ua}}}}$ ， ${E_2}\Delta x = {L_{{\text{ua}}}} + {L_{\text{w}}}$ ， ${t_{\text{f}}} =$ $f\Delta t$ ， $f = 0,{\text{ }}1,{\text{ }}2,{\text{ }} \cdots ,{\text{ }}F$ 。

令 ${R_{{\text{d}},}}_i = 1 + (1 - {n_i}){\rho _i}{K_{{\text{d}},i}}/{n_{\text{e}}}_{{\text{ff,}}i}$ 则式（1）可简化为

$\begin{aligned} & \frac{\partial\left[n_{\mathrm{eff}, i} R_{\mathrm{d}, i} C_{\mathrm{p}, i}\right]}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(n_{\mathrm{eff}, i} D_{\mathrm{p}, i} \frac{\partial C_{\mathrm{p}, i}}{\partial x}-n_{\mathrm{eff}, i} v_{\mathrm{s}, i} C_{\mathrm{p}, i}\right)- \\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \lambda_i C_{\mathrm{p}, i} \text { 。 } \end{aligned}$

(20)

控制方程式（20）的Crank-Nicholson型隐式差分格式可写为

$\begin{array}{l}[{n}_{\text{eff},i}({x}_{e},{t}_{f+1}){R}_{d,i}({x}_{e},{t}_{f+1}){C}_{\text{p},i}({x}_{e},{t}_{f+1})-\\ {n}_{\text{eff},i}({x}_{e},{t}_{f}){R}_{d,i}({x}_{e},{t}_{f}){C}_{\text{p},i}({x}_{e},{t}_{f})]/\Delta t\\ ={n}_{\text{eff},i}({x}_{e+1/2},{t}_{f}){D}_{p,i}({x}_{e+1/2},{t}_{f})\frac{{C}_{\text{p},i}({x}_{e+1},{t}_{f+1})-{C}_{\text{p},i}({x}_{e},{t}_{f+1})}{\Delta {x}^{2}}+\\ {n}_{\text{eff},i}({x}_{e+1/2},{t}_{f}){D}_{\text{p},i}({x}_{e+1/2},{t}_{f})\frac{{C}_{\text{p},i}({x}_{e-1},{t}_{f+1})-{C}_{\text{p},i}({x}_{e},{t}_{f+1})}{\Delta {x}^{2}}-\\ [{n}_{\text{eff},i}({x}_{e+1},{t}_{f}){v}_{\text{s},i}({x}_{e+1},{t}_{f}){C}_{\text{p},i}({x}_{e+1},{t}_{f+1})-\\ {n}_{\text{eff},i}({x}_{e-1},{t}_{f}){v}_{\text{s},i}({x}_{e-1},{t}_{f}){C}_{\text{p},i}({x}_{e-1},{t}_{f+1})]/2\Delta x-{\lambda }_{i}{C}_{\text{p},i}({x}_{e},{t}_{f+1})。\end{array}$

(21)

控制方程式（2）和（3）的Crank-icholson型隐式差分格式可写为（此处 $j = (n,c)$ ）：

$\begin{aligned} & \frac{n_{\mathrm{eff}, i}\left(x_e, t_f\right) C_{j, i}\left(x_e, t_{f+1}\right)-n_{\mathrm{eff}, i}\left(x_e, t_f\right) C_{n, i}\left(x_e, t_f\right)}{\Delta t} \\ & =n_{\mathrm{eff}, i}\left(x_{e+1 / 2}, t_f\right) D_{j, i}\left(x_{e+1 / 2}, t_k\right) \frac{C_{j, i}\left(x_{e+1}, t_f\right)-C_{j, i}\left(x_e, t_f\right)}{\Delta x^2} \\ & n_{\mathrm{eff}, i}\left(x_{e+1 / 2}, t_f\right) D_{j, i}\left(x_{e+1 / 2}, t_f\right) \frac{C_{j, i}\left(x_{e-1}, t_f\right)-C_{j, i}\left(x_e, t_f\right)}{\Delta x^2}- \\ & \begin{array}{l} {\left[n_{\mathrm{eff}, i}\left(x_{e+1}, t_f\right) v_{s, i}\left(x_{e+1}, t_f\right) C_{j, i}\left(x_{e+1}, t_{f+1}\right)-\right.} \\ \left.\quad n_{\mathrm{eff}, i}\left(x_{e-1}, t_f\right) v_{s, i}\left(x_{e-1}, t_f\right) C_{j, i}\left(x_{e-1}, t_{f+1}\right)\right] / 2 \Delta x。 \end{array} \end{aligned}$

(22)

相应的初始条件可写为

${C_j}({x_{e + 1}},0) = 0 。$

(23)

左侧边界条件可写为

$\left.\begin{array}{l}{C}_{\text{n}}({x}_{0},{t}_{f+1})={C}_{\text{n,0}}\text{ }\text{，}\\ {C}_{\text{c}}({x}_{0},{t}_{f+1})={C}_{\text{c,0}}\text{ }\text{，}\\ {C}_{\text{p}}({x}_{0},{t}_{f+1})={C}_{\text{p,0}}\mathrm{exp}(-{\lambda }_{L}{t}_{f+1})\text{ }。\end{array}\right\}$

(24)

右侧边界条件可写为

${C_j}({x_E},{t_{f + 1}}) = 0 。$

(25)

界面间连续性条件可写为

$\left.\begin{array}{l}{C}_{j,\text{ua}}({x}_{{E}_{1}},{t}_{f+1})={C}_{j,\text{w}}({x}_{{E}_{1}},{t}_{f+1})\\ {n}_{\text{eff,ua}}({x}_{{E}_{1}},{t}_{f+1}){D}_{j,\text{ua}}({x}_{{E}_{1}},{t}_{f+1})\times \\ \frac{{C}_{j,\text{ua}}({x}_{{E}_{1}},{t}_{f+1})-{C}_{j,\text{ua}}({x}_{{E}_{1}-1},{t}_{f+1})}{\Delta x}\\ ={n}_{\text{eff,w}}({x}_{{E}_{1}},{t}_{f+1}){D}_{j,\text{w}}({x}_{{E}_{1}},{t}_{f+1})\times \\ \frac{{C}_{j,\text{ua}}({x}_{{E}_{1}+1},{t}_{f+1})-{C}_{j,\text{ua}}({x}_{{E}_{1}},{t}_{f+1})}{\Delta x}\text{ }\text{，}\end{array}\right\}$

(26)

$\left.\begin{array}{l}{C}_{j,\text{w}}({x}_{{E}_{2}},{t}_{f+1})={C}_{j,\text{da}}({x}_{{E}_{2}},{t}_{f+1})\\ {n}_{\text{eff,w}}({x}_{{E}_{2}},{t}_{f+1}){D}_{j,\text{w}}({x}_{{E}_{2}},{t}_{f+1})\times \\ \frac{{C}_{j,\text{w}}({x}_{{E}_{2}},{t}_{f+1})-{C}_{j,\text{w}}({x}_{{E}_{2}-1},{t}_{f+1})}{\Delta x}\\ ={n}_{\text{eff,da}}({x}_{{E}_{2}},{t}_{f+1}){D}_{j,\text{da}}({x}_{{E}_{2}},{t}_{f+1})\times \\ \frac{{C}_{j,\text{da}}({x}_{{E}_{2}+1},{t}_{f+1})-{C}_{j,\text{da}}({x}_{{E}_{2}},{t}_{f+1})}{\Delta x}\text{ }。\end{array}\right\}$

(27)

根据上述差分格式方程式以及相应的求解条件，利用MATLAB软件可进行编程求解本文建立的数值模型。

3. 模型验证

3.1 与Li等^[21]的解析解对比

针对污染物在双层介质中的运移问题，Li等^[21]推导得到了污染物在双层介质中一维运移解析解。尽管本模型所研究的是三层结构体中污染物的运移问题，但当假设上游含水层和SB阻隔墙的物理性质相同，且忽略阳离子对土体物理性质的改变以及有机污染物的生物分解时，本文所建模型亦可与Li等^[21]解析解相比。考虑到甲苯是渗滤液中常见的有机污染物，这里以甲苯为例。在开展比较分析时，假定渗滤液中Na⁺和Ca²⁺浓度为0，有机物在各处的衰减因子为0，上游含水层的计算参数与SB阻隔墙一致，同时它们的厚度变为SB阻隔墙原来厚度的一半，其它参数见表 2，3。

表 2 污染物计算参数^{[19, 25]}

Table 2. Parameters for contaminants

计算参数	渗滤液中浓度C_{j, 0}/(mol·m^-3)	自由扩散系数D_{0, j}/(10^-10m²·s^-1)	渗滤液中衰减因子λ_L/(10^-2a^-1)
甲苯	0.11	8.47	0.693
Na⁺	150.41	13.30	—
Ca²⁺	47.38	7.93	—

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表 3 系统中SB阻隔墙和含水层计算参数^{[2, 19]}

Table 3. Parameters of SB cutoff wall and aquifers in system

计算参数	厚度L_{, i}/m	纵向弥散度α_{L, i}/m	有效孔隙率n_{eff, i}/%	孔隙率n_i	经验指数m	分配系数K_{d, i}/(mL·g^-1)	土颗粒密度ρ_i/(kg·m^-3)	甲苯衰减因子λ_i/(10^-2a^-1)	稳态有效孔隙率n_{eff, w}^s/%	未污染有效孔隙率n_{eff, w}^t/%	膨润土掺量ζ/%	斜率拟合系数μ/(m³·mol^-1)	渗透系数拟合系数α/(m·s^-1)	渗透系数拟合指数β	水头差h_w/m
上游含水层	2	0.04	47	0.47	1/3	0	2640	0.693	—	—	—	—	—	—	—
SB阻隔墙	1	0.01	n_{eff, w}(t)	0.2	1/3	0.54	2640	0.693	15.45	13.21	5	-0.306	4090	14.45	0.3
下游含水层	10	1	47	0.47	1/3	0	2640	0.693	—	—	—	—	—	—	—

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图 5为本文所建模型与解析解的比较情况。两种方法计算所得的甲苯浓度随时间的变化情况较为一致，证明本文所建模型可用于分析污染物在3层土体中的运移过程。

图 5 本文模型与Li等^[21]解析解计算结果的对比

Figure 5. Comparison between calculated results by proposed model and analytical ones by Li and Cleall^[21]

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3.2 与COMSOL软件计算结果对比

COMSOL是一款有限元分析和求解软件，适用于各种物理和工程应用，特别是多物理场耦合求解问题。因此，为更加全面验证本文所建模型的正确性，可将本文所建模型计算结果与COMSOL软件计算结果对比。在进行比较分析时，表 2，3中的所有计算参数均被采用，COMSOL模型建模方法参考张志红等^[26]的方法。

图 6显示了所建模型计算结果和COMSOL软件计算结果的对比情况。由图 6可知，基于有限差分法和有限元法所得的甲苯浓度随时间的变化情况有良好的一致性，这进一步证明了本文所建模型的合理性。

图 6 本文模型与COMSOL软件计算结果的对比

Figure 6. Comparison between calculated results by proposed model and those of COMSOL software

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4. 计算分析和讨论

为认识考虑SB材料化学相容性情况下，有机物在含水层-阻隔墙系统的运移特性，本节以表 2，3中所示的计算参数为例，分析考虑（本文模型）和未考虑（传统模型）SB化学相容性对阻隔墙服役寿命的影响。此外，本节还将利用本文模型计算不同工况条件下（水头差和膨润土掺量）阻隔墙的服役寿命，为实际工程中阻隔墙的设计施工提供理论指导。

4.1 考虑和未考虑化学相容性对阻隔墙服役寿命的影响

图 7展示了渗滤液中阳离子浓度为实测值（）和零情况下，阻隔墙下游侧甲苯浓度随时间的变化规律。中情况1表示考虑化学相容性，情况2表示未考虑化学相容性。可以发现，在两种情况下，甲苯浓度随时间都先上升后下降，并且在同一时刻，情况1中阻隔墙下游测（ $x = {L_{{\text{ua}}}} + {L_{\text{w}}}$ ，下同）甲苯的浓度要远高于情况2。参考美国饮用水条例，以饮用水甲苯浓度上限值1 g/m^3[27]（0.011 mol/m³）作为阻隔墙的击穿标准，则情况1中阻隔墙的服役寿命为75 a，而情况2中，阻隔墙下游测甲苯浓度则能在300 a内一直低于饮用水甲苯浓度上限值。

图 7 化学相容性对阻隔墙服役寿命的影响

Figure 7. Effects of chemical compatibility on service life of cutoff wall

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出现上述规律的原因在于：孔隙水中阳离子不仅会提高阻隔墙的渗透系数，还会增大墙体的有效孔隙率，前者加强了污染物运移的对流和机械弥散作用，后者加强了分子扩散作用，导致情况1中阻隔墙服役寿命相对较低。而在情况2中，阻隔墙的渗透系数和有效孔隙率未发生变化，始终处于较低水平，让阻隔墙能够有效阻滞甲苯的运移，直到甲苯浓度随生物分解降低。因此，实际工程中要考虑SB材料化学相容性对污染物运移过程的影响^{[1-2, 7-13]}。

4.2 水头差对阻隔墙服役寿命的影响

给出了不同水头差 ${h_{\text{w}}}$ 情况下，阻隔墙下游侧甲苯浓度随时间的变化规律。

图 8 水头差h_w对甲苯运移的影响

Figure 8. Effects of water head on toluene transport

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从中可以看出，在同一时刻，甲苯浓度随着水头差的增加而增大，这是因为高水头差不仅增强了甲苯运移的对流和机械弥散作用，还加速了阳离子运移速度，缩短了其到达SB阻隔墙的时间，导致阻隔墙的防污阻隔性能在服役的早期阶段（此时甲苯浓度较高）就开始降低。上述两种机理使得阻隔墙服役寿命从 ${h_{\text{w}}} = 0.3{\text{ m}}$ 时的75 a，减少到了 ${h_{\text{w}}} = 1{\text{ m}}$ 时的30 a和 ${h_{\text{w}}} = 3{\text{ m}}$ 时的12 a。而当 ${h_{\text{w}}} = 0.1{\text{ m}}$ 时，阻隔墙下游测甲苯浓度则始终能低于击穿标准。

上述规律表明，阻隔墙两侧较大的水头差，会显著缩短SB阻隔墙的服役寿命，并造成更为严重的危害，因此在实际工程中，调控阻隔墙两侧水头差，让其始终位于低位十分必要^[28]。

4.3 膨润土掺量对阻隔墙服役寿命的影响

实际工程中阻隔墙膨润土掺量 $\varsigma$ 应满足竖向屏障的防渗要求，同时兼顾经济性，因此膨润土掺量的选择有其下限值（墙体渗透系数为10^-9 m/s时的膨润土掺量）。给出了膨润土掺量 $\varsigma$ 分别为5%，6%，7%时，阻隔墙渗透系数的调和平均数 ${k_{\text{w}}}$ 随时间的变化规律。从可知，3种膨润土掺量的阻隔墙 ${k_{\text{w}}}$ 在初始时刻都≤10^-9 m/s，满足竖向屏障的防渗要求，但随着时间推移阻隔墙 ${k_{\text{w}}}$ 在Na⁺和Ca²⁺作用下逐渐升高，甚至超出防渗要求（ $\varsigma = 5{\text{% }}$ 和 $\varsigma = 6{\text{% }}$ 时）。5%，6%和7%膨润土掺量的阻隔墙 ${k_{\text{w}}}$ 相较初始时分别升高了4.37倍、1.79倍和1.48倍，因此使用更高掺量的SB可降低化学相容性对阻隔墙服役寿命的影响。

图 9 膨润土掺量ζ对阻隔墙服役寿命的影响

Figure 9. Effects of bentonite content on service life of cutoff wall

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阻隔墙渗透系数变化情况下，阻隔墙下游侧甲苯浓度随时间的变化规律如所示。可以发现，膨润土掺量 $\varsigma$ 对阻隔墙服役寿命有显著影响，当膨润土掺量增加1%时，阻隔墙服役寿命增加了96%，而当膨润土掺量增加2%时，阻隔墙下游侧甲苯浓度则能始终低于击穿标准。

出现上述运移规律的原因是，随着膨润土掺量 $\varsigma$ 的增大，SB材料中带有结合水的黏粒含量也随之提高。虽然在相同阳离子作用下，不同掺量SB中膨润土的双电层厚度一致，但黏粒含量越高土体的孔隙通道越小，从而让高膨润土掺量土体渗透系数的值和变化幅度小于低膨润土掺量，这导致了阻隔墙服役寿命随膨润土掺量的升高而增加。上述分析结果表明，阻隔墙膨润土掺量的下限值应在原先防渗要求的基础上适当提高，以应对污染物作用下墙体防污阻隔性能的削弱。

5. 结论

本文考虑到填埋场渗滤液中较高Na⁺和Ca²⁺浓度会显著增大SB阻隔墙的渗透系数，从而加速高危害性有机物的运移，建立了Na⁺和Ca²⁺作用下SB阻隔墙-含水层系统中有机物污染物运移数值模型，并采用有限差分法对该模型进行了求解。该模型可以考虑土-膨润土化学相容性、生物分解、吸附等因素对有机物污染物运移的影响。通过将所建模型的计算结果分别与其它理论模型计算结果和COMSOL软件计算结果进行对比性分析，验证了模型的正确性。最后，基于所建数值模型，通过某一算例分析了相关参数变化对甲苯运移过程以及阻隔墙长期服役性能的影响，得到以下3点结论。

（1）未考虑土-膨润土化学相容性时，阻隔墙外侧土体中有机物的含量始终能低于击穿标准，而当考虑土-膨润土化学相容性之后，阻隔墙的服役寿命大幅降低，这是因为土-膨润土在Na⁺和Ca²⁺作用下，渗透系数和有效孔隙率上升，加速了有机污染物运移，因此实际工程中要考虑土-膨润土材料化学相容性对阻隔墙长期服役性能的影响。

（2）阻隔墙两侧水头差的增大不仅增强了污染物运移的对流和机械弥散作用，还提前了阻隔墙防污阻隔性能降低的时间，导致阻隔墙服役寿命显著减少。

（3）膨润土掺量会显著影响阻隔墙的服役寿命，当膨润土掺量提高1%时，阻隔墙服役寿命增加了96%，而当膨润土掺量增加2%时，阻隔墙下游侧甲苯浓度则能始终低于击穿标准。因此阻隔墙膨润土掺量的下限值应在原先防渗要求的基础上适当提高，以应对污染物作用下墙体防污阻隔性能的削弱。

图 1 橡胶颗粒-砂混合物热导率串联模型

Figure 1. Series thermal conductivity model for rubber-sand mixtures

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图 2 橡胶颗粒-砂混合物热导率并联模型

Figure 2. Parallel thermal conductivity model for rubber-sand mixtures

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图 3 水的热导率和温度的相关关系

Figure 3. Correlation of water thermal conductivity with temperature

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图 4 空气热导率与温度的相关关系

Figure 4. Correlation of air thermal conductivity with temperature

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图 5 权重系数η与橡胶掺量C_R的相关关系

Figure 5. Relationship between weighting parameter η and rubber content C_R

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图 6 参数b与粒径比R_d的相关关系

Figure 6. Relationship between parameter b and particle size ratio R_d

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图 7 橡胶颗粒-砂混合物热导率与橡胶掺量、粒径比相关关系

Figure 7. Correlations of thermal conductivity with rubber content and particle size ratio for rubber-sand mixtures

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图 8 预测热导率与实测热导率对比

Figure 8. Comparison between predicted and measured thermal conductivities of rubber-sand mixtures

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表 1 橡胶颗粒-砂混合物热导率测试结果^[17]

Table 1 Test results of thermal conductivity of rubber-sand mixtures

符号	R_d	C_R/%	k_{r-s, M}/ (W·(m·K)^-1)	k_{r-s, P}/ (W·(m·K)^-1)
纯砂	—	0	1.591	1.612
R42T10	0.42	10	1.209	1.257
R42T20	0.42	20	0.890	0.932
R42T30	0.42	30	0.639	0.662
R42T40	0.42	40	0.412	0.437
R100T10	1.00	10	1.332	1.310
R100T20	1.00	20	1.059	1.040
R100T30	1.00	30	0.853	0.805
R100T40	1.00	40	0.606	0.602
R210T10	2.10	10	1.360	1.356
R210T20	2.10	20	1.120	1.114
R210T30	2.10	30	0.914	0.894
R210T40	2.10	40	0.676	0.704
R300T10	3.00	10	1.384	1.362
R300T20	3.00	20	1.162	1.139
R300T30	3.00	30	0.942	0.928
R300T40	3.00	40	0.720	0.744
R400T10	4.00	10	1.399	1.378
R400T20	4.00	20	1.189	1.152
R400T30	4.00	30	0.980	0.953
R400T40	4.00	40	0.764	0.772

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表 2 4个体积比参数计算结果

Table 2 Calculated results of four volume ratio parameters

C_R/%	φ_s/%	φ_w/%	φ_r/%	φ_a/%
0	52.63	5.92	0	41.45
10	47.37	5.92	5.26	41.45
20	42.10	5.92	10.53	41.45
30	36.84	5.92	15.79	41.45
40	31.58	5.92	21.05	41.45

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表 3 不同橡胶掺量C_R和粒径比R_d下权重系数η值

Table 3 Values of weighting parameter η of cases with varied C_R and R_d

C_R/%	R_d=0.42	R_d=1.0	R_d=2.1	R_d=3.0	R_d=4.0
0	0.4003	0.4003	0.4003	0.4003	0.4003
10	0.3330	0.3687	0.3769	0.3838	0.3882
20	0.2697	0.3246	0.3444	0.3581	0.3669
30	0.2140	0.2931	0.3157	0.3260	0.3401
40	0.1510	0.2341	0.2641	0.2829	0.3017

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