Theoretical model for thermal conductivity of rubber-sand mixtures based on similarity heat conduction principle
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摘要: 为准确定量评价人工隔热材料橡胶颗粒-砂混合物的导热性能，突破现有经验关系模型适用性较差的局限性，以Wiener土体热导率模型为框架，基于相似性原则，通过对混合物中各介质的导热性能进行分析，建立用于计算混合物热导率的理论模型，分析模型中计算参数的意义和确定方法，根据文献报道热导率测试数据，对比验证模型的有效性，并探讨模型进一步完善和拓展的研究方向。研究结果表明：橡胶颗粒和孔隙液的导热能力相似，可将两者归属为相似类传热介质应用于Wiener串、并联模型中；模型综合考虑了橡胶掺量、粒径比、饱和度和孔隙率等对橡胶颗粒-砂混合物结构和导热性能的影响，准确描述了混合物热导率和橡胶掺量、粒径比的相关关系，与实测数据的对比结果显示了较高的精确度。探明复杂应力状态和极端气候条件对刚-柔性颗粒混合物导热性能的作用规律，是进一步完善和拓展本文模型的重要研究内容。Abstract: The aims of this study are to quantitatively assess the thermal conductivity of the artificial rubber particles-sand mixtures and to break through the limited applicability of the current empirical models. Based on the Wiener model and similarity principle, the thermal conductivity of each constitute in the mixtures is analyzed, and a theoretical model for calculating the thermal conductivity of the mixtures is developed. The meaning and the determination method of each parameter in the new model are investigated. The validity of this new model is verified throgh the thermal conductivity data derived from the existing literatures, and further lines of inquiry for the thermal conductivity model are discussed and suggested. The results indicate that the rubber particles process comparable thermal-transmission capacity to the pore water within the rubber-sand mixtures. Therefore, they can be categorized as similar thermal transfer medium when applied in either series or parallel Wiener models. The new model systematically consider the influences of rubber content, particle size ratio, saturation level and porosity on the structure and the thermal conduction capacity of the rubber-sand mixtures. It accurately describes the relationship between the thermal conductivity of the mixtures and either the rubber content or the particle size ratio, and shows high accuracy to the measured data results. Exploring the effects of complex stress state and the extreme climatic conditions on thermal conduction property of the rigid-soft granular particle mixtures is suggested important for further investigating and improving the proposed new model.
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Keywords:
- rubber-sand mixture /
- thermal conduction /
- particle contact /
- soil structure /
- theoretical model
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0. 引言
随着全球化石能源的急剧消耗和环境污染问题的日益严重，开发清洁新能源和提高能源使用效率成为各国政府重点关注的焦点之一。近年来，开采地热能和建造多种热工构筑物，如能源桩、地热泵、地下储能设施和热交换系统等，得到蓬勃发展[1]。中国北部寒区蕴藏丰富的油气资源，埋地管道是能源安全运输的最主要方式之一[2]。这些基础设施的建造和健康运营，不可避免地与周围岩土材料进行热量交换[3]。除需开发导热能力优越的建筑材料，用于提高热量传递效率；亦需探求隔热性能良好的填充材料，用于阻滞热量扩散和保温[4]。
中国汽车行业发展迅速，废弃橡胶轮胎产量亦随之急剧增加，年产量超过2000万t且以5%的速度增长，这些废弃橡胶约有50%存量仍未得到合理利用[5]。美国材料与测试协会（ASTM）[6]指出：废弃轮胎橡胶具有良好的隔热性能，其热阻系数（热导率的倒数）约是粒状土的8倍，可有效降低热工构筑物的热耗散和降低寒区地基的冻结深度[7]。橡胶轮胎颗粒常作为添加剂应用于混凝土、水泥砂浆等建筑材料中，复合材料的导热性能得到显著降低[8-10]。废弃橡胶颗粒/碎片常与岩土材料联合使用作为建筑材料，可减免橡胶“自燃”和延缓老化[11-12]。现有学者测试了橡胶颗粒-砂/土混合物的热导率，研究了橡胶掺量、橡胶粒径和形态、饱和度、孔隙率等因素对混合物热导率的影响规律，明确了入掺橡胶颗粒降低土体导热性能的有效性和可行性，并在测试数据的基础上，提出了多个经验关系式用于预测混合物的热导率[13]。这些经验关系模型对于特定橡胶颗粒-砂/土混合物热导率的评价具有积极作用，但应用于其他类型混合物时，计算精度难以满足工程要求，适应性具有明显局限。此外，针对橡胶颗粒-砂混合物热导率理论模型的研究鲜有报道，复杂应力状态和极端气候条件对刚-柔性颗粒混合物导热性能影响的探讨也非常少见[14]。
针对上述问题，本文以Wiener土体热导率模型为框架，基于导热性能相似的原则，对橡胶颗粒-砂混合物内各介质的热传导特性进行分析，提出了计算混合物热导率的理论模型，介绍了模型中各个参数的意义和确定方法，并根据文献报道的热导率测试数据，验证了模型的有效性。此外，探讨了应力条件和外部环境对刚-柔性颗粒混合物热传导特性的影响，为该模型的进一步完善和拓展指明了方向。
1. Wiener模型与相似性原则
1.1 Wiener热导率模型
Wiener[15]认为多孔介质的热导率存在上、下界限，假设土体是固、液、气三相均匀介质，提出了土体热导率的串、并联模型。对于串联模型，固、液、气三相叠加方向与热通量方向垂直，此时土体的热导率最小，即为“下限”；对于并联模型，固、液、气三相叠加方向与热通量方向平行，此时土体的热导率最大，即为“上限”。串、并联模型的数学表达式分别为
ks=(∑φiki)−1=(φsks+φwkw+φaka)−1， (1) kp=∑φiki=φsks+kwφw+φaka。 (2) 式中：ks和kp分别为串联和并联模型的热导率；ks，kw和ka分别为固相、液相和气相的热导率；φs，φw和φa分别为固相、液相和气相的体积百分比，且φs+φw+φa=1。对于非饱和状态土体的热导率k，其值介于“上限”和“下限”之间，可通过Wiener串-并联模型来计算：
k=ηkp+(1−η)ks。 (3) 式中，η为权重系数（0≤η≤1），与土体结构、饱和度和温度等因素相关。
将式（1），（2）代入式（3）得到
k=η(φsks+kwφw+φaka)+(1−η)(φsks+φwkw+φaka)−1。 (4) 本文以Wiener串-并联热导率模型为框架，利用相似性原则，尝试构建人工隔热材料橡胶颗粒-砂混合物热导率的理论计算模型。
1.2 相似性原则
相似性原则是以事物的共同特征为出发点，如形状、大小、颜色、属性和趋势等，是揭示自然界和人类社会发展规律的重要原理。该原则在岩土工程中得到了广泛应用，例如相似材料、模型试验和推导解析解等[16]。橡胶颗粒-砂混合物属于“三相四类”人工岩土材料，包含橡胶颗粒、砂颗粒、孔隙液和孔隙气体四类不同组分，其中橡胶颗粒和砂颗粒同属固相。热量在橡胶颗粒-砂混合物中的传递路径主要有以下两种类型：①组分内部的传递。砂颗粒的导热能力最强，孔隙气体最弱，橡胶颗粒和孔隙液相近。②组分间的接触传递。主要有砂-砂接触、橡胶-砂接触和橡胶-橡胶接触，颗粒接触的热传递效率与颗粒形貌、表面粗糙度、微孔隙的饱和状态、应力状态和温度等因素密切相关[13, 17]。一般的，热量在介质中传递时会优先选择热阻低的路径。对于橡胶颗粒-砂混合物而言，其中橡胶颗粒（约0.25 W/(m·K)）[18]与砂颗粒（约7.0 W/(m·K)）[19]、空气（约0.025 W/(m·K)）的热阻值相差数个数量级，与孔隙液（水热导率约0.6 W/(m·K)）的热阻值最为相近，即具有相似的传热效率。因此，在构建橡胶颗粒-砂混合物热传导理论模型时，依据介质传热效率相似的原则，可考虑将橡胶颗粒和孔隙液归纳为同类介质，实现混合物由“三相四类”向“三相三类”的转换。
2. 橡胶颗粒-砂热导率模型构建
以Wiener热传导模型为基础，根据传热效率相似的原则，将人工添加的橡胶颗粒与孔隙液（一般为水）划分为同类介质，分别构建串联、并联模型，对应橡胶颗粒-砂混合物热导率值的“下限”和“上限”。
2.1 串联模型
图 1为橡胶颗粒-砂混合物热导率串联模型示意图。图中橡胶颗粒和孔隙液以串联形式存在于Wiener模型中，则热导率计算式为
ksr−s=η[φsks+(φw+φr)(φwφw+φr1kw+φrφw+φr1kr)−1+φaka+(1−η)(φsks+φwkw+φrkr+φaka)−1。 (5) ![]()
图 1 橡胶颗粒-砂混合物热导率串联模型Figure 1. Series thermal conductivity model for rubber-sand mixtures式中：ksr - s为橡胶颗粒-砂混合物串联模型热导率；kr和ks分别为橡胶颗粒和砂颗粒的热导率；φr为橡胶颗粒在混合物中的体积百分比，且φr+φs+φw+φa=1。将式（5）进一步整理，得到
ksr−s=η[φsks+(φw+φr)2(φwkw+φrkr)−1+φaka]+(1−η)(φsks+φwkw+φrkr+φaka)−1。 (6) 2.2 并联模型
图 2为橡胶颗粒-砂混合物热导率串联模型示意图。橡胶颗粒和孔隙液以并联形式存在于Wiener模型中，对应的热导率计算式为
kpr−s=η(φsks+φwkw+φrkr+φaka)+(1−η)(φsks+φw+φrφwφw+φrkw+φrφw+φrkr+φaka)−1, (7) ![]()
图 2 橡胶颗粒-砂混合物热导率并联模型Figure 2. Parallel thermal conductivity model for rubber-sand mixtures式中，kpr - s为橡胶颗粒-砂混合物并联模型热导率。将式（7）进一步整理，得到
kpr−s=η(φsks+φwkw+φrkr+φaka)+(1−η)[φsks+(φw+φr)2φwkw+φrkr+φaka]−1。 (8) 2.3 橡胶颗粒-砂热导率理论模型
橡胶颗粒-砂混合物热导率理论模型中，热量在橡胶颗粒-砂混合物单元中的传递等效为两部分：①橡胶颗粒与孔隙液串联联结的传递，即串联模型；②橡胶颗粒与孔隙液并联联结的传递，即并联模型。橡胶颗粒-砂混合物热导率kr-s为两种模型热导率值的加权平均，表达式为
kr - s=χkpr - s+(1−χ)ksr - s。 (9) 式中，χ为分配系数（0≤χ≤1）。
将式（6），（8）代入式（9），得到橡胶颗粒-砂混合物热导率的具体计算式：
kr−s=χη(φsks+φwkw+φrkr+φaka)+χ(1−η)[φsks+(φw+φr)2φwkw+φrkr+φaka]−1+(1−χ)η[φsks+(φw+φr)2(φwkw+φrkr)−1+φaka]+(1−χ)(1−η)(φsks+φwkw+φrkr+φaka)−1。 (10) 3. 模型参数
本文所建的基于相似性原则的橡胶颗粒-砂混合物热导率理论模型（式（10））含有数个计算参数，大致可划分为3类：混合物中组分材料属性参数（ks，kw，kr和ka）；混合物中组分设计配比参数（φs，φw，φr和φa）；混合物结构特征和赋存状态相关参数（η和χ）。以下对计算参数的含义及其确定方法作简要介绍。
（1）砂颗粒热导率ks
ks值取决于砂颗粒的矿物成分，不同矿物成分的热导率值差异显著。Côté等[20]总结了13类常见岩土矿物的热导率数据，指出石英的热导率值（7.69 W/(m·K)）相对其他矿物较高。针对土颗粒矿物组分的复杂性，Johansen[21]提出采用几何平均法计算土颗粒热导率：
ks=∏ikxii，∑ixi=1。 (11) 式中：ki为第i种矿物成分的热导率；xi为第i种矿物占全部土颗粒的体积百分数。随后，Johansen[21]在几何平均法的基础上（式（11）），提出了另一种更为简便、可靠的方法估算ks值。该方法将土颗粒的矿物成分划分为石英和其他矿物两类，当石英含量q＞20%时，其他矿物成分的热导率值为2.0 W/(m·K)；当石英含量q≤20%时，其他矿物成分的热导率值为3.0 W/(m·K)，相关计算式为
ks={7.7q×2.01−q (q＞20%) ，7.7q×3.01−q (q≤20%) 。 (12) （2）孔隙液热导率kw
天然土体的孔隙液常指含有可溶盐和其他杂质的水溶液，可溶盐等物质会对水的导热性能产生一定影响。对于橡胶颗粒-砂混合物而言，其孔隙液一般为水，水的热导率与温度密切相关。Toulonkian等[22]通过精密测试得到水的热导率kw与温度t之间存在线性增长关系（图 3），具体表达式为
kw=0.11455+1.6318×10−3×(273.15+t)。 (13) ![]()
图 3 水的热导率和温度的相关关系Figure 3. Correlation of water thermal conductivity with temperature式中：kw的单位为W/(m·K)；t的单位为摄氏度（˚C）。现有学者已将式（13）用于冻土热导率[23]、温度引起水的相变[24]等工程问题分析中，充分验证了其有效性。
（3）橡胶颗粒热导率kr
橡胶颗粒的热导率值kr与橡胶的种类、来源、加工工艺和杂质含量等因素相关。常见废旧轮胎再加工得到的橡胶片/纤维，其热导率范围约为0.10~0.30 W/(m·K)[25]；橡胶颗粒的热导率值范围约为0.25~0.28 W/(m·K)[17-18, 26]。
（4）孔隙气体热导率ka
橡胶颗粒-砂混合物的孔隙气体一般为空气，其热导率受温度影响显著。Kannuluik等[27]采用“粗线变体”的“热线源”方法（thick-wire variant of the hot-wire method）精确测量了温度-183˚C~218˚C之间空气的热导率值ka，其结果如图 4所示。ka与温度t之间呈增加趋势，且二次函数可精确捕捉这种变化趋势，具体表达式为
ka=0.02407×(1+0.00317t−0.0000021t2)。 (14) 式（14）宽广的温度适用范围完全满足橡胶颗粒-砂混合物在岩土工程中的应用场景。
（5）混合物设计配比参数（φs，φw，φr和φa）
4个体积百分比计算参数取决于橡胶颗粒-砂混合物的饱和度、孔隙率和橡胶颗粒掺量，可根据实际工程设计参数确定。
（6）权重系数η
现有研究表明，权重系数η与岩土材料的孔隙结构、饱和度、温度等因素密切相关。Tong等[28]在研究多孔岩土材料的热-水-力耦合模型时指出，温度对多孔材料的孔隙结构和多相流动有着重要影响，但η值的计算只考虑了饱和度和孔隙率，忽略了温度。Chen等[29]提出的非饱和膨润土热导率模型中，η值取决于土体孔隙结构，并与孔隙率之间具有良好的指数函数关系。Bi等[23]以冻土热导率为研究对象，提出了一个关于温度的经验公式用于计算η值，但对该公式的来源并未给予阐释。依据上述前人的研究结果，可以推断：在不考虑高/低温度影响的前提下，橡胶颗粒-砂混合物的权重系数η值应与饱和度、孔隙率、橡胶颗粒大小和掺量相关。
（7）分配系数χ
分配系数χ值的确定较为困难、复杂。Chen等[29]认为χ值可表示为饱和度的函数，通过数据拟合可以获得不同目标土体的分配系数值，但膨润土热导率模型验证结果表明：若χ值取为常数，亦可获得令人满意的预测结果，且操作更简单、物理意义更明确。Bi等[23]直接将χ值设定为0.5用于计算冻土热导率，计算结果的均方差误差仅为0.10 W/(m·K)。本文热导率计算模型中橡胶颗粒和孔隙液以串、并联两种形式存在，且缺乏用于拟合的数据库。因此，在综合前人研究成果和结合本模型自身特征的基础上，本文将分配系数χ值设定为常数0.5，用于下节橡胶颗粒-砂混合物热导率模型验证的相关计算中。
4. 模型验证
4.1 橡胶颗粒-砂混合物热导率数据
测试数据用于模型验证应具有较高的可靠度、精确度和可重复性。本文选取Xiao等[17]橡胶颗粒-砂混合物热导率测试结果为基础数据库，用于验证所提理论模型的有效性。相关试验材料与方法介绍如下：①试验材料。选用福建砂和废旧橡胶轮胎再处理得到的橡胶颗粒为原材料，其中砂的相对质量密度Gs为2.69，石英含量96%，粒径在0.8~1.0 mm；橡胶颗粒的热导率为0.25 W/(m·K)，相对质量密度Gs为1.18，不含钢丝/钢绞线等杂质，粒径在0.25~4.0 mm，共有5种不同粒径大小的橡胶颗粒。②试样制备。高127 mm，内径50 mm的圆柱形试样，孔隙比e为0.9，饱和度Sr为12.5%。橡胶颗粒的掺量CR（体积百分比）为0%，10%，20%，30%，40%。橡胶颗粒与砂颗粒的粒径比为0.42，1.0，2.1，3.0，4.0。③测试设备与方法。选用KD2热分析仪配备TR-1探针（长100 mm，直径2.4 mm），标定因子为0.95。橡胶颗粒-砂混合物试样在25±1˚C的室温环境下进行，每个试样重复测量5次，每次间隔15 min，要求重复测量值之间的误差小于±2%。
表 1为橡胶颗粒-砂混合物热导率测试结果。表中热导率值为5次测量的平均值，粒径比Rd为橡胶颗粒与砂颗粒的平均粒径d50之比，项目符号R42T10表示粒径比Rd=0.42，橡胶颗粒掺量CR=10%，依次类推。
表 1 橡胶颗粒-砂混合物热导率测试结果[17]Table 1. Test results of thermal conductivity of rubber-sand mixtures符号 Rd CR/% kr-s, M/
(W·(m·K)-1)kr-s, P/
(W·(m·K)-1)纯砂 — 0 1.591 1.612 R42T10 0.42 10 1.209 1.257 R42T20 0.42 20 0.890 0.932 R42T30 0.42 30 0.639 0.662 R42T40 0.42 40 0.412 0.437 R100T10 1.00 10 1.332 1.310 R100T20 1.00 20 1.059 1.040 R100T30 1.00 30 0.853 0.805 R100T40 1.00 40 0.606 0.602 R210T10 2.10 10 1.360 1.356 R210T20 2.10 20 1.120 1.114 R210T30 2.10 30 0.914 0.894 R210T40 2.10 40 0.676 0.704 R300T10 3.00 10 1.384 1.362 R300T20 3.00 20 1.162 1.139 R300T30 3.00 30 0.942 0.928 R300T40 3.00 40 0.720 0.744 R400T10 4.00 10 1.399 1.378 R400T20 4.00 20 1.189 1.152 R400T30 4.00 30 0.980 0.953 R400T40 4.00 40 0.764 0.772 4.2 模型计算与测试结果对比
由于文献[17]仅给出砂颗粒的石英含量（96%），并未提供全部矿物组分信息。因此，采用式（12）计算砂颗粒热导率ks：
ks=7.70.96×2.01−0.96 = 7.296W/(m·K)。 (15) 按照式（13）计算25 ˚C室温环境下水的热导率值kw：
kw=0.11455+1.6318×10−3×(273.15+25)=0.601 W/(m⋅K) (16) 基于文献[17]中提供的橡胶颗粒材料性质参数，其热导率值kr为0.25 W/(m·K)。依据式（14）计算25˚C下空气的热导率ka：
ka=0.02407×(1+0.00317×25−0.0000021×252)=0.0259 W/(m⋅K) (17) 根据测试试样的尺寸、饱和度Sr、孔隙比e和橡胶掺量CR等制备参数，计算得到4个体积比参数值（φs，φw，φr和φa），结果如表 2所示。分配系数χ设定为0.5。
表 2 4个体积比参数计算结果Table 2. Calculated results of four volume ratio parametersCR/% φs/% φw/% φr/% φa/% 0 52.63 5.92 0 41.45 10 47.37 5.92 5.26 41.45 20 42.10 5.92 10.53 41.45 30 36.84 5.92 15.79 41.45 40 31.58 5.92 21.05 41.45 在具有可靠试验测试数据的条件下，权重系数η的确定可简化为约束优化问题，并在非饱和膨润土中得到有效验证[29]。本文以此为参考，选用均方根误差（RMSE）最小值作为约束优化标准，其计算式为
RMSE=√1nn∑i=1(kr−s,Mi−kr−s,Pi)2。 (18) 式中：kr-s,Mi和kr-s,Pi分别为第i个实测和计算的橡胶颗粒-砂混合物热导率值；n为实测样本数量。表 3列出了不同CR和Rd情况下的权重系数η值。
表 3 不同橡胶掺量CR和粒径比Rd下权重系数η值Table 3. Values of weighting parameter η of cases with varied CR and RdCR/% Rd=0.42 Rd=1.0 Rd=2.1 Rd=3.0 Rd=4.0 0 0.4003 0.4003 0.4003 0.4003 0.4003 10 0.3330 0.3687 0.3769 0.3838 0.3882 20 0.2697 0.3246 0.3444 0.3581 0.3669 30 0.2140 0.2931 0.3157 0.3260 0.3401 40 0.1510 0.2341 0.2641 0.2829 0.3017 图 5为权重系数η与橡胶掺量CR的相关关系。不同粒径比Rd的橡胶颗粒-砂混合物中，η值随掺量CR增加而逐渐减小，两个参数间表现为良好的线性减小关系：
η=c−b⋅CR。 (19) ![]()
图 5 权重系数η与橡胶掺量CR的相关关系Figure 5. Relationship between weighting parameter η and rubber content CR式中，c和b为拟合参数，分别对应直线的截距和斜率。根据线性拟合结果，可以发现：不同Rd混合物拟合直线的截距c值基本相同，但斜率b值存在显著差异；随着Rd增大，b值逐渐减小。为了简便起见，本文取截距的算术平均值0.405作为c值。
图 6为参数b与橡胶砂粒径比Rd的相关关系。双对数坐标系中，两参数表现出良好的线性减小关系：
b=0.432⋅R−0.395d。 (20) ![]()
图 6 参数b与粒径比Rd的相关关系Figure 6. Relationship between parameter b and particle size ratio Rd将式（20）代入式（19），得到
η=0.405−0.432⋅R−0.395d⋅CR。 (21) 权重系数η还与混合物饱和度Sr、孔隙比e等密切相关，但用于验证的混合物热导率数据是在Sr和e为定值条件下测得的，故未包含于式（21）中。将式（15）~（17），（21）和χ=0.5代入式（10），得到热导率预测值kr-s, P：
kr−s,P=α(7.296φs+0.601φw+0.250φr+0.0259φa)+β[φs7.296+(φw+φr)20.601φw+0.250φr+φa0.0259]−1+α[7.296φs+(φw+φr)2(φw0.601+φr0.250)−1+0.0259φa]+β(φs7.296+φw0.601+φr0.250+φa0.0259)−1。 (22) 式中，α和β分别为
α=0.5(0.405−0.432⋅R−0.395d⋅CR) ，β=0.5(0.595+0.432⋅R−0.395d⋅CR) 。} (23) 图 7为橡胶颗粒-砂混合物热导率kr-s与橡胶掺量CR、粒径比Rd的相关关系。橡胶颗粒的良好隔热性能导致混合物热导率kr-s随CR增加而不断减小。Rd的改变使得kr-s对CR增加的敏感性发生改变，即橡胶颗粒粒径小的混合物敏感性强、隔热性能优（图 7（a））。相同CR情况下，混合物kr-s随Rd增大表现出先增大后趋于稳定的趋势（图 7（b））。本文模型很好地捕捉了上述热导率kr-s的变化规律。图 7（c）是三维坐标系kr-s-CR-Rd中实测热导率值的分布。可以看到，实测点紧密分布在模型计算式（式（22））对应曲面的两侧，全面描述了CR和Rd对kr-s的综合影响。
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图 7 橡胶颗粒-砂混合物热导率与橡胶掺量、粒径比相关关系Figure 7. Correlations of thermal conductivity with rubber content and particle size ratio for rubber-sand mixtures为进一步验证本文模型的有效性，将计算热导率值kr-s, P列于表 1并与实测值kr-s, M相比较，如图 8所示。kr-s, P和kr-s, M之间的百分比误差控制在-7%~7%内，且均方根误差值RMSE=0.027 W/(m·K)，计算精度完全满足工程建设要求。
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图 8 预测热导率与实测热导率对比Figure 8. Comparison between predicted and measured thermal conductivities of rubber-sand mixtures5. 讨论
在Wiener热导率模型的基础上，基于传热效率相似的原则，建立了橡胶颗粒-砂混合物热导率理论模型。众所周知，橡胶颗粒和砂颗粒是两种刚度差异巨大的材料，两者的剪切模量分别约为1，30×103 MPa。因此，橡胶颗粒-砂混合物是一种刚-柔性颗粒混合材料[30]。橡胶颗粒-砂混合物作为人工隔热材料应用于工程建设中，其服役性能与自然气候、应力状态密切相关。现有研究表明：一定应力条件下，混合物中砂颗粒（刚性颗粒）的变形较小，橡胶颗粒（柔性颗粒）的变形相对较大。橡胶颗粒的“大变形”会引起混合物结构、颗粒间接触面积和配位数发生变化，这会直接影响混合物中接触传热的效率，进而改变整个混合物的体积热导率[31]。
在极端气候/工程条件下，如寒区埋地油气管道、高温地热开采等，橡胶颗粒会经历明显的低温收缩、高温膨胀物理过程。低温收缩过程中，橡胶颗粒自身刚度会提高，外部应力作用下，橡胶颗粒和砂颗粒的空间构型亦会发生调整。此外，低温环境（小于0 ˚C）会导致孔隙水由液态转变成固态，体积发生膨胀，也会改变混合物的结构和导热能力。高温使得橡胶颗粒刚度降低、体积增大，橡胶-橡胶、砂-橡胶和砂-砂颗粒之间的接触性状发生变化，进而引起混合物热导率的改变[32-33]。综上所述，应力状态和外部温度对橡胶颗粒-砂混合物的内部结构和导热性能具有重要影响，查明应力和温度对混合物热导率的作用规律，是进一步完善与拓展本文热导率理论模型的重要研究内容。
6. 结论
以Wiener土体热导率模型为框架，基于材料传热效率相似性的原则，提出了橡胶颗粒-砂混合物热导率理论模型，明确了模型参数的意义和确定方法，并通过文献报道的热导率测试结果，验证了所提模型的有效性，并探讨了该模型需进一步完善与拓展的研究方向，得出以下4点结论。
（1）橡胶颗粒与孔隙液具有相近的热导率值和相似的传热效率，可将两者归属为同类传热介质，实现橡胶颗粒-砂混合物由“三相四类”向“三相三类”介质的转变，并以Wiener模型为框架，构建混合物热导率理论模型。
（2）本文所提的橡胶颗粒-砂混合物热导率理论模型清晰阐明了混合物热导率的“上”、“下”界限，模型计算参数较少且意义明确、易于确定，有望将此模型推广应用于热工构筑物设计和数值计算。
（3）利用可靠文献报道的热导率测试数据，对比验证了本文模型的有效性，模型可以准确描绘热导率随橡胶掺量、粒径比的变化趋势，计算精度完全满足工程建设要求。
（4）基于相似性原则的橡胶颗粒-砂混合物热导率理论模型为定量评价人工隔热材料的热导率提供了新途径，突破了现有经验关系模型适用性较差的局限性。明确复杂应力状态和极端气候条件对刚-柔性颗粒混合物导热性能的综合影响，是进一步完善和拓展本文模型的重要研究方向。
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图 1 橡胶颗粒-砂混合物热导率串联模型
Figure 1. Series thermal conductivity model for rubber-sand mixtures
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图 2 橡胶颗粒-砂混合物热导率并联模型
Figure 2. Parallel thermal conductivity model for rubber-sand mixtures
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图 3 水的热导率和温度的相关关系
Figure 3. Correlation of water thermal conductivity with temperature
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图 5 权重系数η与橡胶掺量CR的相关关系
Figure 5. Relationship between weighting parameter η and rubber content CR
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图 6 参数b与粒径比Rd的相关关系
Figure 6. Relationship between parameter b and particle size ratio Rd
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图 7 橡胶颗粒-砂混合物热导率与橡胶掺量、粒径比相关关系
Figure 7. Correlations of thermal conductivity with rubber content and particle size ratio for rubber-sand mixtures
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图 8 预测热导率与实测热导率对比
Figure 8. Comparison between predicted and measured thermal conductivities of rubber-sand mixtures
表 1 橡胶颗粒-砂混合物热导率测试结果[17]
Table 1 Test results of thermal conductivity of rubber-sand mixtures
符号 Rd CR/% kr-s, M/
(W·(m·K)-1)kr-s, P/
(W·(m·K)-1)纯砂 — 0 1.591 1.612 R42T10 0.42 10 1.209 1.257 R42T20 0.42 20 0.890 0.932 R42T30 0.42 30 0.639 0.662 R42T40 0.42 40 0.412 0.437 R100T10 1.00 10 1.332 1.310 R100T20 1.00 20 1.059 1.040 R100T30 1.00 30 0.853 0.805 R100T40 1.00 40 0.606 0.602 R210T10 2.10 10 1.360 1.356 R210T20 2.10 20 1.120 1.114 R210T30 2.10 30 0.914 0.894 R210T40 2.10 40 0.676 0.704 R300T10 3.00 10 1.384 1.362 R300T20 3.00 20 1.162 1.139 R300T30 3.00 30 0.942 0.928 R300T40 3.00 40 0.720 0.744 R400T10 4.00 10 1.399 1.378 R400T20 4.00 20 1.189 1.152 R400T30 4.00 30 0.980 0.953 R400T40 4.00 40 0.764 0.772 
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表 2 4个体积比参数计算结果
Table 2 Calculated results of four volume ratio parameters
CR/% φs/% φw/% φr/% φa/% 0 52.63 5.92 0 41.45 10 47.37 5.92 5.26 41.45 20 42.10 5.92 10.53 41.45 30 36.84 5.92 15.79 41.45 40 31.58 5.92 21.05 41.45
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表 3 不同橡胶掺量CR和粒径比Rd下权重系数η值
Table 3 Values of weighting parameter η of cases with varied CR and Rd
CR/% Rd=0.42 Rd=1.0 Rd=2.1 Rd=3.0 Rd=4.0 0 0.4003 0.4003 0.4003 0.4003 0.4003 10 0.3330 0.3687 0.3769 0.3838 0.3882 20 0.2697 0.3246 0.3444 0.3581 0.3669 30 0.2140 0.2931 0.3157 0.3260 0.3401 40 0.1510 0.2341 0.2641 0.2829 0.3017
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