Lower shakedown limits of layered road structures under moving harmonic loads
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摘要: 为了研究移动简谐荷载作用下层状道路结构的安定性问题，先通过傅里叶变换方法和数值积分求得三维层状道路结构在时间–空间域内的动力响应，然后考虑饱和土层的有效应力场而不是总应力场，对现有的静力安定理论和安定极限求解方法进行改进，提出了有效安定极限的概念，并与考虑总应力的安定极限求解方法进行了对比分析。此外，针对饱和土层选取不同的有效内摩擦角，分别研究了荷载移动速度、荷载频率以及道路面层刚度对层状道路结构的有效安定极限和有效临界深度的影响规律。结果表明：有效安定极限与考虑总应力的安定极限求解方法得到的安定极限有明显差异；而且在荷载移动速度较大时，有效临界深度比考虑总应力的安定求解方法得到的临界深度更深。有效安定极限的求解方法更适用于包含饱和土层的层状道路结构设计和安全评估。Abstract: The shakedown limits of layered road structures subjected to a moving harmonic load are studied. The inverse Fourier transform and the numerical integration are used to obtain the dynamic responses of a three-dimensional layered road structure in the time and space domain. Considering the effective stress field of saturated subsoil instead of the total stress field, the existing static shakedown theorem and the solving method for the shakedown limits are improved, and the concept of the effective shakedown limit is proposed and compared with the solving method for the shakedown limits considering the total stress. In addition, different effective internal friction angles are selected for the saturated soil layer, and the influences of load-moving speed, load frequency and pavement stiffness on the effective shakedown limit and effective critical depth of the layered road structure are studied respectively. The results show that there is a significant difference between the effective shakedown limits and the shakedown limits obtained by the solving method for the shakedown limits considering the total stress. Moreover, the effective critical depth is deeper than that obtained by the solving method for the shakedown limits considering the total stress when the load-moving speed is relatively high. The proposed method for solving the effective shakedown limits is more suitable for the design and safety assessment of layered road structures containing saturated soil layers.
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0. 引言
中国西部地区大多数山坡是由风化岩石、坡积物、残积层等堆积形成的堆积体边坡，其中有很多边坡由于长历时、大强度的降雨入渗形成滑坡，给人民生命财产带来严重损失[1]，尤其是青藏高原东北边缘。究其原因，强烈的新构造运动使得青藏高原东北边缘地形陡峻、地震频发，构造应力以及地震会使边坡土石的内部结构变形或破坏，从而产生新的构造结构面[2-3]，受降雨、构造应力等影响逐渐发展为潜在滑裂面，其形态大多为折线型。降雨入渗对滑坡稳定性有着较大影响，降雨诱发的滑坡稳定性定量评价通常是在选取合理的降雨入渗模型后采用合适的稳定性评价方法来计算其稳定性系数。
国内外许多学者开展了丰富的研究，得到了一些分析降雨入渗的经典模型，如Green-Ampt(G-A)模型[4]、基于G-A假设的Mein-Larson模型[5]、利用级数表述的Philip模型[6]，以及Iveson和Baum等发展的Trigrs模型[7]等。其中G-A模型由于物理意义明确、参数较少，在降雨型滑坡分析中应用较广。Mein等[8]以G-A模型为基础，将降雨入渗过程分为自由入渗和积水入渗两个阶段，但其并未考虑斜坡效应；为考虑斜坡效应，Chen等[9]在G-A模型的基础上得到了一个统一的斜坡降雨入渗模型；汪丁建等[10]、苏永华等[11]基于G-A模型，建立了适用于有限长坡且能综合考虑湿润层土体含水率分布情况与饱和层内平行于坡面渗流作用的降雨入渗分析（LSGA）模型，然而其忽略了坡体非饱和区的存在。
为进一步考虑非饱和区的影响，Yao等[12]考虑了饱和区与非饱和区厚度各占湿润锋深度的50%，并将其用于边坡稳定性分析；雷文凯等[13]将非饱和区土体体积含水率按椭圆形分布考虑，但其假设的非饱和区厚度同样占湿润层厚度的50%；然而实际上随着降雨的持续，饱和层占湿润层的比例会不断变大，而非定值，非渗透系数也会随着降雨的持续而变化。张杰等[14]研究了适用于斜坡降雨的G-A模型，但其将渗透系数采用饱和渗透系数的一半，未考虑渗透系数随着湿润锋的推进而不断变化的情况。此外针对降雨作用下堆积体滑坡稳定性评价的算法多是在土体条块上假定湿润线，然而在持续降雨作用下，堆积体边坡上的湿润线是动态变化的，导致边坡稳定系数也不断变化。
综上，在前人研究的基础上，首先基于G-A模型，同时考虑坡面倾角、非饱和区及饱和区内渗流的影响，建立持续降雨作用下堆积体边坡的入渗模型，其次结合不平衡推力法，推导折线型滑裂面堆积体边坡在持续降雨作用下稳定性算法，最后通过对比现场入渗试验结果和分析工程案例来验证本文算法的合理性。
1. 持续降雨下堆积体边坡稳定性计算
1.1 边坡降雨入渗公式
为描述堆积体滑坡在持续降雨作用下雨水入渗过程，基于G-A模型同时考虑边坡倾角、饱和区渗流和非饱和区渗透系数变化建立堆积体边坡降雨入渗模型。取堆积体边坡其中一个条块进行降雨入渗分析，如图 1所示，建模分析假定如下：①滑坡基岩上部坡体为均匀堆积体，基岩不透水，且不考虑地下水的影响。②降雨入渗过程分为2个阶段。第1阶段为饱和层形成前，此时土体按体积含水率分为过渡层和未湿润层，如图 1（a）所示；第2阶段为饱和层形成后，此时土体按体积含水率分为饱和层，过渡层和未湿润层，饱和层和过渡层统称为湿润层，如图 1（b）所示，湿润层的厚度为湿润锋至边坡表面的垂直距离。③饱和层和未湿润层土体体积含水率为定值，而过渡层体积含水率分布规律采用椭圆形曲线来描述[13]，因此可得到持续降雨下边坡土体体积含水率分布规律为
$$ \theta (z) = \left\{ \begin{array}{l} {\theta _{\text{s}}}{{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}}(0 \leqslant z < {Z_{\text{s}}}){\text{ }} \hfill \\ {\theta _{\text{i}}} + \frac{{{\theta _{\text{s}}} - {\theta _{\text{i}}}}}{{{Z_{\text{w}}}}}\sqrt {Z_{\text{w}}^2 - {{(z - {Z_{\text{s}}})}^2}} {{\;\;\;\;\;\;\;}}({Z_{\text{s}}} \leqslant z < {Z_{\text{f}}}) \hfill \\ {\theta _i}{{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(}}{Z_{\text{f}}} \leqslant z{\text{) }} \hfill \\ \end{array} \right.。 $$ (1) 式中${\theta _{\text{s}}}$为土体饱和体积含水率（%）；${\theta _{\text{i}}}$为土体天然体积含水率（%）；${Z_{\text{s}}}$为坡体饱和层厚度（m）；${Z_{\text{w}}}$为坡体过渡层厚度（m）；${Z_{\text{f}}}$为坡体湿润层厚度（m）。
在第1阶段，饱和层尚未出现，湿润层仅包括过渡层，饱和层厚度为0，此时雨水入渗速率等于降雨强度。此阶段的极限状态为饱和层初始出现的时刻，即雨水入渗速率等于第2阶段开始时土体的初始入渗速率，即
$$ f_1(t)=q \cos \alpha \equiv \bar{k} \frac{Z_{\mathrm{w}} \cos \alpha+s_{\mathrm{f}}}{Z_{\mathrm{w}}}。 $$ (2) 式中q为降雨强度（m/h）；$ \alpha $为边坡倾角（°）；$ {s_{\text{f}}} $为未湿润层相对饱和层的基质势能水头（m），根据文献[15]的建议，取土体进气压力值对应水势的一半；$\overline k $为非饱和层的等效导水率，取值参考何忠明等[16]，则有
$$ \overline k = \frac{{{k_{\text{s}}} - {k_{\text{i}}}}}{{\ln {k_{\text{s}}} - \ln {k_{\text{i}}}}} , $$ (3) 式中，$ {k_{\text{s}}} $为土体饱和渗透系数（m/s）；$ {k_{\text{i}}} $为土体干燥层的导水率（m/s）。
根据图 1（a）及式（1），对过渡层体积含水率积分可得到饱和层初始出现的时刻雨水入渗总量为
$$ I1 = \int {_{Z{\text{s}}}^{Z{\text{s}} + {Z_{\text{w}}}}} \theta (z){\text{d}}z = \frac{{{\text{π }}{Z_{\text{w}}}}}{4}({\theta _{\text{s}}} - {\theta _i}) 。 $$ (4) 根据质量守恒定律，结合式（2）和式（4），可得第1阶段$ {t_{\text{p}}} $时间内降雨入渗量的等价关系式为
$$ {t_{\text{p}}}q\cos \alpha = \frac{{{\text{π }}{Z_{\text{w}}}}}{4}({\theta _{\text{s}}} - {\theta _{\text{i}}}) 。 $$ (5) 结合式（2）和（5）可得到饱和层初始出现时对应的时刻$ {t_{\text{p}}} $和湿润锋厚度${Z_{\text{f}}}$。
在第2阶段，边坡内饱和层已经形成，此时湿润层包括饱和层和过渡层。渗入坡体的雨水一部分在饱和层平行于坡表向下流动，另一部分将继续渗入下方非饱和层土体，直至土体完全饱和，如图 2（b）所示。根据彭振阳等[17]成果，随着湿润层厚度不断增大，过渡层体积占湿润层体积的比例沿湿润层厚度线性减小，有
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图 2 折线型滑裂面边坡稳定性计算简图Figure 2. Diagram of slope stability with broken-line slip surface$$ \frac{{{Z_{\text{w}}}}}{{{Z_{\text{f}}}}} = \alpha {z_{\text{f}}} + b, $$ (6) 式中，a，b为经验参数，取值可参考文献[16]。
第2阶段的降雨入渗速率为[15]
$$ {f_2}(t) = \frac{{{Z_{\text{f}}}\cos \alpha + {s_{\text{f}}}}}{{{Z_{\text{f}}}}} \cdot \frac{{{k_{\text{s}}}}}{{n{Z_{\text{f}}} + m}}, $$ (7) 式中，$m = \frac{{\ln {k_s} - \ln {k_{\text{i}}}}}{{{k_s} - {k_i}}}b{k_{\text{s}}} + 1 - b$，$n = \frac{{\ln {k_{\text{s}}} - \ln {k_{\text{i}}}}}{{{k_{\text{s}}} - {k_{\text{i}}}}} \cdot $ $(a{k_{\text{s}}} - a)$。
根据图 1（b），结合式（6）和Darcy定律对式（2）积分可得第2阶段t时刻内土体累计入渗量为
$$ {I_2} = \frac{{{\text{π }}(aZ_{\text{f}}^2 + b{Z_{\text{f}}}) + 4[(1 - b){Z_{\text{f}}} - aZ_{\text{f}}^2]}}{4} \cdot $$ $$ ({\theta _{\text{s}}} - {\theta _{\text{i}}}) + {k_{\text{s}}}[(1 - b){Z_{\text{f}}} - aZ_{\text{f}}^{\text{2}}]\sin \alpha 。 $$ (8) 将式（8）对时间t求导可得降雨入渗速率为
$$ {f_2}(t) = \frac{{{\text{d}}I}}{{{\text{d}}t}} = \left\{ {\frac{{{\text{π }}(2a{Z_{\text{f}}} + b)}}{4} + [({\theta _{\text{s}}} - {\theta _{\text{i}}}) + {k_{\text{s}}}\sin \alpha ]} \right. \cdot $$ $$ (1 - b) - 2a{Z_{\text{f}}}\left. \begin{array}{l} \hfill \\ \hfill \\ \end{array} \right\}\frac{{{\text{d}}{Z_{\text{f}}}}}{{{\text{d}}t}} 。 $$ (9) 结合式（7）和式（9），可得
$$ \left[ {\frac{{{\text{π }}(2a{Z_{\text{f}}} + b)}}{4} + [({\theta _{\text{s}}} - {\theta _{\text{i}}}) + {k_{\text{s}}}\sin \alpha ][(1 - b) - 2a{Z_{\text{f}}}]} \right]\frac{{{\text{d}}{Z_{\text{f}}}}}{{{\text{d}}t}} = \frac{{{Z_{\text{f}}}\cos \alpha + {s_{\text{f}}}}}{{{Z_{\text{f}}}}} \cdot \frac{{{k_{\text{s}}}}}{{n{Z_{\text{f}}} + m}}。 $$ (10) 对式（10）进行数值积分可得到饱和层出现后湿润层厚度${Z_{\text{f}}}$随降雨时间t的关系式。
结合式（9）~（13），可得到整个降雨入渗过程中堆积体边坡湿润层厚度随降雨时间的变化式为
$$ {Z}_{\text{f}}(t)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{4qt\mathrm{cos}\alpha }{\text{π}({\theta }_{\text{s}}-{\theta }_{i})}{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(}0\le t < {t}_{\text{p}}), \\ \left[\frac{\text{π}(2a{Z}_{\text{f}}+b)}{4}+(({\theta }_{\text{s}}-{\theta }_{i})+{k}_{s}\mathrm{sin}\alpha )((1-b)-2a{Z}_{\text{f}}^{})\right]\cdot \\ \frac{\text{d}{Z}_{\text{f}}}{\text{d}t}=\frac{{Z}_{\text{f}}\mathrm{cos}\alpha +{s}_{\text{f}}}{{Z}_{\text{f}}}\cdot \frac{{k}_{\text{s}}}{n{Z}_{\text{f}}+m}{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(}{t}_{\text{p}}\le t\le {t}_{\text{d}}\text{)}。\end{array} \right. $$ (11) 从式（11）可以看出，坡体湿润层厚度的扩展速率与边坡坡面倾角，降雨强度，坡体含水量和渗透系数等有关，湿润层的厚度随降雨的持续而动态变化。值得注意的是，由于堆积体边坡各条块的坡面倾角及条块厚度存在差异，各条块内湿润层厚度的扩展速率及坡体到达完全饱和状态的时间也不一致。
1.2 堆积体滑坡稳定性计算公式
基于不平衡推力法，结合1.1节滑坡降雨入渗公式推导适用于折线型滑裂面堆积体边坡随降雨变化下的稳定性计算公式。忽略各条块饱和层产生的渗流对下一条块的影响，将整个滑坡沿滑面折线段分为n个条块，则每个条块可视为有限坡长滑坡体，折线型滑坡条块计算简图如图 2所示。
取过渡层土体重度为饱和重度和天然重度的均值，得到各层土体的重度计算公式为
$$ {W_{{\text{1}}i}} = {l_i}{Z_{\text{s}}}(t){\gamma _{\text{s}}} , $$ (12a) $$ {W_{{\text{2}}i}} = \frac{{{l_i}}}{2}({\gamma _{\text{s}}} + {\gamma _{\text{t}}}){Z_{{\text{w}}i}}(t), $$ (12b) $$ {W_{{\text{3}}i}} = {l_i}({h_i} - {Z_{{\text{f}}i}}{\text{(}}t{\text{)}}){\gamma _{\text{t}}}。 $$ (12c) 式中${l_i}$为第i个条块的坡长（m）；${\gamma _{\text{s}}}$为土体饱和重度（kN/m3）；${\gamma _{\text{t}}}$为土体天然重度（kN/m3）；${h_i}$为第i个条块两侧厚度的较小值（m）。
由图 2可以得到第i条块的下滑力为
$$ {F_i} = ({W_{{\text{1}}i}} + {W_{{\text{2}}i}} + {W_{{\text{3}}i}})\sin {\alpha _i} + {D_i}\cos ({\alpha _i} - {\beta _i})。 $$ (13) 结合Mohr-Coulomb准则得第i条块抗滑力为
$$ {R}_{i}={c}_{i}{L}_{i}+[({W}_{1i}+{W}_{2i}+{W}_{3i})\mathrm{cos}{\alpha }_{i}-{D}_{i}\mathrm{sin}({\alpha }_{i}-{\beta }_{i})]\mathrm{tan}{\varphi }_{i}\text{ }。 $$ (14) 式中${\alpha _i}$为第i个条块的坡底角度（°）；${\beta _{\text{i}}}$为第i个条块的坡面角度（°）；${D_i}$为第i条块中由于饱和带水体渗流作用，在土条块上产生平行于坡表的渗透力（kN），${D_i} = {\gamma _{\text{w}}}{l_i}\sin {\beta _i}{Z_{si}}{\text{(}}t{\text{)}}$；${\varphi _i}$为滑带土的内摩擦角（°）；${c_i}$为滑带土的黏聚力（kPa）。
根据超载法可得堆积体滑坡稳定系数为
$$ {F_{\text{s}}} = \frac{{\sum\nolimits_{i = 1}^{n - 1} {({R_i}\prod\nolimits_{j = 1}^{n - 1} {{\psi _j}) + {R_n}} } }}{{\sum\nolimits_{i = 1}^{n - 1} {({F_i}\prod\nolimits_{j = 1}^{n - 1} {{\psi _j}) + {F_n}} } }}, $$ (15) 式中，${\psi _j}$为第j块段的剩余下滑力传递至i+1块时的传递系数
$$ {\psi _j} = \cos ({\beta _j} - {\beta _{j + 1}}) - \sin ({\beta _j} - {\beta _{j + 1}})\tan {\varphi _j}。 $$ (16) 2. 模型验证与案例分析
2.1 降雨入渗公式验证
采用雷文凯等[13]开展的南昆铁路黏土堑坡入渗试验来验证本文方法的合理性。试验坡段宽2.5 m，坡面长度为6 m，坡面角度为30°，试验降雨强度为25 mm/h，喷头均布于坡面，距坡面垂直距离为2 m，降雨持续时间为10 h。该边坡天然体积含水率为0.22，饱和体积含水率为0.45；未湿润层相对饱和层的基质势能水头取1.5 m；坡体天然密度为2.12 g/cm3，饱和渗透系数为3.37×10-7 m/s，初始渗透系数为0.001 m/d。
图 3为不同降雨入渗模型下湿润层厚度随降雨持续时间变化图。从图 3中可以发现，基于本文模型和分层假定入渗模型计算得到的结果与试验结果比较接近。在入渗开始阶段（0≤t≤57 min），3种模型计算得到的湿润层扩展速率相同；随着降雨的持续（t > 57 min），在同一时刻，本文模型湿润层抵达厚度开始大于传统G-A模型而小于分层假定入渗模型，且彼此间的差值越来越大，这是因为伴随着降雨的持续，坡体内开始出现饱和层，饱和层的出现将导致渗入坡体的一部分雨水在饱和层平行于坡表流出，而分层假定入渗模型未考虑雨水流失这一情况，其是假定雨水全部渗入下方非饱和层，因此本文模型计算得到的湿润层扩展速率要小于分层假定入渗模型。传统G-A模型未考虑土体非饱和区的影响，且其渗透系数为定值，这导致同一时刻下传统G-A模型计算得到的湿润层厚度的扩展速率要低于本文模型和分层假定入渗模型。
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图 3 不同入渗模型下湿润层厚度随降雨时间变化图Figure 3. Variation of thickness of wetting layer with rainfall time under different infiltration models2.2 工程实例分析
甘肃舟曲江顶崖H1滑坡为一堆积层滑坡，目前处于稳定状态，滑体主要由碎石土组成，平均厚度26.5 m，渗透性较好，滑带以黑色含砾黏土为主，滑床为以板岩为主的基岩。滑面形态为折线型，整体上缓下陡，后部、中部较为平缓，坡度13°~15°；下部、前缘较为陡峭，坡度20°~25°，整体平均20°，其中某一主滑剖面图如图 4（a）所示，图 4（b）为主滑剖面中H1滑坡体剖面计算简图。
据舟曲县气象站和中国气象数据网统计资料得知舟曲多年平均降水量为420.6 mm，24 h最大降水量为63.3 mm，1 h最大降水量为47.0 mm，降水常以连续阴雨形式出现，因此给定降水强度q=35 mm/h。土体基本参数：天然重度为20.5 kN/m3，饱和重度为22.0 kN/m3，天然含水率为13.1%，饱和含水率为43.7%，饱和渗透系数为1×10-6 m/s，基质势水头为50 cm，黏聚力为6 kPa，内摩擦角为15°。
对江顶崖H1堆积体滑坡进行持续降雨下不同方法的稳定性计算，边坡稳定性系数随降雨持续时间变化规律如图 5所示。
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图 5 滑坡稳定系数随降雨持续时间变化规律Figure 5. Variation laws of stability coefficient of landslide with rainfall duration由图 5可见，随着降雨的持续，两种模型计算得到的滑坡稳定性逐渐下降，降雨初期，滑坡稳定性下降较快，降雨后期，稳定性下降速率逐渐放缓。传统G-A模型计算得到的稳定系数Fs=1的时间为163 h，而本文模型计算得到的稳定系数Fs=1的时间为210 h，比传统G-A模型计算的结果提前47 h。这是因为传统G-A模型未考虑非饱和区以及饱和区内渗流的影响，导致其湿润层厚度的扩展速率小于本文模型，且计算时未考虑饱和层内沿坡表向下的渗透力，造成稳定性系数计算结果偏大。
3. 结论
（1）推导的降水入渗公式同时考虑了边坡倾角、饱和区渗流和非饱和区渗透系数变化的影响，降雨强度、边坡坡面倾角、渗透系数等都影响着饱和层的形成快慢以及湿润层厚度的扩展速度。
（2）本文模型和分层假定入渗模型计算得到的结果较传统G-A模型与试验结果更接近，在降雨入渗开始阶段，三种模型得到的湿润层扩展速率相同；随着降雨的持续，本文模型计算的湿润层扩展速率大于传统G-A模型而小于分层假定入渗模型。
（3）江顶崖折线型滑裂面堆积体边坡的稳定性随着降雨的持续逐渐减小，降雨初期，滑坡稳定性下降较快，降雨后期，稳定性下降速率逐渐放缓；提出的稳定性计算方法得到的边坡滑动时间要早于传统入渗模型下稳定性计算结果。
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图 7 荷载移动速度对有效安定极限的影响
Figure 7. Influences of load-moving speed on effective shakedown limit
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图 9 荷载移动速度对有效临界深度的影响
Figure 9. The influence of load moving speed on effective critical depth
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图 10 道路面层刚度对有效安定极限的影响
Figure 10. The influence of pavement stiffness on effective shakedown limits
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图 11 道路面层刚度对有效临界深度的影响
Figure 11. The influence of pavement stiffness on effective critical depth
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图 12 荷载频率对有效安定极限的影响
Figure 12. The influence of load frequency on effective shakedown limit
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图 13 荷载频率对有效临界深度的影响
Figure 13. The influence of load frequency on effective critical depth
表 1 层状道路结构的物理力学参数
Table 1 Physical and mechanical parameters of layered road structures
道路结构 μ/(N·m-2) λ/(N·m-2) M/(N·m-2) α ϕ ρs/(kg·m-3) ρf/(kg·m-3) α∞ bp/(N·s2m-3) H/m c/kPa c′/kPa φ/(°) φ′/(°) 道路面层 50.0×107 33.30×107 1.0×10-4 1.0×10-4 1.0×10-4 2.5×103 1.0×10-4 1.0×10-4 1.0×10-4 0.2 1000 — 30 — 道路基层 20.0×107 30.00×107 1.0×10-4 1.0×10-4 2.0×103 1.0×10-4 1.0×10-4 1.0×10-4 0.2 400 — 30 — 路基 1.0×107 2.33×107 2.4×108 9.7×10-1 4.0×10-1 2.0×103 1.0×103 1.0 2.0×108 5.0 20 16 10~40 12~48 路基 2.0×107 4.67×107 2.4×108 9.7×10-1 3.0×10-1 2.0×103 1.0×103 1.0 2.0×108 10.0 20 16 10~40 12~48 
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1. 刘淑芬. 城市中心城区快速通道道路工程路面结构设计探讨. 交通科技与管理. 2023(24): 68-70+67 . 
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