土水特征曲线试验单阶段贝叶斯优化设计方法

李典庆; 丁少林; 曹子君; 陶睿

doi:10.11779/CJGE20220263

土水特征曲线试验单阶段贝叶斯优化设计方法 English Version

李典庆^{1, 2,},
丁少林^{1, 2},
曹子君^{1, 2, ,},
陶睿³

1.
武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室, 湖北武汉 430072
2.
武汉大学工程风险与防灾研究所, 湖北武汉 430072
3.
挪威科技大学土木与环境工程学院, 特隆赫姆 7047

基金项目:

国家自然科学基金重点项目 U2240211

国家自然科学基金面上项目 51879205

详细信息

作者简介:
李典庆(1975—)，男，博士，教授，主要从事岩土工程可靠度与风险控制方面的研究工作。E-mail: dianqing@whu.edu.cn

通讯作者:
曹子君, E-mail: zijuncao@whu.edu.cn

中图分类号: TU411
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出版历程
- 收稿日期: 2022-03-10
- 网络出版日期: 2023-02-15
- 刊出日期: 2023-05-31

One-stage Bayesian experimental design optimization for measuring soil-water characteristic curve

LI Dianqing^{1, 2,},
DING Shaolin^{1, 2},
CAO Zijun^{1, 2, ,},
TAO Rui³

1.
State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University, Wuhan 430072, China
2.
Institute of Engineering Risk and Disaster Prevention, Wuhan University, Wuhan 430072, China
3.
Department of Civil and Environmental Engineering, Norwegian University of Science and Technology, Trondheim 7047, Norway

摘要

摘要: 直接测量土水特征曲线（SWCC）十分耗时。因此，SWCC试验通常只能获得有限的试验数据，基于有限数据估计SWCC不可避免地存在不确定性。因此，合理地确定试验方案（即指定SWCC测点控制变量的值），以提高试验数据的价值，减少所估计SWCC的不确定性十分重要。基于SWCC模型参数先验信息和试验仪器信息，提出了一种SWCC试验单阶段贝叶斯优化设计（OBEDO）方法。首先，所提方法通过离散试验控制变量（比如基质吸力）生成试验方案设计空间；设计空间中的候选试验方案由控制点及附加点构成，其作用分别为控制SWCC的主要趋势和降低SWCC的不确定性。然后，采用期望效用量化候选试验方案对应数据的价值，并利用子集模拟优化（SSO）方法搜索具有最大期望效用的候选试验方案。最后选取具有最大期望效用的候选试验方案为最优试验设计方案。通过一个SWCC试验设计实例说明了所提方法的有效性。结果表明，所提方法可为考虑不确定性条件下的SWCC试验设计提供一个合理的工具。
- 贝叶斯方法 /
- 子集模拟 /
- 试验设计 /
- 信息价值 /
- 土水特征曲线
Abstract: The direct measurements of soil-water characteristic curve (SWCC) are often costly and time-consuming. Therefore, only a limited number of test data can be obtained from a single SWCC test, based on which the estimated SWCC inevitably produces uncertainty. It is reasonable to select the experimental scheme (i.e., specify the values of the control variables at measuring points) in order to improve the expected value of information of the measurement data for reducing the uncertainty in the estimated SWCC. A one-stage Bayesian experimental design optimization (OBEDO) approach is developed for SWCC testing exploiting prior knowledge and information of testing apparatus. Discretization of control variables (e.g., matric suction) is used to generate the design space of the candidate experimental scheme, which is specified by the initial measuring points and the additional measuring points to control the general trajectory of SWCC and further reduce the uncertainty in SWCC, respectively. The value of data corresponding to the experimental scheme is quantified by the expected utility. The candidate experimental scheme with the maximum expected utility is identified using the subset simulation optimization (SSO) and treated as the optimal experimental design scheme. The proposed approach is illustrated using an experimental design example. The results show that it provides a rational tool to determine the optimal experiment scheme for SWCC testing considering the uncertainty of soil.
- Bayesian method /
- subset simulation /
- experimental design /
- value of information /
- soil-water characteristic curve

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0. 引言

膨胀性非饱和土是一种具有特殊结构的非饱和土，通常表现出吸水膨胀、失水收缩和浸水强度降低等特性，工程中容易使建筑物产生不均匀沉降，甚至会导致结构开裂和破坏。因此，对膨胀性非饱和土本构模型的研究具有重要工程意义，能够为预测膨胀土的变形特性从而避免工程灾害的发生提供有效手段。

1990年，Alonso等^[1]在修正剑桥模型的基础上，考虑了吸力的影响并引入了加载-湿陷屈服面（LC屈服面）和吸力增加屈服面（SI屈服面），进而提出了巴塞罗那弹塑性本构模型（BBM），能够描述非饱和土屈服应力随吸力增加而变大、湿化变形等力学特性。在此之后，Wheeler等^[2]、Sun等^[3-4]、缪林昌^[5]、赵成刚等^[6]、姚仰平等^[7-8]、Luo等^[9]也提出了多种形式的非饱和土本构模型，这些模型虽然可以描述包括湿陷变形在内的非饱和土的基本力学特性，但不能体现膨胀性非饱和土吸水膨胀的力学特性。

为更好地描述膨胀性非饱和土的力学特性，Gens等^[10]于1992年建立了膨胀性非饱和土弹塑性本构模型的理论框架模型（G-A模型）。在此基础上，Alonso等^[11]进一步建立了巴塞罗那膨胀性非饱和土弹塑性本构模型（BExM）。该模型认为膨胀土的膨胀性是由于其具有双重结构，即微观结构与宏观结构，当非饱和膨胀土湿化时，微观结构会发生膨胀，从而导致宏观结构发生塑性膨胀，最终表现出土体的整体膨胀。在此之后，许多学者在这一模型的理论基础上进行了改进和扩展，Sánchez等^[12]在G-A模型的基础上建立了考虑微观-宏观双重结构影响的广义塑性模型，并将其成功运用于有限元数值分析中；Mašín^[13]分别建立了能够描述微观结构和宏观结构的计算公式，通过引入双重结构的耦合方程建立了考虑水力耦合的非饱和膨胀土模型；卢再华等^[14]在改进的G-A模型中引入剪切屈服面（S_y），建立了非饱和原状膨胀土的弹塑性损伤本构模型；陈正汉等^[15-16]进一步针对原状膨胀性土、重塑膨胀性土和重塑膨润土等不同类型的膨胀土进行了全方位的研究，综合考虑了温度、持水特性等因素对膨胀土力学性质的影响，建立了考虑热-水-力等多场耦合特性的膨胀土模型；孙德安等^[17]考虑了饱和度对应力应变关系的影响及变形对土水特性的影响，并引入了等孔隙比线，建立了能够描述膨胀性非饱和土水力-力学耦合特性的弹塑性本构模型；曹雪山^[18]针对膨胀土干湿循环特性进一步完善模型，引入了微-宏观结构耦合参数，提出了考虑双重结构耦合的弹塑性本构模型；李舰等^[19-20]，Li等^[21]建立了适用于膨胀性非饱和土的边界面模型，并围绕其提出了有效的数值计算方法。

Yao等^[22]以修正剑桥模型为基础，提出了可以描述饱和超固结土力学特性的统一硬化（UH）本构模型，之后进一步考虑了吸力的影响，引入LC屈服面，扩展了UH模型使其可以描述非饱和土的特性^[8]。本文在非饱和土UH模型基础上，引入考虑超固结度和初始干密度影响的膨胀式，使其可以反映膨胀土湿化膨胀过程中产生的塑性变形，并进一步构建了考虑膨胀土膨胀性的非饱和土UH模型，由于本模型仅考虑了膨胀土的非饱和、胀缩性和超固结性等特性，没有考虑裂隙性^[23]，是对理想状态的膨胀土进行描述，故称理想膨胀性非饱和土UH模型。

1. 膨胀性非饱和土UH模型

1.1 吸力应力与屈服面方程

Alonso等^[1]在BBM中认为非饱和土的应变由吸力和净应力共同控制，并提出了LC屈服面和SI屈服面的概念来描述非饱和土的变形特性。Luo等 ^[9]在此基础上，根据对试验现象的分析，提出了新的吸力应力表达式，

$\begin{array}{*{20}{c}} {{p_{\text{s}}} = a\left( {1 - {e^{ - \frac{s}{a}}}} \right)} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(1)

式中： ${p_{\text{s}}}$ 为吸力应力，表示吸力对土体黏聚力的贡献值^[16]，可以通过恒定吸力下非饱和土的三轴试验或直剪试验测得； $a$ 为最大吸力应力，可以通过两个或两个以上不同吸力下非饱和土的三轴试验或直剪试验求得^[3]； $s$ 为吸力，是负孔隙水压力和表面张力在土骨架上的综合作用应力。区别于BBM，这里吸力应力与吸力并非正比关系，而是呈现非线性变化并存在一个最大值。

对于正常固结非饱和土，根据Sun等^[3]、Yao等^[8]和Luo等^[9]的研究，假设其等向压缩线在 $e{\text{ - ln}}(p + {p_{\text{s}}})$ 平面呈直线，如图 1所示，其等向压缩线公式可表示为

图 1 饱和土和非饱和土的等向压缩线

Figure 1. Normal compression lines for saturated and unsaturated soils

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$\begin{array}{*{20}{c}} {e = e(s) - \lambda \ln \frac{{p + {p_{\text{s}}}}}{{{p^{\text{c}}} + {p_{\text{s}}}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(2)

式中： ${p^{\text{c}}}$ 为参考吸力应力，假设当净平均应力为 ${p^{\text{c}}}$ 时，吸力变化仅引起弹性应变， $\lambda$ 为正常固结饱和土在 $e{\text{ - ln}}p$ 平面上等向压缩线的斜率。当吸力恒定时，平均净应力变化所引起的变形可写为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}e_{\text{p}}^{\text{e}} = - \kappa \frac{{{\text{d}}p}}{p}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(3)

对于吸力变化引起的变形，假设历史最大吸力为 ${s_0}$ ，当吸力 $s$ 小于历史最大吸力时，吸力变化仅引起弹性变形，当吸力 $s$ 大于历史最大吸力 ${s_0}$ 时，吸力增加会引发弹塑性变形，定量表述如下：

$\begin{array}{c}de=\{\begin{array}{c}-{\kappa }_{\text{s}}\frac{\text{d}s}{s+{p}_{\text{at}}}\text{(}s\le {s}_{0}\text{)}\\ -{\lambda }_{\text{s}}\frac{\text{d}s}{s+{p}_{\text{at}}}\text{(}s＞{s}_{0}\text{)}\end{array}\end{array} \ \ \ \ \ \ \ 。$

(4)

式中： ${\lambda _{\text{s}}}$ 为吸力超过历史最大吸力 ${s_0}$ 之后非饱和土在 $e{\text{ - ln}}s$ 平面内吸力加载线的斜率， ${\kappa _{\text{s}}}$ 为非饱和土在 $e{\text{ - ln}}s$ 平面内吸力回弹线的斜率， ${p_{{\text{at}}}}$ 为标准大气压。

基于上述假设，新的LC屈服面方程可以推导为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\frac{{p_{\text{x}}^*}}{{{p^{\text{c}}}}}} \right)}^{\lambda - \kappa }} = {{\left( {\frac{{{p_{\text{x}}} + {p_{\text{s}}}}}{{{p^{\text{c}}} + {p_{\text{s}}}}}} \right)}^\lambda }{{\left( {\frac{{{p_{\text{x}}}}}{{{p^{\text{c}}}}}} \right)}^{ - \kappa }}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(5)

式中： ${p_{\text{x}}}$ 为不同吸力下 $p{\text{ - }}q$ 平面屈服面与 $p$ 轴的交点值， $p_{\text{x}}^{\text{*}}$ 为饱和土 $p{\text{ - }}q$ 平面屈服面与 $p$ 轴的交点值，如图 2。

图 2 LC屈服面和SI屈服面

Figure 2. Yield curves of LC and SI

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SI屈服面采用BBM中与 $p$ 轴平行的直线，如图 2，方程可写为

$\begin{array}{*{20}{c}} {s = {s_0}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(6)

式中： ${s_0}$ 为历史最大吸力。

$p{\text{ - }}q$ 平面采用椭圆屈服面，

$f = {\text{ln}}\hat p + \ln \left( {1 + \frac{{{{\hat q}^2}}}{{{M^2}{{\hat p}^2}}}} \right) - \ln ({p_{\text{x}}} + {p_{\text{s}}}) = 0\ \ \ \ \ \ \ 。$

(7)

式中： $\hat p = p + {p_{\text{s}}}$ ， $\hat q = q$ 。本文提出的模型采用相关联流动法则，假设塑性势面方程与屈服面方程相同。

1.2 硬化参量

本模型屈服面的硬化参数采用 $H$ ，硬化规律可表示为

$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\text{d}}p_{\text{x}}^*}}{{p_{\text{x}}^*}} = \frac{{1 + {e_0}}}{{\lambda - \kappa }}dH} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(8)

Alonso等^[11]在提出的BExM中认为膨胀土吸水膨胀与其微观结构有关，在吸力变化时土体微观结构的改变会引起宏观结构的塑性变形。对于膨胀土，湿化会使得微观结构膨胀，进而引发宏观结构的塑性膨胀。膨胀土在湿化时塑性体应变由两部分组成，一部分是净应力变化和吸力变化综合引发的塑性体应变 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}}$ ，与非膨胀性非饱和土中的塑性体应变相同，另一部分为微观结构变化引起的宏观结构塑性体应变 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{p}}$ 。卢再华等^[24]提出对膨胀性非饱和土湿化时的膨胀量，可采用其与土体湿化产生的弹性体变的关系来求解，参照Alonso等^[11]和卢再华等^[24]对膨胀变形的求解思路，本文假定微观结构的应变与吸力引起的弹性应变相同，将宏观结构发生的塑性体应变 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{p}}$ 表示为微观结构体应变的函数：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{p}} = {f_{\text{d}}}{\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{e}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(9)

式中：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{e}} = \frac{{{\kappa _{\text{s}}} \cdot {\text{d}}s}}{{\left[ {(1 + {e_0})(s + {p_{{\text{at}}}})} \right]}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(10)

${f_{\text{d}}}$ 为放大系数，

$\begin{array}{*{20}{c}} {{f_{\text{d}}} = {J^{\frac{{{\rho _{\text{d}}}}}{{{\rho _{\text{w}}}}}}}{{(1 - R)}^2}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(11)

式中： $J$ 为反映膨胀土膨胀能力的参数； ${\rho _{\text{d}}}$ 为土体初始干密度，根据高登辉等^[25]的研究，初始干密度对非饱和土的变形参数、强度参数和渗透参数等有重要影响，此处通过引入初始干密度来考虑其对非饱和土膨胀量的影响， ${\rho _{\text{w}}}$ 为水的密度， $R$ 为超固结系数，可通过孔隙状态参数 $\xi$ 求出，

$\begin{array}{*{20}{c}} {R = \exp \left( { - \frac{\xi }{{\lambda - \kappa }}} \right)} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(12)

为考虑膨胀性的影响，在屈服面中引入微观结构引起的塑性变形，即将塑性应变增量表示为两部分：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = {\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}} + {\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{p}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(13)

屈服面采用统一硬化参量 $H$ ，并认为统一硬化参量 $H$ 只与净应力引起的塑性体应变有关，具体增量表达式为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}H = \frac{{M_{\text{f}}^4 - {{\hat \eta }^4}}}{{{M^4} - {{\hat \eta }^4}}}{\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(14)

式中： $\hat \eta$ 为应力比， $\hat \eta = \hat q/\hat p$ ； ${M_{\text{f}}}$ 为潜在强度^[26]，

$\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{\text{f}}} = 6\left[ {\sqrt {\frac{{12(3 - M)}}{{{M^2}}}\exp \left( { - \frac{\xi }{{\lambda - \kappa }}} \right) + 1} + 1} \right]} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(15)

式中： $\xi$ 为孔隙状态参数，反映土体当前孔隙比下的超固结程度，

$\begin{array}{*{20}{c}} {\xi = {e_{\hat \eta }} - e} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(16)

式中： ${e_{\hat \eta }}$ 为当前应力状态下土体正常固结时对应的孔隙比，

${e_{\hat \eta }} = e(s) - \lambda \ln \left[ {\frac{{\hat p}}{{{p^{\text{c}}} + {p_{\text{s}}}}}\left( {1 + \frac{{{{\hat \eta }^2}}}{{{M^2}}}} \right)} \right] + \kappa \ln \left( {1 + \frac{{\hat p}}{p}\frac{{{{\hat \eta }^2}}}{{{M^2}}}} \right) \ \ \ \ \ \ \ 。$

(17)

1.3 弹性应变增量

在净应力和吸力发生变化时，土体会发生变形，其中弹性应变可以表示为弹性体应变和弹性剪应变，本模型中弹性体应变可以表示为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{e}} = {\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{e}} + {\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{e}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(18)

其包含两部分，第一部分为净应力变化引起的弹性体应变，

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{e}} = \frac{k}{{1 + {e_0}}}\frac{{{\text{d}}\hat p}}{p} = \frac{{{\text{d}}\hat p}}{K}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(19)

式中：

$\begin{array}{*{20}{c}} {K = \frac{E}{{3{\text{(}}1 - 2v{\text{)}}}}} \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(20)

$\begin{array}{*{20}{c}} {E = \frac{{3(1 - 2v)(1 + {e_0})}}{\kappa }\hat p} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(21)

第二部分为吸力变化引起的弹性体应变，方程表达式见式（10）。

本模型认为吸力变化不会引起弹性剪应变，故弹性剪应变仅由净应力中的剪应力引起，可表示为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\varepsilon _{\text{d}}^{\text{e}} = \frac{{{\text{d}}\hat q}}{{3G}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(22)

式中：

$\begin{array}{*{20}{c}} {G = \frac{E}{{2(1 + v)}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(23)

1.4 塑性应变增量

由屈服面公式可知，净应力变化引起的应变增量可表示为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}} = \mathit{\Lambda } \frac{{\partial f}}{{\partial \hat p}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{，}$

(24)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{d} \varepsilon _{\text{d}}^{\text{p}} = \mathit{\Lambda } \frac{{\partial f}}{{\partial \hat q}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(25)

式中： $\mathit{\Lambda }$ 为塑性标量因子。

对当前屈服面函数和LC屈服面函数进行全微分，联立求解后得到

$\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\Lambda } = {A_0}\frac{{\frac{{\partial f}}{{\partial \hat p}}{\text{d}}\hat p + \frac{{\partial f}}{{\partial \hat q}}{\text{d}}\hat q + {f_{\text{s}}}{\text{d}}s}}{{\frac{{\partial f}}{{\partial \hat p}}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(26)

式中：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{A_0} = \frac{{{c_{\text{p}}}\hat {\mathit{\Omega }} }}{{p_{\text{x}}^{\text{*}}}}\frac{{\lambda {p_{\text{x}}} - \kappa \left( {{p_{\text{x}}} + {p_{\text{s}}}} \right)}}{{\lambda - \kappa }}{{\left( {\frac{{{p_{\text{x}}}}}{{{p^{\text{c}}}}}} \right)}^{\frac{{ - \lambda }}{{\lambda - \kappa }}}}{{\left( {\frac{{{p_{\text{x}}} + {p_{\text{s}}}}}{{{p^{\text{c}}} + {p_{\text{s}}}}}} \right)}^{\frac{\lambda }{{\lambda - \kappa }}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(27)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{f_{\text{s}}} = \frac{{ - \lambda {p_{\text{x}}} + \kappa ({p^{\text{c}}} + {p_{\text{s}}})}}{{({p^{\text{c}}} + {p_{\text{s}}})\left[ {\lambda {p_{\text{x}}} - \kappa ({p_{\text{x}}} + {p_{\text{s}}})} \right]}}{{\text{e}}^{ - \frac{s}{a}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(28)

$\begin{array}{*{20}{c}} {p_{\text{x}}^{\text{*}} = {p^{\text{c}}}{{\left( {\frac{{{p_{\text{x}}} + {p_{\text{s}}}}}{{{p^{\text{c}}} + {p_{\text{s}}}}}} \right)}^{\frac{\lambda }{{\lambda - \kappa }}}}{{\left( {\frac{{{p_{\text{x}}}}}{{{p^{\text{c}}}}}} \right)}^{\frac{{ - \kappa }}{{\lambda - \kappa }}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(29)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{p_{\text{x}}} = p + \frac{{{{\hat q}^2}}}{{{M^2}{{\hat p}^2}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(30)

$\begin{array}{*{20}{c}} {\hat{\mathit{\Omega }} = \frac{{{M^4} - {{\hat \eta }^4}}}{{M_{\text{f}}^4 - {{\hat \eta }^4}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(31)

综上可得：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}} = \mathit{\Lambda } \frac{{\partial f}}{{\partial \hat p}} = {A_0}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial \hat p}}{\text{d}}\hat p + \frac{{\partial f}}{{\partial \hat q}}{\text{d}}\hat q + {f_{\text{s}}}{\text{d}}s} \right)} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{，}$

(32)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\varepsilon _{\text{d}}^{\text{p}} = \mathit{\Lambda } \frac{{\partial f}}{{\partial \hat q}} = {A_0}\frac{{\frac{{\partial f}}{{\partial \hat p}}{\text{d}}\hat p + \frac{{\partial f}}{{\partial \hat q}}{\text{d}}\hat q + {f_{\text{s}}}{\text{d}}s}}{{\frac{{\partial f}}{{\partial \hat p}}}}\frac{{\partial f}}{{\partial \hat q}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(33)

对于膨胀性非饱和土，除了上述体应变外，还有微观结构变化引起的体应变，当吸力减小时（即湿化），相应塑性体应变表达式见式（9）。

当吸力增加时，考虑LC屈服面和SI屈服面的耦合，将吸力增加引起的塑性体应变并入 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}}$ 考虑，此时 ${f_{\text{d}}} = 0$ ，即得到

$\begin{array}{*{20}{c}} {{f_{\text{d}}} = \left\{ \begin{gathered} {J^{\frac{{{\rho _{\text{d}}}}}{{{\rho _{\text{w}}}}}}}{\left( {1 - {\text{exp}}\left( { - \frac{\xi }{{\lambda - \kappa }}} \right)} \right)^2}{\text{ (d}}s < 0) \hfill \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\text{(d}}s \geqslant 0)\ \ \hfill \\ \end{gathered} \right.} \end{array} \ \ \ \ \ \ \ 。$

(34)

1.5 弹塑性应力应变关系

膨胀土塑性体应变由 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}}$ 和 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{p}}$ 两部分组成，弹性体应变由 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{e}}$ 和 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{e}}$ 两部分组成，将应力应变关系表示为矩阵得到

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}\hat p + {B_1}{\text{d}}s} \\ {{\text{d}}\hat q + {B_2}{\text{d}}s} \end{array}} \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {K{A_1}}&{3KG{A_2}} \\ {3KG{A_2}}&{3G{A_3}} \end{array}} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{d}}{\varepsilon _{\text{v}}}} \\ {{\text{d}}{\varepsilon _{\text{d}}}} \end{array}} \right\}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(35)

式中：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1} = \frac{{12G{A_0}{{\hat \eta }^2} + \hat p({M^4} - {{\hat \eta }^4})}}{{{T_0}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(36)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{A_2} = \frac{{ - 2{A_0}\hat \eta ({M^2} - {{\hat \eta }^2})}}{{{T_0}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(37)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{A_3} = \frac{{{A_0}K{{({M^2} - {{\hat \eta }^2})}^2} + \hat p({M^4} - {{\hat \eta }^4})}}{{{T_0}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(38)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{B_1} = K\frac{{12G{A_0}{{\hat \eta }^2}({T_1} - {A_0}{f_{\text{s}}}) + \hat p{T_1}({M^4} - {{\hat \eta }^4})}}{{{T_0}}}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(39)

${B_2} = 6G{A_0}\hat \eta \frac{{K({M^2} - {{\hat \eta }^2})({A_0}{f_{\text{s}}} - {T_1}) + \hat p{f_{\text{s}}}({M^2} + {{\hat \eta }^2})}}{{{T_0}}}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(40)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{T_0} = {A_0}K{{({M^2} - {{\hat \eta }^2})}^2} + 12G{A_0}{{\hat \eta }^2} + \hat p({M^4} - {{\hat \eta }^4})} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \text{；}$

(41)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{T_1} = {A_0}{f_{\text{s}}} + (1 + {f_{\text{d}}})\frac{{{k_{\text{s}}}}}{{(1 + {e_0})(s + {p_{{\text{at}}}})}} - \frac{{{{\text{e}}^{ - \frac{s}{a}}}}}{K}} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ 。$

(42)

2. 模型特性分析

本节通过对几种湿化应力路径的模拟和分析，来体现本文模型在描述膨胀性非饱和土湿化过程中体积膨胀和强度降低的特性。所取模型参数： $\lambda$ =0.2， $\kappa$ =0.02， ${\lambda _{\text{s}}}$ =0.08， $\nu$ =0.3，M=1.0，N=1.96， ${\kappa _{\text{s}}}$ =0.01， ${p^{\text{c}}}$ =100 kPa，a=150 kPa， ${p_{{\text{at}}}}$ =100 kPa，初始孔隙比取0.95。

本模型中膨胀性非饱和土膨胀性的体现主要与3个参数有关，即反映土体膨胀能力的系数J、反映土体密实程度的初始干密度 ${\rho _{\text{d}}}$ 以及反映土体超固结程度的系数 $\xi$ ，其中系数J和初始干密度 ${\rho _{\text{d}}}$ 的影响可以通过膨胀系数 $C = {J^{\frac{{{\rho _{\text{d}}}}}{{{\rho _{\text{w}}}}}}}$ 综合反映，系数 $\xi$ 的影响可以通过前期固结压力体现，相同应力路径和吸力状态下，前期固结压力越大， $\xi$ 越大，即土的超固结程度越高。

2.1 等向回弹再湿化

为了分析膨胀系数对膨胀量的影响，先在吸力不变的条件下将土样等向压缩后回弹，然后湿化至饱和，应力路径如中A—B( $B'$ )—C—D所示，其中A—B为等向压缩， $B'$ —C为回弹，C—D为湿化。

图 3 不同C值等向回弹湿化应力路径

Figure 3. Stress paths of isotropic unloading-wetting with different values of C

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分别取膨胀系数C为0，2，5，在吸力s=600 kPa不变的条件下，将土样从初始状态（围压p=200 kPa）等向压缩至围压p=1000 kPa，然后回弹至p=200 kPa，然后再湿化至饱和（s=0 kPa），由本文所提模型预测湿化过程中土样的体应变，如图 4所示。

图 4 等向回弹湿化中不同C值下体应变

Figure 4. Variation of volumetric strain under stress path of isotropic unloading-wetting with different values of C

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可以看出，随着土体中吸力降低，土体会发生膨胀变形（负体应变代表膨胀变形），随着膨胀系数C的提高，膨胀量会随之增大；同时在吸力较低的时候土体会发生湿陷，这是因为在吸力接近0 kPa时，土样应力状态接近屈服面，吸力降低使得土体产生的塑性湿陷体应变增量 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}}$ 在数值上超过微观结构引起的塑性膨胀体应变增量 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{p}}$ ，塑性湿陷变形在总变形中占据主导地位，土体整体表现出体积减小。

为分析等向回弹再湿化路径下不同超固结度对膨胀量的影响，取初始围压p=200 kPa，膨胀系数C=2，吸力s保持为600 kPa，将土样分别等向压缩至500，1000，1500 kPa，再回弹至200 kPa，应力路径如图 5所示A—B₁（B₂，B₃）为等向压缩过程，B₁（B₂，B₃）—C为回弹过程，C—D为湿化过程。

图 5 不同超固结度等向回弹湿化路径

Figure 5. Stress paths of isotropic unloading-wetting with different overconsolidation ratios

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3个土样湿化时的超固结程度不同，由本文所提模型预测体应变在湿化过程中的变化，如图 6所示。

图 6 等向回弹湿化不同超固结度下体应变

Figure 6. Variation of volumetric strain under stress path of isotropic unloading-wetting with different overconsolidation ratios

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可以看出，超固结程度越高，膨胀量越大，当超固结度过低时（例如前期固结压力500 kPa），甚至会发生土体整体湿陷的现象，即湿化至饱和后土体体积相比湿化前减小，体现超固结程度对膨胀性非饱和土膨胀量的重要影响。

2.2 回弹—等p剪切—湿化—加载

此路径中，吸力保持600 kPa不变，等向加载回弹后，进行等p剪切，剪切到一定程度时湿化，之后再剪切至破坏，分析剪切过程中体应变的变化。

首先预测不同膨胀系数C在三轴排水剪切过程中的影响，初始围压p取200 kPa，膨胀系数C取0，2，5，等向压缩至p=1000 kPa，然后再回弹至200 kPa，之后进行等p剪切，剪切到广义剪应力q=200 kPa时进行湿化，湿化至饱和后再继续剪切，直到破坏，如图 7所示为剪切过程中体应变的变化。

图 7 等p剪切中湿化不同C值下体应变

Figure 7. Variation of volumetric strain under stress path of shearing- wetting-shearing with different values of C and constant mean effective stress

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可以看出膨胀系数C的取值不影响湿化前土体的应力应变关系，但在湿化过程中膨胀系数大的土体表现出更大的膨胀变形，甚至会使土样体积大于初始体积，这一变形导致湿化后剪切过程中土样剪缩量降低，但在不断剪切过程中，不同参数的土样体积应变趋于一致。同时通过分析湿化过程剪应力的变化，发现随着膨胀系数C值的增大，湿化后的剪切强度会降低。

其次分析此路径下不同超固结度对膨胀特性的影响。设置初始围压为200 kPa，膨胀系数C取2，分别将土样等向压缩至500，1000，1500 kPa，然后等向回弹至200 kPa，之后等p剪切，当q=200 kPa时湿化至饱和，再剪切至破坏，分析此剪切过程中体应变与轴向应变的关系，如图 8所示。

图 8 等p剪切中湿化不同超固结度下体应变

Figure 8. Variation of volumetric strain under stress path of shearing- wetting-shearing with different overconsolidation ratios and constant mean effective stress

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可以看出不同超固结度下湿化时产生的体应变不同，当超固结度较大时，土体剪缩量会减小，使得土样提前进入剪胀阶段，同时增大剪切过程中产生的总膨胀量。

2.3 等体积湿化中的膨胀力

膨胀力是评价膨胀性非饱和土膨胀特性的基本参数，试验中可以通过三向胀缩仪测定^[27]。在土体各向同性条件下，模型中的膨胀力与 ${\text{d}}{\varepsilon _{\text{v}}} = 0$ 时的平均正应力相等。本节研究土体膨胀过程中膨胀力的变化特性。

首先预测不同膨胀系数下土体膨胀力变化，初始吸力600 kPa，初始围压200 kPa，膨胀系数C分别取0，2，5，将土样等向压缩至1000 kPa，后回弹至200 kPa，改变围压维持体积不变，将土样湿化至饱和，预测湿化过程中膨胀力与吸力的关系，如图 9。

图 9 等体积湿化不同C值膨胀力变化

Figure 9. Variation of swelling pressure during wetting under constant volume with different values of C

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可以看出随着膨胀系数的提高，土体最大膨胀力也相应提高，同时在湿化至低吸力阶段时，土体膨胀力会降低，反映此阶段土体整体表现出湿陷趋势，相应的，膨胀系数C越大，低吸力阶段土体膨胀力降低越多，体现土体膨胀系数的增大会加剧产生土体塑性湿陷体应变增量 ${\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}}$ 的趋势，使得土体整体表现出的体缩趋势更大，在本模拟中由于限制了土体变形，体缩趋势表现为膨胀力的减小。

其次预测不同超固结程度下膨胀力的变化，初始吸力仍为600 kPa，膨胀系数C取2，初始围压为200 kPa，将土样分别等向压缩至500，1000，1500 kPa，然后回弹至200 kPa，保持体积不变湿化至饱和，其膨胀力与吸力的关系如图 10。

图 10 等体积湿化不同超固结度膨胀力变化

Figure 10. Variation of swelling pressure during wetting under constant volume with different overconsolidation ratios

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可见超固结度越高土体最大膨胀力越大，因土体在低吸力时有体缩趋势，当超固结度较低时，最终膨胀力甚至会低于初始围压，但相比膨胀系数C，超固结度的提高对低吸力阶段土体膨胀力降低的影响较小，不同超固结度下土体低吸力阶段膨胀力降低量相近。

2.4 回弹—三轴压缩—湿化—三轴压缩

此路径中先将土样等向压缩后回弹，之后进行三轴压缩，到达某一状态后湿化至饱和，之后再三轴压缩至破坏。首先预测不同膨胀系数对压缩过程的影响，取初始围压p=200 kPa，膨胀系数C分别取为0，2，5，初始吸力为600 kPa，先将土样等向压缩至1000 kPa，然后再回弹至200 kPa，之后进行三轴排水剪切，围压保持200 kPa，当q=200 kPa时，将土样湿化至饱和，再三轴压缩至破坏，分析此压缩过程中体应变与轴向应变的关系，如图 11。

图 11 三轴压缩中湿化不同C值下体应变

Figure 11. Variation of volumetric strain under stress path of triaxial compression-wetting-triaxial compression with different values of C

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可以看出膨胀系数并不影响湿化前过程，当土体湿化时会发生膨胀，C值越大膨胀量越大，但湿化至饱和后随着三轴压缩的不断进行，体应变会逐渐趋于一致。同时通过分析剪切过程中广义剪应力q的变化，发现随着C值的提高，湿化后土体峰值强度会降低。

其次预测分析不同超固结度的影响，初始吸力仍为600 kPa，膨胀系数C取2，初始围压为200 kPa，将土样分别等向压缩至500，1000，1500 kPa，然后再回弹至200 kPa，之后进行三轴压缩，当q=200 kPa时湿化至饱和，再三轴压缩至破坏，分析压缩过程中体应变与轴向应变之间的关系，如图 12。

图 12 三轴压缩中湿化不同超固结度体应变

Figure 12. Variation of volumetric strain under stress path of triaxial compression-wetting-triaxial compression with different overconsolidation ratios

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可以看出，超固结度越高，湿化过程中土体膨胀量越大，湿化至饱和后土体三轴剪切阶段体应变的变化趋势与一般非饱和土基本一致。

3. 模型的试验验证

为验证模型的合理性，分别对Zhan等^[28]和Alonso等^[29]的湿化膨胀试验数据进行预测。

3.1 模型的试验验证Ⅰ

Zhan等^[28]对中国湖北枣阳某边坡的膨胀黏土进行了室内试验，土体干密度为1.52~1.60 g/cm³，经测定，土样中砂砾含量3%、粉土颗粒含量58%，黏土颗粒含量39%，液限为50.5%，塑性指数为31，Zhan等^[28]利用非饱和土三轴试验仪对土样进行了多组试验研究，本节取其不同围压下的湿化路径作为验证试验数据。

本文建立的膨胀性非饱和模型需要10个参数，其中力学模型参数 $\lambda ，\kappa ，M，\nu ，N$ 与修正剑桥模型相同，参数 $\lambda ，\kappa ，N$ 可通过饱和土等向压缩回弹试验求得，参数 $M$ 可通过饱和土三轴压缩试验求得，参数 ${\lambda }_{s}，{\kappa }_{s}，{p}^{c}$ 与巴塞罗那模型相同，参数 ${\lambda }_{s}，{\kappa }_{s}$ 可由等围压的干化和湿化试验得到，参数 ${p^{\text{c}}}$ 可通过不同吸力下等向压缩回弹再湿化试验得到，参数 $a$ 可通过不同吸力下的三轴压缩试验得到，反映土体膨胀能力的参数J可根据土体不同围压下的湿化试验求得，根据文献[，]得到参数： $\lambda$ =0.1， $\kappa$ =0.01， ${\lambda _{\text{s}}}$ =0.1， $\nu$ =0.3，M=1.0，N=1.18， ${\kappa _{\text{s}}}$ =0.01， ${p^{\text{c}}}$ =125 kPa，a=150 kPa，J=1.55。大气压 ${p_{{\text{at}}}}$ 取为100 kPa。

此试验取了3组土样，经过吸力平衡，控制土样吸力保持在200 kPa，然后维持吸力不变，分别在40, 70, 100 kPa围压下进行等向固结，在固结完成后，进行湿化试验。湿化过程中保持各自围压不变，吸力从200 kPa降至0 kPa，湿化前土体干密度取1.56 g/cm³，不同围压下湿化过程的试验结果与预测结果对比如图 13所示。

图 13 Zhan等^[28]试验预测对比

Figure 13. Comparison between predicted values and experimental results by Zhan et al. ^[28]

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可以看出3组土样在试验过程中都发生体积膨胀，但围压不同体积膨胀的幅度不同，围压较大的土样膨胀量较小，预测曲线与试验数据符合较好，可以反映出土体湿化过程中体积膨胀的过程，并体现不同围压下体积膨胀量的不同。

3.2 模型的试验验证Ⅱ

Alonso等^[29]利用Boom膨胀黏土进行了室内试验，其液限为55.9%，塑性指数为29.2，土体的高岭土、伊利石和蒙脱石的含量分别为20%，30%, 10%。试验土样初始干密度为1.40 g/cm³，Alonso等^[29]利用土样进行了不同等向围压下的干湿循环试验，本次验证选取其试验中第一次湿化的试验数据进行验证。

同上一节参数确定方法，本次试验根据文献[，]及参数拟合确定参数： $\lambda$ =0.15， $\kappa$ =0.014， ${\lambda _{\text{s}}}$ =0.1， $\nu$ =0.3，M=1.0，N=1.6， ${\kappa _{\text{s}}}$ =0.008， ${p^{\text{c}}}$ =45 kPa，a=120 kPa，J=1.65。

Chen^[30]将土样分为3组，控制吸力分别为500，500，700 kPa，保持吸力不变，分别在等向压力20，100，400 kPa下等向固结，固结完成后保持围压不变，进行湿化试验，将土样吸力从500 kPa或700 kPa降低到0 kPa，预测土样的体积变化，试验结果与预测结果如图 14。

图 14 Alonso等^[29]试验预测对比

Figure 14. Comparison between predicted values and experimental results by Alonso et al. ^[29]

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可以看出，由于围压不同，土体在湿化过程中体积变化也有区别，低围压下土体湿化会发生体积膨胀，但当围压增大到足够大时，土体在湿化过程中会发生体积收缩，且随着围压的进一步提高体积收缩也会加剧，这是因为随着围压的提高，土体超固结程度降低，湿化过程中更容易发生屈服，产生更大的湿陷塑性体应变 $\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{p}}$ ，引发更大的湿陷变形，当围压足够大时这种湿陷变形会占主导地位，使得土体整体表现出体积的收缩，预测曲线可以反映出膨胀土的这一特性，且与试验结果符合较好。

4. 结论

本文提出了考虑膨胀土超固结度和初始干密度的膨胀式，将其融入非饱和土UH模型得到可以考虑理想膨胀性非饱和土的UH模型，该模型具有以下3个特点。

（1）通过引入与土体超固结度和初始干密度有直接关系的膨胀式，可以考虑不同的超固结度和初始干密度对膨胀土应力应变关系的影响，同时可以反映湿化过程中土体超固结度的变化。

（2）以UH模型为基础，并采用硬化参量H，可以体现膨胀土在超固结状态下不同于正常固结状态的应力软化特性和剪胀特性。

（3）本模型在一般非饱和土模型基础上引入的新参数较少，可以通过基础土力学试验获取，模型应用简便。经过模型特性分析与试验结果的验证可以显示出其预测膨胀土应力应变关系的合理性。

另一方面，本模型未考虑水量变化等水力作用对膨胀性非饱和土应力应变关系的影响，需在之后的研究中进一步完善。

图 1 试验方案对SWCC置信区间的影响

Figure 1. Effects of experimental schemes on CIs of SWCC

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图 2 SWCC试验单阶段贝叶斯优化设计（OBEDO）框架

Figure 2. One-stage Bayesian experimental design optimization (OBEDO) framework for SWCC tests

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图 3 附加点D₁，D₂，…，D_n-4分布

Figure 3. Positions of additional points D₁, D₂, …, D_n-4

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图 4 典型土水特征曲线

Figure 4. Typical SWCC

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基于 ${\bar \psi _{\text{b}}}$ ， ${\bar \psi _{\text{i}}}$ 和 ${\bar \psi _{\text{r}}}$ 的SWCC分区

Figure 5. Partition of SWCC

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图 6 控制点和附加点分布

Figure 6. Positions of control points and additional point

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利用先验信息确定 ${\bar \psi _{\text{b}}}$ ， ${\bar \psi _{\text{i}}}$ 和 ${\bar \psi _{\text{r}}}$

Determination of ${\bar \psi _{\text{b}}}$ , ${\bar \psi _{\text{i}}}$ and ${\bar \psi _{\text{r}}}$ based on prior knowledge

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图 8 SSO过程中期望效用中间阈值的变化

Figure 8. Evolution of intermediate threshold value of expected utility during SSO

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图 9 测点数目n对应的期望效用中间阈值U_m的变化

Figure 9. Evolution of intermediate threshold value of expected utility U_m for different measuring points n

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图 10 不同测点数目n时的最大期望效用

Figure 10. Expected utilities of optimal experimental schemes with different numbers of measuring points n

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图 11 SWCC实测数据

Figure 11. Measured data of SWCC

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图 12 随机试验方案的效用

Figure 12. Utilities of random experimental schemes

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图 13 基于BOS模拟数据和ROS实测数据获得的SWCC置信区间对比

Figure 13. CIs of SWCC with simulated data of BOS and measuring data of ROS

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图 14 不同先验信息条件下测点数目n对应的最大期望效用值

Figure 14. Maximum expected utilities using different prior knowledge

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图 15 不同先验范围对应的最优设计方案BOS

Figure 15. Optimal design scheme BOS using different prior knowledge

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参考文献(23)

[1]	LU N, LIKOS W J. Unsaturated Soil Mechanics[M]. New Jersey: Wiley, 2004: 40-42.
[2]	NAM S, GUTIERREZ M, DIPLAS P, et al. Comparison of testing techniques and models for establishing the SWCC of riverbank soils[J]. Engineering Geology, 2010, 110(1/2): 1-10. http://www.researchgate.net/profile/Panayiotis_Diplas/publication/222581777_Comparison_of_testing_techniques_and_models_for_establishing_the_SWCC_of_riverbank_soils/links/02bfe50dda8e569bcd000000
[3]	邢旭光, 赵文刚, 马孝义, 等. 土壤水分特征曲线测定过程中土壤收缩特性研究[J]. 水利学报, 2015, 46(10): 1181-1188. doi: 10.13243/j.cnki.slxb.20150632 XING Xuguang, ZHAO Wengang, MA Xiaoyi, et al. Study on soil shrinkage characteristics during soil water characteristic curve measurement[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2015, 46(10): 1181-1188. (in Chinese) doi: 10.13243/j.cnki.slxb.20150632
[4]	GATABIN C, TALANDIER J, COLLIN F, et al. Competing effects of volume change and water uptake on the water retention behaviour of a compacted MX-80 bentonite/sand mixture[J]. Applied Clay Science, 2016, 121/122: 57-62. doi: 10.1016/j.clay.2015.12.019
[5]	VAN GENUCHTEN M T. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils[J]. Soil Science Society of America Journal, 1980, 44(5): 892-898. doi: 10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x
[6]	FREDLUND D G, XING A Q. Equations for the soil-water characteristic curve[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1994, 31(4): 521-532. doi: 10.1139/t94-061
[7]	陶睿, 李典庆, 曹子君, 等. 含砂黄土土水特征曲线试验研究与参数识别[J]. 武汉大学学报(工学版), 2021, 54(7): 579-587. doi: 10.14188/j.1671-8844.2021-07-001 (TAO Rui, LI Dianqing, CAO Zijun, et al. Experimental study and parameter identification of soil water characteristic curve of sandy loess[J]. Engineering Journal of Wuhan University, 2021, 54(7): 579-587. doi: 10.14188/j.1671-8844.2021-07-001
[8]	WANG L, CAO Z J, LI D Q, et al. Determination of site-specific soil-water characteristic curve from a limited number of test data–A Bayesian perspective[J]. Geoscience Frontiers, 2018, 9(6): 1665-1677. doi: 10.1016/j.gsf.2017.10.014
[9]	王林, 李典庆, 曹子君, 等. 基于贝叶斯理论的土水特征曲线模型选择与参数识别方法[J]. 应用基础与工程科学学报, 2019, 27(6): 1269-1284. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YJGX201906008.htm WANG Lin, LI Dianqing, CAO Zijun, et al. Bayesian approaches for model selection and parameter identification of soil-water characteristic curve[J]. Journal of Basic Science and Engineering, 2019, 27(6): 1269-1284. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YJGX201906008.htm
[10]	SIVIA D, SKILLING J. Data Analysis: A Bayesian Tutorial[M]. Oxford: OUP Oxford, 2006.
[11]	张万涛, 余宏明. 正交试验设计方法在库岸滑坡敏感性分析中的应用[J]. 安全与环境工程, 2009, 16(5): 13-16. doi: 10.3969/j.issn.1671-1556.2009.05.004 ZHANG Wantao, YU Hongming. Applications of orthogonal experiment design to sensitivity analysis of bank landslide[J]. Safety and Environmental Engineering, 2009, 16(5): 13-16. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1671-1556.2009.05.004
[12]	STRAUB D. Value of information analysis with structural reliability methods[J]. Structural Safety, 2014, 49: 75-85. doi: 10.1016/j.strusafe.2013.08.006
[13]	SCHWECKENDIEK T, VROUWENVELDER A C W M. Reliability updating and decision analysis for head monitoring of levees[J]. Georisk: Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards, 2013, 7(2): 110-121. doi: 10.1080/17499518.2013.791034
[14]	LI X Y, ZHANG L M, JIANG S H, et al. Assessment of slope stability in the monitoring parameter space[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2016, 142(7): 04016029. doi: 10.1061/(ASCE)GT.1943-5606.0001490
[15]	LI H S. Subset simulation for unconstrained global optimization[J]. Applied Mathematical Modelling, 2011, 35(10): 5108-5120. doi: 10.1016/j.apm.2011.04.023
[16]	ZHAI Q, RAHARDJO H. Determination of soil-water characteristic curve variables[J]. Computers and Geotechnics, 2012, 42: 37-43. doi: 10.1016/j.compgeo.2011.11.010
[17]	ZHAI Q, RAHARDJO H, SATYANAGA A. Effects of residual suction and residual water content on the estimation of permeability function[J]. Geoderma, 2017, 303: 165-177. doi: 10.1016/j.geoderma.2017.05.019
[18]	丁少林. 考虑不确定性的土水特征曲线室内试验设计与含气土现场勘探优化方法[D]. 武汉: 武汉大学, 2022. DING Shaolin. Laboratory experimental design of soil-water characteristic curve and site investigation optimization of gassy soils considering uncertainty[D]. Wuhan: Wuhan University, 2022. (in Chinese)
[19]	HUAN X, MARZOUK Y M. Simulation-based optimal Bayesian experimental design for nonlinear systems[J]. Journal of Computational Physics, 2013, 232(1): 288-317. doi: 10.1016/j.jcp.2012.08.013
[20]	CHIU C F, YAN W M, YUEN K V. Reliability analysis of soil–water characteristics curve and its application to slope stability analysis[J]. Engineering Geology, 2012, 135/136: 83-91. doi: 10.1016/j.enggeo.2012.03.004
[21]	BISHOP C M. Pattern Recognition and Machine Learning[M]. New York: Springer, 2006.
[22]	ZHOU Y F, THAM L G, YAN R W M, et al. The mechanism of soil failures along cracks subjected to water infiltration[J]. Computers and Geotechnics, 2014, 55: 330-341. doi: 10.1016/j.compgeo.2013.09.009
[23]	LI X P, WANG C H, XU J. Surficial stability analysis of unsaturated loess slopes subjected to rainfall infiltration effects[J]. Wuhan University Journal of Natural Sciences, 2006, 11(4): 825-828. http://www.cqvip.com/QK/85480X/200604/22434488.html

施引文献(3)

期刊类型引用(2)

1.	王涛，凡红，王康任，周国庆，王亮亮. 高温冻土双屈服面统一本构模型及其验证. 岩土工程学报. 2025(01): 135-143 . 本站查看
2.	柳伟，徐长节，杜昊东，朱怀龙，王长虹. 基于修正统一硬化模型的超固结非饱和红黏土边坡稳定分析. 岩土力学. 2024(04): 1233-1241 . 百度学术