0.   引言

在长期地质作用过程中，岩体内部普遍发育有大量不同规模、形态和尺度的裂隙，进而构成复杂的地下裂隙网络系统。相对于致密的岩石块体，岩石裂隙具有更强的渗透性，对地表水快速下渗以及污染物迁移过程起控制作用^[1-3]。准确预测非饱和裂隙岩体的渗流特性对降雨诱发滑坡、核废料深地质处置、地下油气储库建设、CO₂地质封存等重大工程建设和地质灾害防控具有现实指导意义^[4-7]。然而由于地下裂隙复杂的空间分布与地球物理探测技术的限制，目前针对裂隙岩体非饱和渗流的认识还十分有限。交叉裂隙是裂隙网络的基本组成单元，液体在交叉处的流动方向及体积分配等性质决定了局部渗流路径及网络尺度非饱和渗流结构的演化^[8-10]，因而交叉裂隙液体分流行为的研究日益受到重视^[11-13]。

非饱和条件下交叉裂隙液体分流行为十分复杂：①面裂隙中液体存在多种与入渗量有关的流动模式（线状流、滴状流、膜状流）^[14-16]，不同流态在交叉处会产生不同分流行为；②交叉裂隙形态（裂隙交角、裂隙开度等）也会对液体分流行为产生显著影响^[17-19]。通过开展可视化的非饱和渗流试验，Jones等^[20]发现随着流量增大，交叉处渗流流态会逐渐由非连续、非稳定的滴状流转变为连续、稳定的线状流；Kordilla等^[21]研究了线状流态下液体动态分流过程，并基于受力平衡分析建立了线状水流分流静态理论模型；Yang等^[22]研究了低流量条件下交叉处滴状水流的分配行为，发现液滴分流过程高度动态且分流体积比例与液滴尺寸有关；薛松等^[23-24]针对固定开度下交叉裂隙液滴分流这一动态过程，基于静力学方法提出了液滴分流的准静态模型，准确预测了液滴分流的动态特征及分流体积比例。上述试验和理论研究显著增强了对非饱和交叉裂隙不同流态水流分配行为的认识；但在交叉裂隙形态影响方面研究成果相对较少且认识不足。

裂隙开度是描述裂隙形貌的重要参数之一，其变化对非饱和渗流的重要驱动力——毛细力具有重要的影响。在非饱和裂隙渗流过程中，与高流量条件下产生的线状流相比，低流量条件下的滴状流受毛细力的影响更为显著^[22]。为此，本文针对滴状流条件下非饱和交叉裂隙分流过程，以笔者提出的交叉裂隙液滴分流模型为基础^[24]，开展了交叉裂隙液滴分流过程的模拟，系统研究了交叉处裂隙开度及其组合对液滴分流行为的影响及其内在机制。该研究可为交叉裂隙滴状水流流动行为预测提供理论及数据支撑，对准确评估裂隙岩体宏观非饱和渗流特性具有重要意义。

1.   液滴分流理论模型

1.1   液滴动态分流控制方程

理想二维T型交叉裂隙中，长度为L的液滴在重力驱动下向下流动，当其穿过交叉时液滴发生分流行为。当液滴接触交叉时开始分流，液滴穿过交叉时结束分流（图 1）。分流过程中液滴流动行为高度动态，液滴长度、水气界面流速、界面形态随时间而不断变化^[24]；为描述液滴动态分流行为，将整个分流过程离散为许多小的时间步Δt，每个时间步长内假设液滴处于受力平衡状态。进一步假设交叉裂隙分流行为可视为液体在主裂隙C1和支裂隙C2两条通道中独立运动并在交叉处满足受力平衡和质量守恒关系。

图  1  T型交叉裂隙液滴分流示意图

Figure  1.  Schematic diagrams of a droplet splitting at a T-junction

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采用${L_{{\text{C1}}}}$(t)，${L_{{\text{C1, d}}}}$(t)和${L_{{\text{C2}}}}$(t)分别为液体在通道C1中的总长度，在C1下部的长度，在通道C2中的长度（图 1（b））。当分流处于初始状态时（t = 0），满足${L_{{\text{C1}}}}$(0) = L，${L_{{\text{C1, d}}}}$(0) =${w_2}$/2，${L_{{\text{C2}}}}$(0) =${w_1}$/2；当分流结束时液滴完全穿过交叉，满足${L_{{\text{C1, d}}}}$(t) =${L_{{\text{C1}}}}$(t)。任意时间步内，通道C1中液滴在重力（${L_{{\text{C1}}}}$ρgsinα）、毛细力（–2σ($\cos \theta _{{\text{rC1}}}^{} - \cos \theta _{{\text{aC1}}}^{}$)/${w_1}$）和黏滞力（12$\mu u_{{\text{rC1}}}^{}{L_{{\text{C1}}}}$/ $w_1^2$）的共同作用下保持平衡状态并以恒定流速向下运动^{[13, 20]}，故通道C1内后退界面的流速$u_{{\text{rC1}}}^{}$(t)可表示为

式中：ρ为液体密度（kg/m³）；g为重力加速度（m/s²）；w₁为通道C1宽度（m）；μ为动力黏滞系数（Pa·s）；α为裂隙C1与水平面夹角（°）；$\sigma$为毛细张力（N/m）；$\theta _{{\text{rC1}}}^{}$(t)和$\theta _{{\text{aC1}}}^{}$(t)分别是通道C1中后退和前进界面接触角(°)；${L_{{\text{C1}}}}$(t) = L–${L_{{\text{C2}}}}$(t)w₂/w₁。

通道C2内液体运动受水压力梯度和重力的影响，其前进界面流速可表示为

式中：${w_2}$为通道C2宽度（m）；P_w为交叉处的水压力（N），其与通道C1前进界面毛细力（$\psi _{{\text{aC1}}}^{}$）和交叉下部液体长度有关，P_w(t)=$\psi _{{\text{aC1}}}^{}$(t)–${L_{{\text{C1, d}}}}$(t)ρgsinα，$\psi _{{\text{aC1}}}^{}$(t) = –2σcos$\theta _{{\text{aC1}}}^{}$/w₁；$\psi _{{\text{aC2}}}^{}$(t)为通道C2中毛细力（N），$\psi _{{\text{aC2}}}^{}$(t)=–2σcos$\theta _{{\text{aC2}}}^{}$/${w_2}$；液体长度${L_{{\text{C2}}}}$(t)=${L_{{\text{C2}}}}$(t–Δt)+ $u_{{\text{aC2}}}^{}$Δt；${L_{{\text{C1, d}}}}$(t) =${L_{{\text{C1, d}}}}$(t–Δt)+$u_{{\text{aC1}}}^{}$Δt。

当液滴穿过交叉时，液体会在毛细力的作用下先向通道C2分流，剩余部分则继续下渗至通道C1下部，根据质量守恒关系，通道C1前进界面流速可表示为

分流过程中存在3个界面流速（$u_{{\text{aC1}}}^{}$，$u_{{\text{rC1}}}^{}$，$u_{{\text{aC2}}}^{}$）和3个对应接触角（$\theta _{{\text{rC1}}}^{}$，$\theta _{{\text{aC1}}}^{}$，$\theta _{{\text{aC2}}}^{}$），共6个未知变量，为求解方程（1）~（3）还需补充3个辅助方程。当液滴处于运动状态时接触角大小会随着界面流速变化而改变，为此采用了Voinov^[25]提出的接触线运动动力学模型来描述3个界面流速与3个动态接触角的关系：

式中：$\theta _{\text{a}}^*$和$\theta _{\text{r}}^*$为液滴由静止状态转变为运动状态的临界前进接触角和后退接触角；${C_{\text{a}}}$为毛细数，${C_{\text{a}}}$= μu/σ；ξ₁和ξ₂为描述接触角随流速演化的形状参数。通过迭代求解方程（1）~（4）可实现液滴分流过程的数学求解。

1.2   分流模型验证

非饱和裂隙中滴状水流产生、运移均是毛细力和重力联合作用的结果，故液滴长度与裂隙开度、倾角、壁面粗糙度等因素相关^[26]。大量可视化试验研究表明，在光滑的垂直裂隙（${w_1}$ > 0.1 mm）中，液滴长度大部分集中于5~30 mm^{[22, 27-28]}，因而在模型验证及后续模拟研究中均采用与试验研究相似的液滴尺寸范围。

为对模型预测可靠性进行验证，前期针对固定开度交叉裂隙开展了可视化的液滴分流试验，系统对比了不同液滴长度（L = 10~20 mm）、不同裂隙倾角（$\alpha$=50°，70°，90°）条件下模型预测与试验结果，充分验证了该模型可准确预测交叉裂隙液滴分流行为^[24]。

2.   结果与分析

本节首先量化了单个液滴分流的动态过程，提出分流行为评价指标（2.1节），而后系统研究通道开度（${w_1}$，${w_2}$）及其组合关系对分流行为的影响。模型中采用的基本参数包括：$\alpha$= 90°，$\sigma$= 0.072 N/m，ρ = 1000 kg/m³，g = 9.8 N/kg，μ = 1×10^–3 Pa·s，θ_a^* = 63°，θ_r^* = 33°，ξ₁ = 1.2×10⁴，ξ₂ = 500。以往研究表明，当支通道C₂开度${w_2}$大于主通道C₁开度${w_1}$时，液滴不会发生分流行为^[22-23]，故后续研究中仅考虑${w_1}$ > ${w_2}$的情形。

2.1   液滴动态分流特征

交叉裂隙液滴分流是一个高度复杂的动态过程，一方面分流过程中液滴长度、界面流速等随时间而不断变化；另一方面不同长度液滴具有不同流动特征会产生不同的分流过程。为揭示液滴的动态分流特征并提出分流行为量化评价指标，本节针对固定裂隙开度${w_1}$ = 0.8 mm，${w_2}$= 0.3 mm，模拟了不同长度（L = 10，11，…，24 mm）液滴动态分流过程，分析了交叉处液滴分流特征及演变规律。

液滴动态分流本质上是液滴在分岔交叉处流量分配的过程，与主通道C1对交叉处补给流量$\theta _{{\text{C1}}}^{}$（$\theta _{{\text{C1}}}^{}$=$u_{{\text{rC1}}}^{}{w_1}$）和支通道C2吸入流量${Q_{{\text{C2}}}}$（${Q_{{\text{C2}}}}$= $u_{\text{a}}^{{C_2}}{w_2}$）有关。当补给流量大于吸入流量时，液体会同时向主通道下部和支通道流动；而当其相等时液体仅向支通道流动。流量${Q_{{\text{C1}}}}$大小受重力控制，与液滴长度${L_{{\text{C1}}}}$正相关；${Q_{{\text{C2}}}}$大小受支通道水压力梯度控制，与液滴长度${Q_{{\text{C2}}}}$负相关；故液滴分流过程中${Q_{{\text{C1}}}}$和${Q_{{\text{C2}}}}$均初始最大，而后随分流时间而不断减小（图 2）。流量大小及随时间递减的趋势受初始液滴长度L影响。当液滴长度L较小时，流量${Q_{{\text{C1}}}}$较小且分流过程中会快速减小并与${Q_{{\text{C2}}}}$相收敛；收敛前主通道液滴受重力驱动下渗，而收敛后液滴受支通道毛细拖拽力下渗，故收敛时刻驱动力变化会导致流量${Q_{{\text{C1}}}}$和${Q_{{\text{C2}}}}$存在明显拐点（图 2（a））。随着液滴长度L增大，流量${Q_{{\text{C1}}}}$也会相应增大，越难以与${Q_{{\text{C2}}}}$相收敛，表明更多液体会进入主通道下部（图 2（b），（c））。

图  2  交叉处流量Q和瞬态分流比例η随时间t^*的演化

Figure  2.  Evolution of volumetric flow rate Q and transient splitting ratio η with time t^*

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为量化交叉处液滴体积分流特征，定义了液滴瞬态分流比例η（=${Q_{{\text{C2}}}}$/${Q_{{\text{C1}}}}$）并分析了其随时间的演化过程（图 2）。总体而言，瞬态分流比例η随时间呈单调变化，但其趋势与初始液滴长度L有关。根据瞬态分流比例η随时间单调递增/递减，将液滴分流行为划分为两种类型：支通道流动占优（L ≤14.7 mm）和主通道流动占优（L > 14.7 mm）。支通道流动占优时，毛细力控制液滴分流行为，瞬态分流比例η初始最小而后随时间逐渐增大直到达到1（图 2（a））；主通道流动占优时，重力控制液滴分流行为，瞬态分流比例η初始最大而后随时间逐渐减小（图 2（c））。模型计算发现存在一个关键的液滴长度L_crit在分流过程中始终保持稳定的分流比例，关键液滴长度L_crit可直接作为两种流动模式之间的临界条件用于快速判定液滴的分流模式（图 2（b））。

2.2   支通道C2开度对分流行为的影响

支通道吸入流量${Q_{{\text{C2}}}}$取决于两个因素：界面流速$u_{{\text{aC2}}}^{}$和通道开度${w_2}$。一方面${w_2}$减小会使支通道毛细力增大，导致流速$u_{{\text{aC2}}}^{}$增大，有利于向支通道分流。另一方面${w_2}$减小会导致通道过流断面减小，不利于支通道分流。换而言之，通道宽度w₂改变时交叉处存在着两种效果相反的作用机制共同控制液滴分流行为。为探究两种作用机制对液滴分流行为的影响，本节固定主通道开度${w_1}$= 0.8 mm，模拟了${w_2}$= 0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7 mm共计7种工况，对应于裂隙开度比${w_2}$/${w_1}$= 0.125，0.25，0.375，0.5，0.625，0.75，0.875。为对比不同长度液滴的分流行为，采用了无量纲的分流时间，定义为

式中，t′为液滴分流总时长。

不同开度${w_2}$条件下流量${Q_{{\text{C2}}}}$随时间t^*演化过程如图 3（a）~（c）所示。总体而言，流量${Q_{{\text{C2}}}}$在分流初始时刻最大，而后随时间t^*单调递减。${Q_{{\text{C2}}}}$初值大小随${w_2}$增大呈明显增大趋势，表明在分流初期流量${Q_{{\text{C2}}}}$受支通道过流能力的控制。流量${Q_{{\text{C2}}}}$随时间t^*递减的趋势同样也与开度${w_2}$大小相关。开度${w_2}$越小，流量${Q_{{\text{C2}}}}$随时间t^*递减越缓慢，表明毛细力的驱动作用较强，流量${Q_{{\text{C2}}}}$主要受过流能力的限制；反之，开度${w_2}$越大时，流量${Q_{{\text{C2}}}}$随时间t^*迅速递减，表明毛细力是限制通道C2吸入能力的关键。此外，液滴长度L较小时，流量${Q_{{\text{C2}}}}$递减过程中存在明${Q_{{\text{C2}}}}$显拐点，该拐点代表流量${Q_{{\text{C2}}}}$等于${Q_{{\text{C1}}}}$，表明该条件下支通道流动占优。

图  3  开度${w_2}$对液滴分流过程的影响：(a)~(c)流量${Q_{{\text{C2}}}}$和随时间t^*的演变；(d)~(f)瞬态分流比例η随时间t^*的演变

Figure  3.  Effects of width of channel C2 ${w_2}$ on process of dropletsplitting: (a)~(c) evolution of volumetric flow rate ${Q_{{\text{C2}}}}$ with time t^*; (d)~(f) evolution of transient splitting ratio η with time t^*

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瞬态分流比例η随时间t^*的演化过程如图 3（d）~（f），当开度${w_2}$由0.1 mm增大到0.3 mm时，液滴分流趋势整体向支通道流动占优转变；随着开度${w_2}$进一步增大，分流趋势反而向主通道流动占优转变。该结果表明开度${w_2}$较小时液滴分流行为受限于通道过流能力，而开度${w_2}$较大时液滴分流行为受限于通道毛细驱动力。值得注意，通道C2开度较大时，关键液滴长度L_crit附近瞬态分流比例η演化规律存在突变；如L =12.9 mm时通道C2流动占优，而L =13 mm时通道C1流动占优（图 3（f））。该突变取决于${Q_{{\text{C2}}}}$趋近于0时，${Q_{{\text{C2}}}}$与${Q_{{\text{C1}}}}$是否收敛，收敛则支通道流动占优；不收敛则主通道流动占优。此外，发现随着开度${w_2}$变化，分流比例η(L_crit)也会随之改变，故关键液滴长度L_crit仅作为分流模式判别指标，与液滴分流体积比例无关。

进一步呈现了关键液滴长度L_crit随通道开度${w_2}$变化规律，并分析了其对液滴累积分流体积比例η^*（η^*= ${w_2}$L_C2/w₁L）的影响。笔者发现关键液滴长度L_crit与支通道开度${w_2}$呈非单调的变化关系（图 4）。当${w_2}$= 0.32 mm时关键液滴长度L_crit最大；当${w_2}$ < 0.32 mm时L_crit随开度比增大而增大，表明支通道过流能力是限制液体向其分流的主要因素；当${w_2}$ > 0.32时L_crit随开度比增大而减小，表明毛细力限制了液体向支通道分流。液滴累积分流比例η^*随开度${w_2}$同样呈非单调的变化关系，且其峰值位置与L_crit峰值位置相似，表明关键液滴长度的变化能够反映累积分流比例η^*随开度${w_2}$变化趋势。

图  4  关键长度L_crit和累积分流比例η^*随开度${w_2}$的演化

Figure  4.  Evolution of the critical droplet length L_crit and cumulative splitting ratio η^* with width ${w_2}$

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2.3   主通道C1开度${w_1}$对分流行为的影响

主通道开度${w_1}$变化改变了交叉处补给流量${Q_{{\text{C1}}}}$（${Q_{{\text{C1}}}}$=$u_{{\text{rC1}}}^{}{w_1}$）进而影响了液滴分流行为。一方面，${w_1}$越小，主通道截面积越小，减弱了通道过流能力，有利于液体向支通道分流；另一方面，${w_1}$越小，液滴流速$u_{{\text{rC1}}}^{}$也会因毛细阻力增大而减小，同样有利于向支通道分流。因此可以预测主通道开度${w_1}$改变会导致液体分流比例出现单调变化特征。模拟过程中固定${w_2}$为0.3 mm；设置了${w_1}$为2.4，1.2，0.8，0.6，0.48，0.4 mm，对应于开度比${w_2}$/${w_1}$为0.125，0.25，0.375，0.5，0.625，0.75共6种不同的通道开度组合。

不同开度${w_1}$条件下流量${Q_{{\text{C1}}}}$随时间t^*的演化过程如图 5（a）所示。当${w_1}$由1.2 mm减小到0.6 mm时，补给流量${Q_{{\text{C1}}}}$ (t^* = 0)减小了1个量级，由0.2 cm³/s减小到~0.02 cm³/s。分流过程中流量${Q_{{\text{C1}}}}$逐渐减小，并在接近0.02 cm³/s出现明显拐点；该拐点代表通道C2吸入能力${Q_{{\text{C2}}}}$，表明此时通道C1中液滴流动由重力控制转变为由通道C2毛细拖拽力控制（图 5（b），（c））。瞬态分流比例η随时间t^*演化结果与预期一致，流量${Q_{{\text{C2}}}}$随开度${w_1}$迅速减小，导致液滴分流行为由主通道流动占优迅速向支通道流动占优转变（图 5（d），（f））。

图  5  开度${w_1}$对液滴分流过程的影响：(a)~(c)流量Q_C1随时间t^*演变；(d)~(f)瞬态分流比例η随时间t^*的演变

Figure  5.  Effects of width of channel C2 ${w_2}$ on process of droplet splitting: (a)~(c) evolution of volumetric flow rate Q_C1 with time t^*; (d)~(f) evolution of transient splitting ratio η with time t^*

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图 6进一步呈现了关键液滴长度L_crit随通道开度${w_1}$变化规律，并分析了其对液滴累积分流体积比例η^*的影响。关键液滴长度L_crit随通道C1开度${w_1}$减小呈单调递增关系。当${w_1}$= 1.2 mm时，关键液滴长度L_crit = 10 mm，表明对于本算例而言液滴（L > 10 mm）全部为通道C1流动占优模式；在该流动模式下补给流量${Q_{{\text{C1}}}}$明显大于支通道吸入流量Q_C2，故当${w_1}$ > 1.2 mm时液滴分流比例η^*较小且对开度${w_1}$变化不敏感。随着开度${w_1}$（< 1.2 mm）进一步减小，关键液滴长度迅速增大，与此同时分流比例η^*也相应地呈现出明显增长趋势。该结果同样也表明关键液滴长度L_crit的变化能有效反映累积分流比例η^*随开度${w_2}$变化趋势。

图  6  关键长度L_crit和累积分流比例η^*随开度${w_1}$的演化

Figure  6.  Evolution of critical droplet length L_crit and cumulative splitting ratio η^* with width w₁

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2.4   通道开度组合对关键液滴长度的影响

上述研究表明通道开度w₁和w₂变化会导致液滴呈现出完全不同的分流规律，当其相组合时分流行为则会更为复杂。为量化不同开度组合条件下液滴分流行为，采用了无量纲的参数通道开度比w₂/w₁为0.125，0.25，0.375，0.5，0.625，0.75，0.875)和开度w₁为0.4，0.6，0.8，1.0，1.2，1.4 mm共同描述交叉裂隙开度特征，采用关键液滴长度L_crit作为评价液滴分流行为的指标。

关键液滴长度L_crit的演化规律如图 7所示，随开度${w_1}$增大单调递减，而随开度比${w_2}$/${w_1}$增大先增大而后减小。曲线上存在一个开度比${w_2}$/${w_1}$，使关键液滴长度L_crit达到峰值，表明该开度比值是一个最优开度组合，使液体向通道C2分流比例最大。对于本算例而言，不论裂隙开度${w_1}$如何改变，最优开度比处于0.3~0.5，意味着最优开度比是在一个相对较窄范围变化，受开度${w_1}$和${w_2}$绝对值影响较小。

图  7  不同裂隙开度组合下关键液滴长度L_crit的演化

Figure  7.  Effects of combination of channel widths w₁ and w₂ on critical droplet length L_crit

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裂隙开度（${w_1}$，${w_2}$）的绝对大小对关键液滴长度L_crit大小有明显的影响。裂隙开度越小，毛细作力的影响越显著，故关键液滴长度L_crit对开度比${w_2}$/${w_1}$变化敏感且非单调性明显。相对于开度比，开度${w_1}$对长度L_crit影响更为明显。对于本算例而言，当裂隙开度${w_1}$由0.4 mm增长至1.4 mm时，关键液滴长度由最大28.5 mm快速降低至9 mm以下。关键液滴长度的定量化对于评估不同裂隙开度条件下液体主流动方向具有重要指导意义，如当裂隙C1开度${w_1}$大于1.4 mm且液滴长度大于9 mm时，通道C1完全流动占优，渗流分析中可认为液体主要沿通道C1垂直下渗。

3.   结语

针对非饱和交叉裂隙中滴状水流分流这一过程，基于液滴动态分流的数学模型开展了数值模拟和理论分析研究，系统阐述了交叉裂隙开度及其组合对分流行为的影响，量化地描述了液滴分流模式演化规律，揭示了毛细力和通道过流能力对分流行为的联合影响机制。

通过量化液滴瞬态分流比例，阐明了毛细力和重力对分流行为的联合作用机制，发现了交叉处存在一个关键液滴长度L_crit指标区分了两种液滴分流模式。当初始液滴长度L < L_crit时，支通道流动占优；当L > L_crit时，主通道流动占优。

通道开度变化会同时引起毛细力和通道过流能力变化。当两者作用效果一致时（w₁改变），关键液滴长度L_crit和分流比例η^*随通道开度单调变化；当两者作用效果相反时（w₂改变），则随开度呈非单调变化。分流比例η^*和关键液滴长度L_crit间存在明显正相关关系，可采用长度L_crit大小定性反映交叉处分流比例随通道开度变化趋势。

通道开度变化对关键液滴长度L_crit的影响强弱与主通道开度w₁大小相关。主通道开度w₁越小，L_crit对通道开度变化越敏感。此外主/支通道开度相组合时，交叉处始终存在一个较窄的最优开度比范围使长度L_crit最大。

地下岩土工程中非饱和裂隙渗流路径是渗流安全评价所关心的重要问题。裂隙交叉作为裂隙网络的关键节点，其几何特征对渗流路径及水流分配起控制作用。本文通过提出并建立关键液滴长度指标与裂隙开度的关系，实现了不同开度交叉裂隙中滴状水流主流动方向的快速判别。为预测低流量、低饱和度条件下非连续、非稳定的裂隙网络渗流特性提供了理论及数据支撑。