0.   引言

小应变硬化土模型（HSS模型）因能较为全面的描述土体剪切硬化、压缩硬化、加卸载、小应变等方面的力学特性，以及可以模拟土体复杂的应力路径，因此相比于莫尔-库仑模型（M-C模型）、修正剑桥模型（MCC模型）和土体硬化模型（HS模型）等常用土体本构模型，采用HSS模型得到的数值分析结果通常与实测数据更为接近^[1-4]。

虽然采用HSS模型的数值模拟精度较高，但参数取值也更为困难和麻烦。目前关于软土的HSS模型参数的取值研究，有文献可查的，除了奥地利^[5]、泰国曼谷^[6]、天津^[7]、深圳^[8]、杭州^[9]、阳江^[10]等地区的个别试验成果，其它主要集中在上海地区^[11-15]。而且，在这些仅有的研究中，受限于试验条件，大部分试验研究只涉及了其中的HS模型参数，而没有关注小应变参数的研究。林乔宇^[16]的参数敏感性分析结果表明，小应变参数G₀^ref和γ_0.7对数值计算结果的精度影响最大，因此有必要重视对小应变参数的试验研究。

本文通过室内试验方法，对宁波浅层软土（②-2层）进行HSS模型参数试验取值研究，以便积累地区经验，为相应的工程建设提供服务。

1.   HSS模型参数简介

HSS模型共由13个参数进行表征。包括4个与强度有关的参数：有效黏聚力c'（kPa），有效内摩擦角φ'（°），剪胀角ψ（°）和破坏比R_f（无量纲）。7个与刚度有关的参数：参考应力p^ref（kPa），参考应力下的切线模量E_oed^ref（MPa）、割线模量E₅₀^ref（MPa）、卸载再加载模量E_ur^ref（MPa）和相应的卸载再加载泊松比ν_ur（无量纲），正常固结静止侧压力系数K₀（无量纲）以及与模量应力水平相关的幂指数m（无量纲）。2个小应变参数：参考应力下的小应变初始剪切模量G₀^ref（MPa）和剪切模量衰减为0.7倍初始剪切模量时对应的剪应变γ_0.7（无量纲）。

这些参数中，参考应力p^ref一般人为规定取为100 kPa；有效黏聚力c'、有效内摩擦角φ'可以参考岩土工程勘察报告；对于软土而言，剪胀角ψ、静止侧压力系数K₀、卸载再加载泊松比ν_ur、幂指数m可以如表 1进行经验取值。因此需要通过试验确定的参数主要是破坏比、各类模量和小应变参数。相应的试验方法包括标准固结试验、三轴固结排水剪切试验、三轴固结排水加卸载剪切试验和共振柱试验。具体试验过程参详文献[12]。

表  1  部分HSS模型参数经验取值^[12]

Table  1.  Empirical values of partial HSS model parameters

参数	ψ	K0	νur	m
经验取值	0	1-sinφ'	0.2	0.5~1.0

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2.   HSS模型参数试验取值

本文试验研究的对象为宁波浅层软土（②-2层），其基本物理性质参数如表 2所示。

表  2  基本物理性质参数

Table  2.  Basic physical property parameters

取样地层	天然密度 ρ/(g·cm-3)	天然含水率 w/%	初始孔隙比 e0
②-2	1.68	62.7	1.67

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2.1   标准固结试验

图 1所示为标准固结试验得到的竖向荷载σ_v与竖向应变ε_v的关系曲线，拟合关系以二次多项式表示，并指定过原点。对图 1中拟合关系曲线进行求导，并代入σ_v =100 kPa对应的竖向应变值ε_v，即可获得参考应力（100 kPa）下的切线模量E_oed^ref，其值为0.98 MPa。同时通过标准固结试验可得压缩模量E_s1-2= 0.89 MPa，则土样的参考切线模量E_oed^ref与压缩模量E_s1-2比值为1.1。

图  1  标准固结试验竖向荷载与竖向应变关系图

Figure  1.  Relationship between load and strain of consolidation tests

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2.2   三轴固结排水剪切试验

图 2所示为三轴固结排水剪切试验得到的参考应力下的应力应变关系曲线，由图 2可以获得土样的q_f值和E₅₀^ref值。对于没有应变软化现象的曲线，破坏值q_f取轴向应变15%对应的偏应力值，即q_f = 126.6 kPa。E₅₀^ref为对应于50%的极限荷载（即0.5q_f）的割线模量，其值等于坐标原点与曲线上0.5q_f对应点的连线的斜率，为1.2 MPa。

图  2  三轴固结排水剪切试验应力应变关系曲线

Figure  2.  Strain-stress curves of triaxial CD tests

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由HSS本构模型的定义，偏应力q与轴向应变ε₁之间的关系，可用双曲线函数表征，

变换式（1），可得${\varepsilon _{\text{1}}}/q$与${\varepsilon _{\text{1}}}$的线性关系式：

式（1），（2）为理论上假定的关系，实际应力应变（q-ε₁）曲线不能严格吻合双曲线关系；因此变换得到的ε₁/q-ε₁关系曲线，也不能完全吻合线性关系，尤其在曲线初始阶段（ε₁接近于0时）和达到峰值之后。因此，本文在将图 2的应力应变关系曲线转换为图 3的ε₁/q-ε₁关系曲线时，取其中线性程度较好的数据点进行拟合。综合分析后，取ε₁=5%至破坏值q_f对应的轴向应变范围之间的数据进行线性拟合。由式（2）可知，图 3中拟合直线的斜率为1/q_a，即渐近值q_a为拟合直线的斜率的倒数，而破坏比R_f定义为破坏值q_f与渐近值q_a的比值；即q_a = 263.1 kPa，R_f =0.5。

图  3  ε₁/q-ε₁关系曲线

Figure  3.  ε₁/q-ε₁ curves of each soil layer

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2.3   三轴固结排水加卸载剪切试验

图 4所示为三轴固结排水加卸载剪切试验得到的参考应力下的应力应变关系曲线，可得E_ur^ref =15.7 MPa。

图  4  三轴固结排水加卸载剪切试验应力应变关系曲线

Figure  4.  Strain-stress curves of triaxial CD loading-unloading- reloading tests

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2.4   共振柱试验

图 5（a）所示为共振柱试验得到的参考应力下的动剪切模量与剪应变的关系曲线。图 5（b）所示为按Hardin公式拟合得到的1/G-$\gamma$关系曲线：

图  5  动剪切模量与剪应变的关系曲线

Figure  5.  Curves of dynamic shear modulus and strain

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式中：G为土的动剪切模量；γ为剪应变；a，b为常数，可基于试验数据经回归统计分析确定。

当$\gamma$=0时，对应的G即为初始剪切模量，一般用G₀表示，

式中：G₀为土的初始动剪切模量。

图 5（b）数据在参考应力下获得，按式（4）计算得到的G₀即为G₀^ref，为33.8 MPa。

图 6所示为共振柱试验得到的参考应力下的归一化剪切模量衰减曲线。即按DaVidenkoV模型对各类土的G/G₀-$\gamma$关系曲线进行拟合，DaVidenkoV模型的函数关系式：

图  6  归一化剪切模量衰减曲线

Figure  6.  Normalized shear modulus reduction curve

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式中：A，B，${\gamma _0}$为拟合参数。

由DaVidenkoV模型可以绘制出从10^-6~10^-1剪应变幅值范围内的G/G₀-$\gamma$关系曲线，其中归一化剪切模量（G/G₀）为0.7时对应的剪应变幅值即为γ_0.7，其值为2.78×10^-4。

3.   试验结果分析

综上，宁波浅层软土（②-2层）的主要HSS模型参数的试验值及相应模量比例关系汇总如表 3所示。

表  3  HSS模型参数及参考模量比例关系汇总

Table  3.  Summary of HSS model parameters and proportional relation of reference modulus

土层编号	Eoedref/MPa	E50ref/MPa	Eurref/MPa	Rf	G0ref/MPa	γ0.7/10-4	Eoedref/Es1-2	E50ref/ Eoedref	Eurref/ Eoedref	G0ref/Eurref
②-2	0.98	1.2	15.7	0.5	33.8	2.78	1.10	1.22	16.02	2.15

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文献[17]统计了现有文献中关于各地软土的HSS模型参数的试验成果，其中破坏比R_f的取值范围为0.53~0.72，本文试验值为0.5，略小于统计范围的低值；小应变参数G₀^ref和γ_0.7的取值分别为21.5~52.6 MPa和2.5×10^-4~3.9×10^-4，本文试验值分别为33.8 MPa和2.78×10^-4，处在统计范围内。文献[17]统计得到的参考模量比例关系中，E_oed^ref/E_s1-2的比值为0.8~1.1，线性拟合关系为E_oed^ref=0.87 E_s1-2，本文试验比值为1.1，与统计范围的高值一致；E₅₀^ref/E_oed^ref的比值为0.9~1.4，线性拟合关系为E₅₀^ref=1.19E_oed^ref，本文试验比值为1.22，处在统计范围内，与线性拟合的比例值1.19接近；E_ur^ref/E_oed^ref的比值为4.5~13.6，线性拟合关系为E_ur^ref=9.16E_oed^ref，本文试验比值为16.02，比统计范围的高值要大约18%。

本文试验结果与文献统计结果的偏差，一方面可能来源于土性的地区差异性，另一方面由于取样的随机性和离散性，同时也包含了试验操作和参数取值方法等带来的系统误差和人为误差。

4.   结论

本文通过室内试验方法，获取了宁波浅层软土的主要HSS模型参数，并与现有文献资料的统计结果进行对比，得到2点结论。

（1）宁波浅层软土的HSS模型参数基本处在现有文献的统计范围之内，但也有个别参数略低或高于统计值，说明宁波浅层软土与其它地区的软土有其共通性，也有其地区特殊性。

（2）鉴于岩土参数取值的地区差异性和经验性，以及试验结果的离散性与误差性，有必要进一步广泛开展软土HSS模型参数的取值研究，积累更多经验。