0.   引言

顶管技术作为近年来非开挖施工的一项重要工艺，在现代地下空间修建的发展中，起着重要的作用。在地下隧道的建设中，顶管隧道装配式顶进的特性，使其具备广泛的应用前景^[1]。顶管隧道结构纵向十分脆弱，易受到如地震、地层变形等影响，而等效刚度是纵向变形计算的基础参数，且目前鲜有矩形顶管F承插型接头等效刚度的相关研究，因此对于等效刚度的研究是紧迫的。

顶管隧道属于预制装配式混凝土结构，管节之间存在接缝，导致纵向变形的计算不能直接等效为弹性地基梁模型，而应该综合考虑接头的构造与力学行为。朱合华等^[2-3]建立了梁-接头不连续模型，用接头单元来模拟管节间的不连续现象，通过数值模拟与室内接头试验，建立接头刚度模型及其取值方法，研究了顶管的管节接缝张开量问题。丁文其等^[4]提出管节-接头模型，在顶力的角度下，对弯曲性能进行探究。以上几位学者将隧道视作Euler-Bernoulli梁模型，主要对圆形顶管隧道接头张开量进行研究，随着隧道断面的不断增大，Euler-Bernoulli梁模型的局限性也逐渐凸显。

对于大断面隧道，将其视为Timoshenko梁模型能更好的反应隧道变形情况。张冬梅等^[5]提出了接头力学模型，并把接头部位的相互作用离散成由剪切弹簧与法向弹簧组合而成的系列弹簧。闫治国等^[6-8]采用管片接头原型荷载试验的方法，研究了纵缝转角刚度和环缝剪切刚度，同时进行两种类型高刚性盾构管片接头正弯矩试验，对不同类型铸铁件力学性能和高刚性接头破坏模式进行了分析。Salemi等^[9]对混凝土界面进行了大量直剪试验，得到了接触面抗剪能力随接触面轴向力的线性关系。作为装配式地下建筑，接头的刚度是不可忽略的重要参数，但却不利于纵向变形的计算，因此应将接头部位进行折减，从而得到考虑接头变形的纵向等效刚度。

国内外计算等效抗弯刚度主要基于等效连续化模型进行分析^[10-12]，发现其影响因素主要有横向刚度、环缝作用、螺栓预应力^[13-14]。并以此考虑了刚度有效率^[15-16]。以上几位学者提出了等效刚度的影响因素与有效率，但未给出具体的等效刚度的求解方式。

为方便设计施工，等效刚度的解析解尤为重要。部分学者^[17-18]基于截面特点，得到等效抗弯刚度模型与解析解。耿萍等^[19]综合考虑轴力与弯矩对盾构隧道纵向变形的影响，提出5种弯曲模式并建立相应的非线性等效抗弯刚度计算模型。肖时辉等^[20]考虑到管片纵向连接螺栓受剪切作用时也会受弯曲作用，基于Timoshenko理论推导出大直径盾构管片纵向连接抗剪刚度计算公式。

综上，现有的研究大多基于盾构接头，且以圆形截面为主，对于矩形顶管隧道的研究尚不充分。在纵向等效刚度的理论研究方面，大部分学者仅对纵向等效抗弯刚度进行研究，未考虑管节之间的剪切作用。为此，本文针对矩形顶管隧道F型承插接头变形展开研究，探索接头的等效刚度解析解。

1.   矩形顶管隧道纵向等效刚度解析解

根据引言所述内容，若要对隧道的纵向变形进行预测，首先要得到隧道的等效刚度，即求得等效刚度的解析解。本节将根据Timoshenko模型，结合矩形顶管的相关特征，推导等效刚度解析解。F承插型接头矩形顶管如图 1所示，顶管与地层的纵向示意图如图 2所示。

图  1  F承插型接头顶管管节图

Figure  1.  Pipe joint of pipe jacking with F-type socket joint

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  2  顶管-地层纵向示意图

Figure  2.  Vertical diagram of pipe jacking-strata

下载: 全尺寸图片 幻灯片

1.1   矩形顶管隧道纵向等效抗弯刚度

为求得矩形顶管隧道纵向等效抗弯刚度模型，需要进行以下基本假定：

（1）平截面假定，该模型剪切变形远小于弯曲变形，平截面假定近似可用。

（2）管节以中轴线为平衡线，在管节的拉伸区，钢套环受到均匀的拉应力作用，而在压缩区，只有管节混凝土受到压应力作用，且假定为理想弹性状态。

（3）定义钢套环沿截面均匀分布时的等效弹性模量为${E_{\text{s}}}$，计算方法如下所示：

式中：${E_{\text{r}}}$为钢套环的弹性模量；${A_{\text{s}}}$为钢套环沿隧道环向的横截面面积；${A_{\text{c}}}$为矩形顶管隧道混凝土管节的横截面面积。

基于弹性体转动力学平衡条件和变形协调条件，将相邻管节中线的距离作为计算单位$l$，当管节受到弯矩$M$的作用时，发生弯曲变形，相邻管节中线延伸相交，形成转角$\theta$，管节弯曲变形如图 3所示。

图  3  管节单元受弯变形示意图

Figure  3.  Bending deformations of tubular element

下载: 全尺寸图片 幻灯片

在弹性条件下，矩形环状截面尺寸如图 4（a）所示，图中m和n分别是隧道管片壁厚截面短边中心线到x轴的距离和长边中心线到y轴的距离；${t_1}$和${t_2}$分别是管节长短边的厚度（此处统一取为$t$）；$h$为隧道矩形环状截面中性轴与矩形截面长轴的距离。取图 4（b）所示计算模型进行分析，其变形协调方程为

图  4  矩形顶管力学模型简图

Figure  4.  Mechanical model for rectangular pipe jacking

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由上述定义设${E_{\text{s}}}$为钢套环沿截面分布的等效弹性模量；${E_{\text{c}}}$为管节混凝土弹性模量；${A_{\text{c}}}$为矩形顶管隧道混凝土管节横截面面积；以相邻管节中心线内的长度$l$为一个单元进行计算；${l_{\text{s}}}$为钢套环沿隧道纵向分布的长度。${\varepsilon _{{\text{s(max)}}}}$与${\varepsilon _{{\text{c(max)}}}}$为管节截面最大拉应变与压应变。

由管节受力平衡条件得

同理，由弯矩平衡条件可得

结合式（2）~（4）可得

式（5）中：

由等效连续梁转角公式：

由于进行顶管隧道接头的特殊性，在受弯变形过程中，接头弯矩主要由钢套环承担。结合几何关系，可求得管节间张开角$\theta$表达式为

当隧道发生整体弯曲变形时，其张开量为隧道下底面的张开距离，由于变形较小，将管节之间弯曲张开量视为张开角所对应圆弧的弧长。根据几何关系，弯曲张开量的理论计算公式为

式中：r为隧道变形曲线中性轴到管节下底面的距离。

结合式（5），（6）可求得矩形顶管隧道纵向等效抗弯刚度为

定义纵向等效刚度有效率：

式中：${(EI)_{{\text{eq}}}}$所示的分母为钢套环与管节混凝土的整体弹性模量；${I_{\text{c}}}$则为截面惯性矩；$\eta$为纵向等效刚度有效率，它反映了纵向等效抗弯刚度与管节整体刚度关系。

1.2   矩形顶管隧道纵向等效剪切刚度

为求得矩形顶管隧道纵向等效剪切刚度模型，需要进行以下基本假定：

（1）矩形顶管隧道的横截面是连续的、均匀的。

（2）接头始终处于弹性状态，且假定为理想弹性状态。

（3）接头的剪切力主要由钢套环承受，忽略其它影响因素^[21]。

（4）引入钢套环或管节沿截面均匀分布时的Timoshenko梁截面剪切系数$\kappa$^[22]。

式中：$\nu$为材料的泊松比，m=b/a；a为管节横截面（环状截面）外边界到形心的平均距离，b为管节横截面（环状截面）内边界到形心的平均距离。

基于弹性体剪切力学平衡条件和变形协调条件，取${l_{\text{s}}}$为单位长度，当管节受到剪力Q时，发生剪切变形，邻近的管节发生了错台变形，形成一个错台量δ，管节受剪变形示意图如图 5所示。

图  5  管节单元受剪变形示意图

Figure  5.  Shear deformations of pipe element

下载: 全尺寸图片 幻灯片

单元的剪切位移，即相邻管节间的剪切错台量主要由接头处的竖向位移组成，分别是钢套环受剪产生的剪切位移${u_{\text{s}}}$和相邻管节间的受剪变形位移${u_{\text{c}}}$^[23]。单元受剪变形位移分析示意图如图 6所示，剪切位移u表示为

图  6  计算单元剪切变形位移示意图

Figure  6.  Shear deformation displacement of calculation unit

下载: 全尺寸图片 幻灯片

其中管节和接头的剪切位移计算公式如下：

式中：${u_{\text{s}}}$为钢套环受剪产生的剪切位移；${l_{\text{s}}}$为钢套环沿隧道纵向分布的长度；${\gamma _{\text{s}}}$为钢套环剪切角；${\kappa _{\text{s}}}$为钢套环的Timoshenko梁截面剪切系数（参考式（11））；${G_{\text{s}}}$为钢套环剪切模量；${A_{\text{s}}}$为钢套环横截面面积。

式中：${u_{\text{c}}}$为相邻管节间受剪产生的剪切位移；$l$为计算单元沿隧道纵向分布的长度；$\gamma$为相邻管节间的剪切角；${\kappa _{\text{c}}}$为混凝土管节的Timoshenko梁截面剪切系数；${G_{\text{c}}}$为混凝土管节的剪切模量；${A_{\text{c}}}$为混凝土管节的横截面面积。

由式（12）~（14）可得等效抗剪刚度${(\kappa GA)_{{\text{eq}}}}$：

上述理论推导是在理想假定条件下进行的，由于矩形顶管隧道管节之间的接头配置相当复杂，因此可根据工程实际按照系数进行折减。

在本篇中，由于混凝土部位的变形远小于接头部位的变形。因此，忽略管节间的剪切变形，以钢套环受剪切变形为主，进行剪切错台计算。剪切错台量理论计算公式如下所示：

2.   试验构件与方案

根据第一节所述内容，为探究等效刚度的影响因素，首先要验证理论结果的合理性，本节将分别开展弯曲与剪切模型试验，采集无地基作用下接头的张开与错台量。

2.1   试件内容

管节横断面尺寸为1.625 m×1.075 m，管节长为1.5 m，混凝土强度等级为C50，混凝土内部设置直径12 mm，HRB400级受力钢筋、构造钢筋，箍筋采用C8@150。管节间通过钢套环与止水圈组成的F型承插接头进行连接，具体尺寸如图 7所示。

图  7  试验管节示意图

Figure  7.  Section of test pipe

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.2   试验方案

为获得F型承插接头抗弯及抗剪刚度数据，在内蒙古科技大学土木工程安全与耐久重点实验室分别开展了弯曲和剪切模型试验。其中弯曲试验采用两个管节拼装进行，在管节下方左右两侧各设置一个简易支点，同时在侧壁设置限位装置防止侧翻，如图 8所示。

图  8  接头弯曲试验布置图

Figure  8.  Layout of bending tests on joints

下载: 全尺寸图片 幻灯片

剪切试验为三管节相接而成，在两侧管节下方放置混凝土支撑底座，并在相应位置的上方设置压梁，来限制两侧管节的竖向位移，从而达到仅对中间管节进行加载的效果，如图 9所示。由于本文主要研究对象为接头刚度，且管身变形极小，因此试验忽略管身变形。

图  9  接头剪切试验布置图

Figure  9.  Layout of shear tests on joints

下载: 全尺寸图片 幻灯片

试验中主要通过位移计来监测管节位移来确定管节的整体变化情况，测量内容为管身竖向位移与侧向水平位移。具体位置情况如图 10，11所示。

图  10  弯曲试验位移计布置图

Figure  10.  Layout of displacement meters for bending test

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  11  剪切试验位移计布置图

Figure  11.  Layout of displacement meters for shear tests

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.3   试验结果分析

根据上述试验方案对顶管模型展开了弯曲与剪切试验，获得了各测点的位移。通过对试验数据进行处理，取两端测点平均值，得到接头处$M{\text{ - }}\theta$曲线与$Q{\text{ - }}S$曲线，如图 12，13所示。

图  12  接头$M{\text{ - }}\theta$曲线图

Figure  12.  $M{\text{ - }}\theta$ curves of joints

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  13  接头$Q{\text{ - }}S$曲线图

Figure  13.  $Q{\text{ - }}S$curves of joints

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 12为接头$M{\text{ - }}\theta$曲线图。由图 12可知，接头抗弯刚度在初始阶段，约为无穷大，这是因为千斤顶施加的弯矩未达到防水橡胶圈与钢套环之间的静摩擦力极限。从O点开始，接头张开角开始增加，直到达到A点时开始下降，这是由于在弯矩作用下，接头底部钢套环逐渐达到屈服，导致防水橡胶圈与钢套环逐渐脱开。根据试验位移计数据，由弯矩计算公式可得OA段平均抗弯刚度为387.72 kN·m·rad^-1，AB段平均抗弯刚度为-318.93 kN·m·rad^-1。

图 13为$Q{\text{ - }}S$曲线图。由图 13可知，随着管节位移的不断增大，接头的剪切变形大致可分为3个阶段：第一阶段为线弹性变化，钢套环和鹰嘴橡胶在接触后逐步被挤压到一起，最终承插口各个部位压紧，这一阶段曲线斜率最大，抗剪刚度最大；第二阶段为屈服阶段，钢套环出现鼓包等现象，其变形发展速度较第一阶段要慢，抗剪刚度逐渐减小；第三阶段为破坏阶段，钢套环大面积屈服，达到承载能力极限，同时，钢套环发生剪切破坏。由斜率计算公式可得，弹性阶段（OA）50.5 kN/mm、屈服阶段（AB）33.9 kN/mm。

3.   弯曲与剪切理论模型验证

在第一节中，对纵向变形方向上接头刚度进行了理论推导，通过第二节对试验结果的分析，得到了张开量、错台量的数据，本小节对理论公式结合试验进行验证。

3.1   弯曲模型验证

通过改变张开角的值，将其代入式（8）中，可得到$\Delta {\text{ - }}M$曲线。与试验结果进行对比，得到图 14弯曲张开量对比图。

图  14  弯曲张开量对比图

Figure  14.  Comparison of opening amounts of bending

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 14为接头弯曲张开量对比图。由图 14可知，弯曲张开量的理论值与试验值大致相同，证明前文公式的合理性。由于推导过程中，假设截面拉伸区，钢套环受到均匀的拉应力作用。而试验中，钢套环因装配误差，导致橡胶圈的与钢套环接触不均匀，同时，作为边界条件的侧边限位装置未起到很好的限制作用，使管节受到了非纯弯曲或纯剪切的作用，从而出现对比偏差。

3.2   剪切模型验证

通过改变错台量的值，代入式（16）中，可以得到$\delta {\text{ - }}Q$曲线。与试验结果进行对比，得到图 15剪切错台量对比图。

图  15  剪切错台量对比图

Figure  15.  Comparison of shear dislocation quantities

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 15为剪切错台量对比图，由图 15可知，当钢套环处于弹性阶段时，剪切错台量的理论值与试验值大致相同，可证明前文公式的合理性。由于试验设置的橡胶圈具有可压缩性，但却不是影响抗剪刚度的主要因素，因此理论推导过程不考虑橡胶圈的性质。

4.   等效刚度影响因素分析

无论是矩形顶管隧道接头的刚度还是隧道整体等效刚度都与接头密切相关，尤其受钢套环的各项参数的影响。同时，管节的截面尺寸也有可能影响隧道整体的等效刚度，下文将结合《矩形顶管工程技术规程：T/CECS716—2020》^[24]中给出的经典矩形顶管细部尺寸，分别对钢套环的纵向分布长度、厚度以及管节的截面尺寸和厚度进行探究，分析其对等效刚度以及有效率的影响。

4.1   管节截面尺寸

为研究管节断面尺寸对接头弯曲和错台变形的影响。基于规程中对管节尺寸和壁厚的要求，保证钢套环尺寸不变，选取截面为7000 mm×5000 mm，7400 mm×4400 mm，7700 mm×4300 mm以及7700 mm×4500 mm（B×H）来进行分析研究，壁厚分别为500，600，700 mm。

为了研究管节厚度对等效抗弯刚度的影响，基于规程，确定截面尺寸为7700 mm×4500 mm，壁厚为500 mm与600 mm，由于工况数量少，不足以总结规律，因此增加一组壁厚700 mm进行分析。

图 16为不同截面尺寸矩形顶管的等效抗弯刚度及有效率变化图，由图 16可知，等效抗弯刚度与有效率的变化曲线近乎一致，说明截面尺寸对等效抗弯刚度以及有效率的影响接近一致，由于规程未按规律给出管节截面尺寸，此处无法按规律进行总结，可以看出的是，增大截面面积可以有效增加等效抗弯刚度，但需要注意的是，不可以增大管节宽度同时减小管节高度，这样反而会降低等效抗弯刚度，最有效的方式是减小管节宽度同时增大管节高度。

图  16  截面尺寸影响下的等效抗弯刚度及纵向等效刚度有效率变化图

Figure  16.  Change of effectiveness of equivalent bending stiffness and longitudinal equivalent stiffness under influences of section size

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 17为不同截面尺寸矩形顶管的等效抗剪刚度变化图，由图 17可知，相较于截面尺寸对等效抗弯刚度的影响，截面尺寸对等效抗剪刚度影响并不大，增大截面面积可以适当增加等效抗剪刚度，但要注意不能减小管节宽度同时增大管节高度，这样反而会降低等效抗剪刚度。

图  17  截面尺寸影响下的等效抗剪刚度变化图

Figure  17.  Change of equivalent shear stiffness under influences of section size

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 18为壁厚影响下的等效刚度变化图，由图 18可知，在壁厚的影响下，等效抗弯刚度与等效抗剪刚度变化规律恰好相反，但从数值上来看，等效抗弯刚度所受影响较大，等效抗剪刚度受到的影响较小。因此，对于管节壁厚的选取，可着重考虑弯曲变形的影响。

图  18  壁厚影响下的等效刚度变化图

Figure  18.  Change of equivalent stiffness under influences of wall thickness

下载: 全尺寸图片 幻灯片

4.2   钢套环纵向长度

根据规程，固定管节截面尺寸与钢套环厚度，选取钢套环纵向长度为320，330，340，350，360 mm来进行分析研究。

图 19为等效抗弯刚度以及有效率的影响，由图 19可知。钢套环纵向长度对等效抗弯刚度的影响呈正相关，钢套环纵向长度每增加10 mm，其等效抗弯刚度便增加约3.5%。由于接头钢套环在受弯曲作用时为主要受力构件，当钢套环纵向长度增加时，钢套环与插口混凝土沿纵向的接触长度也将增大，影响了钢套环脱离插口混凝土第一台阶的张开量，从而增强了等效抗弯刚度。

图  19  钢套环纵向长度影响下的等效抗弯刚度及纵向等效刚度有效率变化图

Figure  19.  Change of effectiveness of equivalent bending stiffness and longitudinal equivalent stiffness under influences of length of steel ring

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 20为钢套环纵向长度影响下的等效抗剪刚度变化图，由图 20可知，钢套环纵向长度对等效抗剪刚度的影响呈正相关，钢套环纵向长度每增加10 mm，其等效抗剪刚度便增加约1.4%。由于接头钢套环在受剪切作用时为主要受剪构件，当钢套环纵向长度增加时，钢套环与插口混凝土的接触面积也将增大，影响了接触面的受力，从而增强了等效抗剪刚度。

图  20  钢套环纵向长度影响下的等效抗剪刚度变化图

Figure  20.  Change of equivalent shear stiffness under influences of longitudinal length of steel ring

下载: 全尺寸图片 幻灯片

在矩形顶管隧道中，由于承口接头处钢套环与插口混凝土的连接类似于一种“环向包裹接触”的结构，而非使用螺栓固定。因此，在设计管节接头时应重点设计钢套环的各项参数。从钢套环对等效刚度的影响上进行分析，钢套环纵向长度每增加10 mm，等效刚度的增加并不显著，表明仅增加钢套环的纵向长度无法很好的提升等效刚度，需要综合考虑。

4.3   钢套环厚度

根据规范，固定管节截面尺寸与钢套环纵向长度，选取钢套环厚度为12~19 mm的范围进行分析研究，对于等效抗弯刚度以及有效率的影响，如图 21所示。

图  21  钢套环厚度影响下等效抗弯刚度及纵向等效刚度有效率变化图

Figure  21.  Change of effectiveness of equivalent bending stiffness and longitudinal equivalent stiffness under influences of steel ring thickness

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 21为钢套环厚度对等效抗弯刚度及有效率的影响图，由图 21可知，钢套环厚度对等效抗弯刚度的影响呈正相关，钢套环厚度每增加1 mm，其等效抗剪刚度便增加约8%~10%，影响效果十分显著。

图 22为钢套环厚度影响下等效抗弯刚度增长率变化图，由图 22可知，虽然钢套环厚度对等效抗弯刚度影响显著，但是其增长率呈递减状态，所以建议钢套环厚度取值在13~17 mm。

图  22  钢套环厚度影响下等效抗弯刚度增长率变化图

Figure  22.  Change of growth rate of equivalent bending stiffness under influences of steel ring thickness

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 23为钢套环厚度影响下对等效抗剪刚度及增长率变化图，由图 23可知，钢套环厚度对等效抗剪刚度的影响呈正相关，钢套环厚度每增加1 mm，其等效抗剪刚度便增加约3%~5%。但其增长率呈递减状态，因此不可以无限制的增加钢套环的厚度，结合规程以及工程经验，建议钢套环厚度取值在13~17 mm。

图  23  钢套环厚度影响下对等效抗剪刚度及增长率变化图

Figure  23.  Change of equivalent shear stiffness and growth rate under influences of steel ring thickness

下载: 全尺寸图片 幻灯片

5.   结论

本文通过室内接头试验对F型承插接头进行研究，结合接头破坏特征，建立了接头刚度模型，推导了接头等效刚度解析解，验证隧道张开与错台量的理论计算公式，主要得到以下4点结论。

（1）建立矩形顶管隧道的纵向等效抗弯刚度表达式，提出等效抗弯刚度有效率η；结合Timoshenko梁截面剪切系数与顶管隧道特点，形成了矩形顶管隧道的纵向等效抗剪刚度表达式。

（2）在弯曲作用下，通过接头抗弯刚度约为387.72 kN·m·rad^-1。在剪切作用下，接头剪切刚度主要分为3个阶段，即弹性阶段、屈服阶段、破坏阶段，并得出接头的抗剪刚度约为弹性阶段刚度50.55 kN/mm，屈服阶段刚度33.93 kN/mm。

（3）结合矩形顶管隧道结构特性，推导隧道弯曲张开量与剪切错台量的理论计算公式，并与试验所测数据进行对比，验证了所推导公式的合理性。

（4）对管节尺寸、钢套环纵向长度以及厚度等影响因素进行分析。发现减小管节宽度同时增大管节高度可以有效的增加等效抗弯刚度，而截面尺寸以及厚度对等效抗剪刚度影响较小，在设计管节截面尺寸时，可以主要考虑弯曲变形的影响。增大钢套环的厚度可以很好的提升等效刚度，但也不可一直增大，建议钢套环厚度取值为13~17 mm。