2D nonlinear seismic response characteristics of a strait site with deep inhomogeneous soil deposits
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摘要: 海峡地层常为深厚沉积盆地构造，海床微地形类型多样，海峡场地地震反应受微地形的影响显著。以跨琼州海峡通道剖面场地为研究对象，综合考虑海峡盆地构造、海床微地形和海床沉积土异质性，建立海床剖面二维精细化有限元模型；依据场址区域地震环境与历史地震活动性，选择Kik-net台网井下台阵基岩地震记录作为海床基岩输入地震动，考虑土的非线性滞回特性，模拟海峡场地的非线性地震反应。微地形效应和海床沉积土异质性对跨海峡场地地震反应的耦合影响显著，表现为盆地类共振现象、海床凹陷边缘和海床表面凸起处的反应加剧；与海峡场地基本频率接近的基岩地震动频率成分易于传播与放大；与海床水平向地震反应相比，海床地表微地形对其竖向地震反应的影响更为显著；水平向和竖向地震波传播的叠加效应会在海床表面产生面波，导致海床地表水平向地震反应放大。Abstract: The strait seabed is usually a deep sediment basin with various types of micro-topographies, and its seismic responses are strongly affected by the micro-topographies. A nonlinear seismic response analysis of 2D refined finite element simulated model for a strait section crossing Qiongzhou Strait is established. In the response analyses of the cross-strait site, the basin structure, surface micro-topography and spatial inhomogeneous soil with variable S- and P- wave velocities are considered. Considering the regional tectonic setting and historical seismicity around the strait site, three bedrock recordings of moderate-far field earthquake scenarios are justified for determining the bedrock shakings. The combined influences of seabed cross-section topography and spatial inhomogeneity of soils on the seismic site responses are complicated and significant, including the basin resonance-like effects and the aggravating effect of the local concave seabed surface edges and seabed convex areas on soil amplification. The simulated results imply that it is easier to propagate upward earthquake waves through the soil deposits for the bedrock motion components close to the fundamental frequency of strait seabed. Compared with the horizontal seabed site responses, the influences of the surface micro-topography on the vertical seismic responses are more significant. The generated surface waves at seabed surface due to the wave constructive interference of the horizontal and vertical components upward earthquake waves aggravate the horizontal responses of seabed site surface.
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0. 引言
盾构法隧道是目前软土地层中最主要的地铁隧道结构之一。地铁隧道在逐步网络状的同时其结构会不可避免受到城市建设施工影响，如邻近大面积突发堆载、新建线路近距离穿越、紧邻深基坑开挖等。盾构隧道作为复合细长结构在外部施工作用下将诱发其纵向不均匀位移，当引起的变形超过其自身结构的承载极限时，将会导致地铁隧道发生环间变形、管片渗水和破裂甚至列车脱轨等严重安全事故。因此研究地铁盾构隧道在外荷载作用下的纵向变形对地铁隧道的保护具有重要的意义。
盾构隧道是由一系列预制钢筋混凝土管片通过环间螺栓连接而成，其最明显的特征是存在大量薄弱的环间接头。这决定了在遭受外部荷载时，其纵向变形特性和承载能力与连续细长结构物（如桩基和连续管道）有较大的差异。在外部施工作用时，拼装为整体的管环段由于刚度较大，不易发生剪切和弯曲变形，往往以刚体移动为主，而环间接头由于抵抗变形能力较弱，则容易发生转动和错台[1]。这使得盾构隧道在承受外荷载时其纵向位移分布具有明显的不连续性，环间同时存在张开和错台变形，如图 1所示。
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图 1 盾构隧道在外荷载下的纵向变形Figure 1. Longitudinal deformations of a shield tunnel subjected to.external loads目前分析和预测新建隧道穿越[2-5]，临近基坑开挖[6-7]和地表堆载等外部施工作用下盾构隧道的纵向变形，主要采用的是等效连续地基梁模型，如图 2（a）所示。等效连续地基梁模型是将盾构隧道视为地基上具有等效刚度的连续长梁。目前，最为常用的等效连续梁模型为Euler-bernoulli(EB)梁和Timoshenko(TM)梁模型。等效连续梁模型因其概念简单、可靠有效而在临近施工引起盾构隧道的纵向变形评估中备受青睐。Liang等[2-3]先后将既有盾构隧道简化为EB梁和TM梁模型，推导得到了新建隧道上穿时既有盾构隧道纵向解答；Zhang等[4]、Yu等[5]分别将既有盾构隧道视为EB和TM梁来预测新建隧道下穿时既有隧道的纵向行为；陈仁朋等[6]、Cheng等[7]将TM梁模型用于分析临近基坑开挖引起的既有盾构隧道纵向变形。
等效连续梁模型在分析盾构隧道纵向变形特点时，往往会忽略隧道环段和环间接头的刚度差异，且难以真实反映盾构隧道的环间张开与错台。为此部分学者提出了协同变形模型[8]，如图 2（b）所示。在该模型中，盾构隧道的管环段被视为刚体，环间接头通过剪切和拉伸弹簧来模拟，Liu等[9]进一步在接头增加了压缩弹簧以考虑轴向作用。协同变形模型能够有效地预测临近施工引起的隧道纵向变形。Liu等[9-10]应用协同变形模型分别提出新建隧道上穿和下穿作用下既有盾构隧道的纵向变形预测理论方法；魏纲等[11]、Huang等[12]分别基于协同变形模型推导得到了临近基坑开挖卸载作用下既有盾构隧道的纵向变形解答，随后张治国等[13]进一步采用该模型用于研究新建盾构下穿下考虑衬砌渗透性的既有隧道纵向变形。
相较于以上两种盾构隧道模型，Koizumi等[14]提出的纵向梁-弹簧模型能更真实地反映盾构隧道的环间变形，该模型将盾构隧道视为由一系列短梁和具有不同功能的接头弹簧连接而成，如图 2（c）所示。但由于目前尚未有简便、有效的解决方案使得该模型难以普遍采用。Huang等[15]首先基于状态空间法给出了Winkler地基上纵向梁-弹簧模型的简便解，但其方法并不能同时描述隧道环段和接头的变形，得到的隧道位移曲线是连续的。
针对前人研究的不足，采用纵向梁-弹簧模型构建盾构隧道纵向变形模型，引入Timoshenko梁表征隧道环段的变形，结合剪切弹簧和转动弹簧模拟环间接头受力特点。通过构建位于弹性地基上纵向梁-弹簧模型的有限差分方程，以解决环间接头-管环非连续变形求解问题，从而推导既有隧道在外荷载下的纵向变形公式。在此基础上，分别建立新建隧道上穿和下穿施工引起的外荷载作用下既有盾构隧道的纵向变形计算方法，并与新建隧道上、下穿越施工实测案例及既有理论方法对比以验证所提方法的合理性。
1. 简化的纵向梁-弹簧盾构隧道模型
为同时考虑盾构隧道环间张开和错台变形以及环间接头刚度的弱化，引入纵向梁-弹簧模型，如图 3所示。本文对该模型基本假设如下：①盾构隧道由管环段通过环间接头连接而成；②隧道环段变形采用Timoshenko梁模拟；③环间接头采用线性转动和剪切弹簧模拟。
基于单变量的Timoshenko梁理论[16]，可得管环段的位移、内力和几何方程：
w=wb+ws,w=wb−EIκGAd2wbdy2,ws=−EIκGAd2wbdy2； (1a) θ=dwbdy,γ=−EIκGAd3wbdy3； (1b) M=−EId2wbdy2,Q=−EId3wbdy3,EId4wbdy4=q。 (1c) 式中：θ为环段截面转角；w为环段竖向位移；ws和wb分别为环段的剪切和弯曲位移；M和Q分别为环段弯矩和剪力；EI为环段抗弯刚度；GA为环段抗剪刚度；κ为Timoshenko梁剪切系数，圆形隧道取0.53[17]；q为作用于环段上的外部荷载。
对于隧道接头处弯矩和剪力有以下表达式[1]：
M−j=M+j=Mj=kθΔθ=kθ(θ−−θ+)， (2a) Q−j=Q+j=Qj=ksδ=ks(w−b−w+b)。 (2b) 式中：M−j，M+j和Mj分别为隧道接头左侧隧道截面、右侧隧道截面以及接头处的弯矩；Q−j，Q+j和Qj分别为隧道接头左侧隧道截面、右侧隧道截面以及接头处的剪力；kθ，ks分别为隧道环间接头转动刚度和剪切刚度；Δθ，δ分别为接头段两侧隧道截面的相对转角和剪切错台；θ−，θ+分别为接头段左侧和右侧隧道截面转角；w−b，w+b分别为接头段左侧和右侧隧道截面的弯曲位移。
2. 外荷载下盾构隧道纵向变形
2.1 盾构隧道纵向变形推导
图 4为在外荷载下盾构隧道纵向响应计算模型。将盾构隧道视为Winkler地基上的简化纵向梁-弹簧模型。根据管环段受力平衡及弯矩平衡，可得到隧道环段在纵向外荷载作用下弯曲位移wb(y)的微分控制方程为
d4wbdy4−kDtκGAd2wbdy2+kDtEIwb=DtEIq(y)。 (3) ![]()
图 4 在外荷载下盾构隧道纵向响应计算模型Figure 4. Model for longitudinal responses of shield tunnel to external loads式中：Dt为既有隧道直径；k为地基反力系数。
由图 4可见，盾构隧道包含管环段和大量的环间接头，其受力变形具有不连续的特点，因此，可通过对其离散化处理以得到其数值解答。图 5为盾构隧道纵向离散化示意图。假定盾构隧道含有n2个环段，每个环段离散为n1个长度为l的节点。为考虑边界条件影响，在隧道两端各增加2个虚拟节点。因此，盾构隧道共可分为n1n2+4个节点。
根据有限差分原理，式（3）在第i个节点上可改写为以下差分表达式：
wb(i+2)−4wb(i+1)+6wb(i)−4wb(i−1)+wb(i−2)l4−kDtκGA.wb(i+1)−2wb(i)+wb(i−1)l2+kDtEIwbi=DtEIqi。 (4) 由于挠度wb(y)仅在隧道环段上连续可导，而在环间接头处既不连续也不可导，因此需在接头处附近增设虚拟节点，如图 6所示，虚拟节点表示若环间接头不存在时隧道变形后的位置。
根据式（1）和（2），第j个接头处的弯矩Mj表示为
Mj=kθ(θ−j−θ+j)=kθ2l(w∗b(j+1)+w∗b(j−1)−wb(j−1)−wb(j+1))。 (5) 而第j个接头段左右侧环段截面的弯矩M−j和M+j可分别表示为
M−j=−EId2wbdy2|i=j−=−EIwb(j−1)−2w−b(j)+w∗b(j+1)l2， (6a) M+j=−EId2wbdy2|i=j+=−EIw∗b(j−1)−2w+b(j)+wb(j+1)l2。 (6b) 结合式（2a），（5），（6a），（6b）可求得虚拟节点wb(j-1)*和wb(j+1)*的表达式分别为
w∗b(j−1)=kθlkθl+EIwb(j−1)−EIkθl+EIwb(j+1)+kθl+2EIkθl+EIw+b(j)−kθlkθl+EIw−b(j), (7a) w∗b(j+1)=kθlkθl+EIwb(j+1)−EIkθl+EIwb(j−1)+kθl+2EIkθl+EIw−b(j)−kθlkθl+EIw+b(j)。 (7b) 同理，第j个接头段左右侧环段截面的剪力Q−j和Qj+可分别表示为
Q−j=−EIw∗b(j+2)−2w∗b(j+1)+2wb(j−1)−wb(j−2)2l3， (8a) Q+j=−EIwb(j+2)−2wb(j+1)+2w∗b(j−1)−w∗b(j−2)2l3。 (8b) 结合式（2b），（7a），（7b），（8a），（8b）可求得虚拟位移节点wb(j-2)*和wb(j+2)*的表达式分别为
w∗b(j−2)=wb(j+2)−4EI+2kθlEI+kθlwb(j+1)+2kθlEI+kθlwb(j−1)+(4EI+2kθlEI+kθl−2ksl3EI)w+b(j)+(2ksl3EI−2kθlEI+kθl)w−b(j), (9a) w∗b(j+2)=wb(j−2)−4EI+2kθlEI+kθlwb(j−1)+2kθlEI+kθlwb(j+1)+(4EI+2kθlEI+kθl−2ksl3EI)w−b(j)+(2ksl3EI−2kθlEI+kθl)w+b(j)。 (9b) 结合式（7a），（7b），（9a），（9b）可以分别得到式（3）在第j个接头左右相邻侧环段节点j-和j+处的有限差分表达式：
kDtEIw−b(j)+1l4[2wb(j−2)−4EI+6kθlEI+kθlwb(j−1)−2kθlwb(j+1)EI+kθl+(4kθl+2EIkθl+EI−2ksl3EI)w−b(j)+(2ksl3EI+2kθlEI+kθl)w+b(j)]−kDtκGA(kθlkθl+EIwb(j+1)+kθlkθl+EIwb(j−1)−kθlkθl+EIw−bj−kθlkθl+EIw+bj)=DtEIq−j, (10a) kDtEIw+b(j)+1l4[2wb(j+2)−4EI+6kθlEI+kθlwb(j+1)−2kθlwb(j−1)EI+kθl+(4kθl+2EIkθl+EI−2ksl3EI)w+b(j)+(2ksl3EI+2kθlEI+kθl)w−b(j)]−kDtκGA(kθlkθl+EIwb(j+1)+kθlkθl+EIwb(j−1)−kθlkθl+EIw−bj−kθlkθl+EIw+bj)=DtEIq+j。 (10b) 同理，结合式（7a），（7b），（9a），（9b）可分别得到式（3）在第j个接头左右相邻节点j-1和j+1处的有限差分表达式：
[kθlkθl+EIwb(j+1)+(6−EIkθl+EI)wb(j−1)−kθlkθl+EIw+b(j)+(kθl+2EIkθl+EI−4)w−b(j)−4wb(j−2)+wb(j−3)]1l4−kDtκGA(w−b(j)−2wb(j−1)+wb(j−2))+kDtEIwb(j−1)=DtEIqj−1, (11a) [kθlkθl+EIwb(j−1)+(6−EIkθl+EI)wb(j+1)−kθlkθl+EIw−b(j)+(kθl+2EIkθl+EI−4)w+b(j)−4wb(j+2)+wb(j+3)]1l4−kDtκGA(w+b(j)−2wb(j+1)+wb(j+2))+kDtEIwb(j+1)=DtEIqj+1。 (11b) 整个盾构隧道两端可视为自由边界（即两端Q和M为0），则得到隧道两端4个虚拟位移节点的表达式：
wb(−2)=4wb(1)−4wb(2)+wb(3),wb(−1)=2wb1−wb2,wb(n+1)=2wb(n)−wb(n−1),wb(n+2)=4wb(n)−4wb(n−1)+wb(n−2)。} (12) 式中，n=n1n2。
结合式（12），整理式（4），（10），（11）后可写为以盾构隧道纵向弯曲位移wb为未知数的矩阵-向量形式：
Kwb=Q, (13) 式中：K为盾构隧道-接头刚度矩阵，Q为综合外部荷载向量，wb为隧道纵向弯曲位移向量。
根据式（13）可获得整个盾构隧道的纵向弯曲位移wb，之后由式（1a）可求得隧道纵向位移w，由式（1c）可求得隧道弯矩M和剪力Q。
2.2 隧道环间接头刚度和基床系数的确定
环间接头转动刚度kθ根据Shiba等[18]提出的纵向等效连续模型确定：
kθ=ηEcIclscos3ψcosψ+(ψ+π2)sinψ。 (14a) 式中：η为转动刚度系数，当不考虑环间接头的加固时，取值为1；ψ为纵向等效连续模型中的中性轴位置，其计算公式为
ψ+cotψ=π (0.5+nbkblsEcAc)。 (14b) 式中：nb为接头处螺栓个数；kb为接头螺栓的平均线刚度，kb=EbAb/lb，Eb为螺栓的弹性模量，Ab为螺栓的横截面积，lb为螺栓长度；ls为环宽；Ec为管片的弹性模量；Ac为隧道管片横截面积；Ic隧道截面惯性矩。
根据式（14a）可进一步得到盾构隧道环间张开量Δ的计算公式为
Δ=tanΔθ(r+rsinψ)≈Mjkθ(r+rsinψ), (15) 式中，r为纵向拼接螺栓中心到盾构隧道轴线的距离。
Huang等[15]基于Wu等[17]提出的等效剪切刚度得到了隧道环间接头剪切刚度ks的表达式为
ks=nbκbGbAbκGA(κGA−nbκbGbAb)lb。 (16) 式中：κb为螺栓的剪切系数，取0.9[16]；Gb为螺栓的剪切模量，Gb=Eb/2(1+νb)，νb为螺栓泊松比。
根据式（2b），可以得到隧道相邻环间错台量为
δ=w−j−w+j。 (17) 为考虑盾构隧道的任意埋深，地基反力系数k采用Liang[19]提出的修正值：
k=1.3EsωDt(1−v2s)12√EsD4tEI(HtDt⩾0.5)。 (18) 式中：ω为隧道埋深影响系数，ω=1+1/(1.7Ht/Dt)，Ht为隧道埋深；Es为地基弹性模量，Es=（2.5~3.5）Es0.1-0.2[19]，Es0.1-0.2为土体压缩模量；νs为土体泊松比。
3. 工程案例验证
3.1 新建隧道上穿和下穿引起的外荷载
应用上述外荷载下盾构隧道纵向变形理论于新建隧道上穿和下穿既有盾构隧道工况中，以验证所提方法的正确性与适用性。
新建隧道上穿是由于其开挖的土体重量远大于安装的管片重量，从而产生卸荷效应，进而引发下方既有隧道发生隆起变形[2-3]。可通过Mindlin应力解求得其作用于下卧盾构隧道轴线处的纵向附加荷载[2-3]。而新建隧道下穿是由于其施工造成的地层损失会引起上部地层沉降，从而引发上方既有隧道发生沉降变形。前人主要通过Peck高斯分布公式和Loganathan位移解来预测作用于既有盾构隧道上的纵向分布位移[5, 10, 13]。相关计算模型分别如图 7所示。
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图 7 新建隧道上穿和下穿既有盾构隧道计算模型Figure 7. Model for existing shield tunnel due to over-crossing tunneling and under-crossing tunneling基于Mindlin应力解[2]可得新建隧道上穿引起既有隧道轴线处的附加荷载为q1(y)为
q1(y)=R/2∫−R/2L2∫−L1pdεdσ8π(1−vs)[−(1−2vs)(Ht−H1)R31+(1−2vs)(Ht−H1)R32−3(Ht−H1)3R51−30H1Ht(Ht+H1)3R72−3(3−4vs)Ht(Ht+H1)2−3Ht(Ht+H1)(5Ht−H1)R52]。 (19) 式中，p为新建隧道开挖土体重量与管片及泥浆重量之差，
p=γsπR2s−γtπ(R2o−R2i)−γnπ(R2s−R2o)2Rs。 (20) 式中：γs，γt，γn分别为开挖土体、管片和泥浆的重度；Rs，Ri，Ro分别为新建隧道开挖半径、管环内外半径；L1，L2分别为新建隧道前后端与轴线交点的距离；H1为新建隧道底部距离地面的垂直距离；Ht为既有隧道埋深；R1，R2的表达式为
R1=√(ysinα1−σ)2+(ycosα1−ε)2+(Ht−H1)2， (21a) R2=√(ysinα1−σ)2+(ycosα1−ε)2+(Ht+H1)2。 (21b) 式中，α1为新旧隧道轴线夹角。
基于修正Loganathan位移解[10]可得新建隧道下穿开挖引起既有盾构隧道轴线处的附加荷载q2(y)为
q2(y)=kV1R2x{−2Ht[(ycosα2)2−(Ht+H2)2][(ycosα2)2+(Ht+H2)2]2+H2−Ht(ycosα2)2+(Ht−H2)2+(3−4vs)(Ht+H2)(ycosα2)2+(Ht+H2)2}.exp{−1.38(ycosα2)2(H2+Rx)2−0.69H2tH22}。 (22) 式中：H2为新建隧道轴线距离地表的距离；Vl为地层损失率；Rx为新建隧道半径；α2为新旧隧道轴线夹角。
将式（19），（22）分别代入式（13）即可求得新建隧道上穿和下穿引起的既有盾构隧道纵向变形和内力。
3.2 上穿案例：杭州地铁7号线上穿既有地铁1号
杭州新建地铁7号线右线隧道采用直径6.34 m的土压平衡盾构机施工，以净距1.9 m和斜角80°上穿既有地铁1号线双线隧道[20]，如图 8所示。新建隧道与既有盾构道外径均为6.2 m，内径均为5.5 m，环宽均为1.2 m，其余结构及材料参数见表 1，结合表 1和式（14a），（14b），（16）分别计算得到既有隧道接头转动刚度kθ和剪切刚度ks为6.5×107 kN·m/rad和2.2×106 kN/m。新建隧道顶部距离地表 8.2 m，既有隧道轴线距离地表 19.4 m，既有隧道左右线水平间距15.6 m。新建隧道主要穿越3-3粉砂以及3-5粉砂夹砂质粉土层，既有地铁1号线隧道主要位于3-7砂质粉土和7-2粉质黏土层，主要土层物理参数见表 2，根据表 2计算得到土层加权压缩模量Es0.1~0.2为12.04 MPa，加权泊松比νs为0.3。既有隧道所在粉质黏土层弹性模量Es取2.5倍压缩模量值，即30 MPa。隧道掘进长度L1和L2对于左线和右线隧道分别为30，99，46，53 m。
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图 8 上穿工程剖面图Figure 8. Sectional view of existing shield tunnel due to over-crossing tunneling表 1 既有盾构隧道结构参数Table 1. Structural parameters of existing shield tunnel管片弹性模量Ec/MPa 管片泊松比νc 环间螺栓数量nb 螺栓直径Db/mm 螺栓长度lb/mm 螺栓弹性模量Eb/MPa 3.45×104 0.2 17 30 400 2.06×105 表 2 主要地层物理参数Table 2. Physical parameters of main soil layers土层 重度γs/(kN·m-3) 含水率/% 压缩模量Es0.1-0.2/MPa 泊松比νs 3-3粉砂 19.6 24.8 14.0 0.28 3-5粉砂夹粉质粉土 19.7 23.6 15.0 0.27 3-7砂质粉土 19.2 29.5 7.0 0.34 7-2粉质黏土 19.7 26.5 12.0 0.32 图 9给出了1号线双线隧道实测值与计算值对比。其中文献[2]采用EB连续梁模拟盾构隧道，结合Winkler地基建立了新建隧道上穿既有盾构隧道纵向变形解答；而文献[3]进一步考虑上穿施工中既有盾构隧道的剪切变形，建立了基于TM连续梁的盾构隧道纵向变形的计算方法。从图中可以看出本文方法和TM连续梁方法计算得到的隧道隆起值基本一致，而EB连续梁方法由于无法考虑隧道的剪切变形而略微低估了隧道隆起值。总体而言，3种方法预测得到的隧道位移与实测值较为一致。
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图 9 1号线双线隧道纵向位移实测值与计算值对比Figure 9. Comparison between measured and computed displacements of tunnel of Metro Line 1进一步观察图 9中可以发现，本文方法计算得到的隧道位移曲线既不连续也不光滑，而是由一系列具有一定倾斜角度的短直线连接而成，且在接头处有明显台阶。隧道环段的位移曲线几乎为直线，这表明环段发生刚体运动，其自身弯曲和剪切变形微乎其微。环间接头部位的台阶代表环段之间的错台，前后环段存在一定的夹角，表明前后环段关于接头同时发生了转动变形。在实际工程中，隧道环段刚度较大，在上穿卸荷作用下，环段主要发生刚体位移，其自身的弯曲变形和剪切变形极小，可以忽略不计。而环间接头抵抗外部变形能力较差，上穿卸载往往会诱发其转动和错台[21]。因此，在外部荷载作用下，实际的盾构隧道纵向变形以环间接头的错台和转动为主，而环段以发生刚体位移为主。
所提计算模型可以同时捕捉隧道环段和环间接头的变形，预测结果更加符合实际情况。由于现场隧道竖向位移监测点无法密集布置，因此导致该变形现象无法监测到。相反，TM和EB连续梁方法计算得到的隧道位移曲线为光滑且连续，这是因为等效连续梁模型将盾构隧道视为一均质且连续的长梁，赋予隧道等效刚度，并不能考虑隧道环段和接头处的刚度差异。
图 10给出了基于上述3种方法计算得到的1号线右线隧道环间变形对比。从图 10（a）中可以看出，3种方法得到的隧道环间张开量的分布趋势均一致，本文方法得到的隧道环间张开量小于EB梁方法，而略高于TM连续梁方法，这是由于EB梁高估了隧道接头处的弯矩。而在图 10（b）中，本文方法得到的隧道环间错台量略小于TM连续梁方法，而EB梁方法由于剪切刚度无穷大的假设，导致错台量为0。
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图 10 1号线右线隧道环间变形计算值对比Figure 10. Comparison of calculated deformations of rings of right line tunnel of Metro Line 13.3 下穿案例：上海地铁11号线下穿既有地铁4号
上海新建地铁11号线上行线依次下穿既有地铁4号线内圈和外圈隧道[4]，如图 11所示。11号线隧道与既有盾构隧道轴线水平夹角为75°，采用直径6.34 m的土压平衡盾构机施工，新旧隧道尺寸与案例3.2中一致，既有盾构隧道接头转动刚度和剪切刚度分别为6.5×107 kN·m/rad和2.2×106 kN/m。新建隧道与既有地铁4号线轴线埋深分别为25.1，17.1 m，新旧隧道竖向净距仅1.82 m。11号线隧道主要穿越⑤1黏土层和⑤3粉质黏土层，既有地铁4号线主要位于④淤泥质黏土层和⑤1a砂质粉土层，主要土层物理参数见表 3，根据文献[22]，土体加权泊松比νs取0.26；土体弹性模量Es取20.5 MPa；土体损失率Vl取0.25%。本例中仅研究11号线隧道穿越对4号线内圈隧道的影响。
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图 11 下穿工程剖面图Figure 11. Sectional view of existing shield tunnel due to under-crossing tunneling表 3 主要土层物理参数Table 3. Physical parameters of main soil layers土层 厚度/m 重度γs/(kN·m-3) 压缩模量Es0.1-0.2/MPa 泊松比νs ④淤泥质黏土 8.4 16.7 2.09 0.33 ⑤1a砂质粉土 4.5 18.2 8.21 0.24 ⑤1黏土 4.3 17.8 3.36 0.26 ⑤3粉质黏土 5.8 18.1 4.66 0.29 图 12给出了4号线内圈隧道竖向位移实测值与计算值对比。其中Zhang等[4]采用EB连续梁模拟盾构隧道，采用Sagaseta位移公式[23]计算下穿隧道引起的附加荷载，建立了既有盾构隧道纵向变形简便解；梁荣柱等[22]将既有盾构隧道简化为TM连续梁以考虑盾构隧道的剪切变形，并结合Loganathan位移解推导了新建隧道下穿既有盾构隧道纵向变形公式；Liu等[10]将盾构隧道视为Pasternak地基上的协同变形模型，采用Loganathan位移解计算下穿隧道引起的附加荷载，建立了既有盾构隧道纵向变形解答。从图 12中可以看出本文方法和Liu等[10]的方法计算得到的隧道沉降曲线基本一致，且均较接近实测结果，这是因为所提方法和Liu等[10]的方法均可考虑盾构隧道环间接头刚度的弱化。梁荣柱等[22]的方法中由于地基反力系数的取值未考虑隧道埋深的影响，高估了既有隧道沉降量。相较于以上3种方法，Zhang等[4]的方法则预测出了更宽的隧道沉降槽以及更大的沉降值，这是因为Zhang等[4]的方法中地层沉降是采用Sagaseta位移公式计算的，而Sagaseta位移公式在计算地层沉降槽曲线时往往宽于实测结果[22]。
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图 12 4号线内圈隧道竖向位移实测值与计算值对比Figure 12. Comparison between measured and calculated vertical displacements of inner tunnel of Metro Line 4进一步观察图 12发现，所提计算得到的下穿作用下隧道位移曲线既不连续也不光滑，由一系列倾斜的短直线连接而成，且在接头处有明显错台发生。而其他3种计算方法得到的隧道沉降曲线均为连续的，这是因为本文方法不仅能够考虑盾构隧道环段与接头刚度的差异，而且可以同时得到盾构隧道环段位移和环间接头的变形。环间接头处较环段更易发生错台和转动变形，而环段则发生刚体运动。以上结果表明，本文方法能够给出盾构隧道在外荷载下更符合实际纵向变形的位移曲线。
图 13给出了基于上述4种方法得到的4号线内圈隧道环间错台量对比。从图 13中可以看出，本文方法计算的隧道环间错台量小于Liu等[10]和梁荣柱等[22]的方法，且错台分布曲线较Liu等[10]的方法更加光滑。这是因为梁荣柱等[22]的方法预测出更大的隧道沉降，导致得到的错台量也大于本文方法。而在Liu等[10]的方法中假设隧道环间的错台量与其相邻环段的相对位移差为线性关系[8]，这导致尽管其方法和本文方法得到的位移曲线基本一致，但其方法却得到了更大的错台分布。Zhang等[4]的方法中使用的EB梁由于无法考虑隧道剪切变形，因此计算得到的错台量为0。
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图 13 4号线内圈隧道环间错台量计算值对比Figure 13. Comparison of calculated dislocations of rings of inner tunnel of Metro Line 4图 14进一步给出了梁荣柱等[22]的方法、Liu等[10]的方法和本文方法计算得到的4号线内圈隧道剪力对比。从图 14中可以看出，3种方法得到的隧道剪力的分布趋势一致，但本文方法得到的剪力值小于Liu等[10]的方法和梁荣柱等[22]的方法，这是因为Liu等[10]的方法中剪力计算的假设条件与错台是一致的，而梁荣柱等[22]的方法高估了隧道沉降，进而也导致高估了隧道剪力。
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图 14 4号线内圈隧道剪力计算值对比Figure 14. Comparison of calculated shearing forces of inner tunnel of Metro Line 44. 结论
（1）本文首先引入纵向梁-弹簧盾构隧道模型，其中隧道环段采用Timoshenko短梁模拟，环间接头采用转动和剪切弹簧模拟；然后采用有限差分法推导出了弹性地基上盾构隧道在外荷载作用下的纵向位移、内力和环间变形计算公式，并分别建立了新建隧道上穿和下穿引起既有盾构隧道纵向变形解答。
（2）上穿案例中，本文方法和Timoshenko连续梁方法预测得到的既有盾构隧道纵向位移与实测结果较为接近，而Euler-Bernoulli连续梁方法则低估了隧道隆起值；本文方法得到的隧道环间张开量略高于Timoshenko连续梁方法结果，而低于Euler-Bernoulli梁结果；Euler-Bernoulli连续梁得到的隧道环间错台量为0，而Timoshenko连续梁方法得到的隧道环间错台量略高于所提方法。
（3）下穿案例中，本文方法和协同变形模型得到的位移曲线在趋势和数值都较为一致，均接近实测结果；但本文方法得到的隧道剪力和环间错台量都小于协同变形模型，且分布曲线更加光滑；而采用Sagaseta位移公式计算地层沉降的Euler-Bernoulli连续梁方法则得到了更宽更大的隧道沉降槽。
（4）不同于既有盾构隧道模型计算得到的连续位移曲线，本文方法得到的隧道位移曲线呈现出既不光滑也不连续的特征，由一系列倾斜的短直线组成，在接头处有明显的跳跃。本文方法可以同时反映盾构隧道环段和环间接头在外荷载下的纵向变形，其中环段变形表现为刚体运动，而环间接头变形表现为转动和错台。
值得注意的是，本文提出的计算模型仅适用于外荷载作用下盾构隧道纵向变形较小的工况，当盾构隧道承受较大外荷载时，会导致接头处产生较大的弯矩和剪力，此时环间螺栓接头刚度会出现变化甚至破坏，环间变形与内力间将呈现非线性变化关系，此时本文方法不再适用。
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图 1 区域地震构造与历史地震、工程场址位置及跨海通道剖面示意图
Figure 1. Regional tectonic setting and historical seismicity around sea-crossing project, site location and profile of seabed cross-section
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图 2 跨海峡通道海床场地S和P波波速结构、钻孔及观测点位置示意
Figure 2. Profiles of S- and P- wave velocities of seabed site of strait-crossing project, boreholes and typical locations at seabed surface
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图 3 海床土的动剪切模量比与阻尼比曲线
Figure 3. Curves of shear modulus reduction and damping ratio of undisturbed seabed soils
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图 4 水下深槽左侧细部网格
Figure 4. Detailed grids at the left side of the deep underwater groove
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图 5 基岩地震动的加速度时程、傅氏谱及频域累积能量比曲线(PGA = 0.1g)
Figure 5. Bedrock seismograms, Fourier spectra and cumulative energy distributions for frequency domain (level of 0.1g)
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图 6 跨海峡海床面微地形特征及水平向、双向(水平向+竖向)地震动作用下海床面各观测点的加速度反应时程(PBAH = 0.2g)
Figure 6. Characteristics of micro-topography of seabed cross-section surface (a) and acceleration responses at typical locations of seabed surface for only horizontal shaking (b) and bidirectional (horizontal + vertical) shakings (c) (PBAH = 0.2g)
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图 9 跨海峡海床剖面的峰值加速度放大系数AFPA
Figure 9. Variation of AFPA at seabed section crossing the strait
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图 12 海床表面峰值加速度比例系数
Figure 12. Proportional coefficient of peak acceleration of seabed surface
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图 13 基岩输入双向地震动时海床地表加速度的动力系数β
Figure 13. Values of acceleration dynamic coefficient β at seabed surface under bidirectional bedrock motions
表 1 基岩地震记录的原始信息
Table 1 Original information of bedrock earthquake recordings
台站 地震或震源位置 地震时间 地震动分量 震级M 震中距/km 基岩峰值加速度/(m·s-2) 有效持时D5-95 /s 第一卓越频率fe1 /Hz 第二卓越频率fe2 /Hz 经度E/(°) 纬度N/(°) HYGH13 133.85 35.38 2016 NS 6.6 77 0.089 15.78 0.19 0.84 UD 0.045 27.09 0.88 1.20 FKSH18 141.70 37.73 2021 EW 7.3 106 0.109 9.60 1.11 1.79 UD 0.121 11.93 1.85 1.93 FKOH01 130.81 32.74 2016 NS 6.5 128 0.046 24.29 0.20 1.66 UD 0.036 29.01 0.21 1.81 
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表 2 1D模型计算的钻剖面孔ZK-6、ZK-7、ZK-11、ZK-13处地表的AFPGA和地表PGA2D/1D比较
Table 2 AFPGA obtained by 1D model and surface PGA aggregation factor PGA2D/1D at boreholes ZK-6, ZK-7, ZK-11 and ZK-13
钻孔编号 地震记录HYGH13 地震记录FKSH18 地震记录FKOH01 PBAH = 0.075g PBAH = 0.2g PBAH = 0.075g PBAH = 0.2g PBAH = 0.075g PBAH = 0.2g AFPGA(1D) 地表PGA2D/1D AFPGA(1D) 地表PGA2D/1D AFPGA(1D) 地表PGA2D/1D AFPGA(1D) 地表PGA2D/1D AFPGA(1D) 地表PGA2D/1D AFPGA(1D) 地表PGA2D/1D 海床地表水平向PGA ZK6 2.5 1.28 1.4 1.29 2.3 1.30 1.3 1.71 2.2 1.27 1.4 1.36 ZK7 2.6 1.04 1.6 1.35 2.5 1.00 1.6 1.32 2.1 1.10 1.5 1.13 ZK11 2.5 0.92 1.9 1.02 2.7 1.19 1.4 1.68 2.4 1.21 1.7 1.47 ZK13 2.4 0.92 1.6 1.12 2.2 1.27 1.3 1.40 2.3 1.17 1.5 1.20 海床地表竖向PGA ZK6 3.2 1.41 2.6 1.25 3.1 2.16 2.3 2.18 3.0 1.57 1.9 1.55 ZK7 3.3 1.61 2.5 2.08 3.4 1.41 2.6 1.60 2.7 2.00 1.8 1.75 ZK11 2.9 1.00 1.8 1.06 2.7 1.48 1.9 1.51 2.6 1.77 2.0 1.34 ZK13 3.0 0.97 1.7 1.00 2.9 1.14 1.9 1.32 2.8 1.32 1.9 1.49
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期刊类型引用(2)
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2. 徐小凤，陈少林，孙杰. 近海单桩式风机地震响应分区耦合分析方法（英文）. Transactions of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics. 2024(S1): 103-110 . 百度学术
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