Fragility analysis of underground large-scale frame structures considering seismic effects of vertical earthquakes
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摘要: 基于增量动力分析（IDA）方法，探究了单一水平向地震及水平向与竖向地震联合作用下大型地下框架结构地震响应的IDA曲线，揭示了竖向地震对结构不同危险位置响应的影响规律；针对结构的层间水平变形与弯曲变形，提出分别选择层间位移角与层间梁柱转角作为性能评价指标，阐明了竖向地震对结构抗震性能的影响机理，得到了单向和双向地震分别作用下结构的地震易损性曲线。研究表明：竖向地震作用对结构基于层间位移角的地震易损性影响较小，但会增大外侧结构的局部弯曲变形并降低结构基于弯曲变形的抗震性能，基于层间梁柱转角的地震易损性明显提高，建议综合层间位移角与层间梁柱转角对双向地震动作用下大型地下结构的地震易损性进行全面地评估。Abstract: The increase dynamic analysis (IDA) curves of seismic responses of the underground large-scale frame structure (ULSFS) are investigated during the single horizontal earthquakes and horizontal-vertical earthquakes, respectively. The influence mechanism of vertical earthquakes on the seismic responses of different vulnerable positions is revealed. Aiming at the interlayer drift deformation and flexural deformation in the ULSFS, the interlayer drift ratio (IDR) and interlayer rotation angle (IRA) are employed as the seismic performance evaluation indexes. Therefore, the influence mechanism of vertical earthquakes on structural seismic performance is further revealed. The seismic fragility curves of the ULSFS are achieved during horizontal earthquakes and horizontal-vertical earthquakes, respectively. The results show that the vertical earthquakes have small seismic influences on the seismic fragility of the ULSFS based on the IDR. However, the vertical earthquakes enlarge the local flexural deformation of the ULSFS and decrease the seismic performance of the ULSFS based on the IRA. The seismic fragility considerably increases after considering the vertical seismic effects. The IDR aiming at the horizontal drift deformation and the IRA aiming at the interlayer flexural deformation are advised to be employed to assess the seismic fragility of large underground structures during both horizontal and vertical earthquakes comprehensively.
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0. 引言
地下结构是现代城市的基础结构设施，承担了交通、运输、购物等重要的基本功能。自1995年神户地震中大开地铁车站遭受了重大的地震破坏后，地下结构地震响应的相关研究逐渐成为岩土工程的热点问题之一[1]。学者们对地铁车站等小截面地下框架结构的地震响应特征进行了深入的研究，指出周围土体位移的强制作用是影响地下结构地震响应的最主要因素之一[2]，并进一步揭示了小截面地下框架结构的抗震性能与破坏机理。杜修力等[3]指出土体位移作用下地下框架结构中柱的水平抗侧能力不足是导致地下结构塌毁破坏的主要原因。庄海洋等[4]指出：框架柱与外墙连接的顶板、顶梁位置容易出现局部严重破坏，是为地下框架结构的危险位置之一。
小截面地下框架结构承受竖向地震动作用时，上覆土层的竖向荷载作用也将会影响结构的地震响应[5]。Li等[6]指出，竖向地震会增大地下框架结构的地震响应，并且结构的损伤越大，竖向地震的影响越明显。相关学者探究了竖向地震对结构抗震性能的影响作用。许成顺等[7]指出竖向地震引起的上覆土竖向惯性力对浅埋地下框架结构的抗震性能起到了关键作用，较高的轴压比将降低竖向承力柱在水平地震作用下的剪切变形能力。Du等[8]指出竖向地震作用将会降低地下框架结构基于层间水平变形的抗震性能，并给出了考虑竖向地震作用下不同性能状态的阈值。根据以上文献可知，竖向地震对地下框架结构的地震响应以及抗震性能均有着一定程度的影响作用。
目前小截面地下框架结构的抗震性能评价多以地上结构为参考对象并采用层间位移角作为结构的抗震性能评价指标[4, 9]。例如，Zhong等[10]、Zhuang等[11]以层间位移角作为抗震性能指标，对地下结构的抗震性能进行评价，并得到了结构各个性能状态的易损性曲线。He等[12]通过层间位移角，得到地下框架结构在水平向与竖向地震联合作用下的地震易损性曲线。但刘晶波等[13]指出，由于结构周围土层的影响，地上与地下结构的抗震性能存在较大差异，地上结构常用的抗震性能指标并不完全适用于地下结构。
随着地下空间利用率的提高，结构尺度更大且形式新颖的大型地下框架结构（ULSFS）在现代城市中迅速发展，例如地下换乘枢纽、地下停车场等基础设施[14]。不同于地下车站，较大的双水平向尺度与较浅的埋深是ULSFS典型的结构特征，这导致了其独特的地震响应特征与破坏模式。关于ULSFS的前期研究已经指出：在侧向土体强制位移作用下，结构底层中柱的层间变形较大；而且剧烈的土-结构相互作用容易引起结构外侧顶板损伤，进一步，与其相连的顶层框架柱向着地面产生了明显的反向弯曲变形[14]，这与庄海洋等[4]关于框架式地铁结构的地震响应特征相似。对于双水平向尺度更大且埋深较浅的ULSFS，竖向地震对结构的影响作用明显是不可忽略的，探究其深层次的作用机理并得到考虑竖向地震影响下的结构易损性曲线具有重要的科学意义与工程应用价值。
因此，本文分别考虑单一水平以及水平向与竖向联合地震动作用，采用增量动力分析（IDA）方法模拟了ULSFS的地震响应过程，探究了危险位置地震响应的IDA曲线；针对不同的易损位置，分别提出了合理的抗震性能指标并确定了各个性能状态的阈值；进一步揭示了竖向地震对结构地震响应与抗震性能的影响机理，得到了考虑竖向地震作用的结构易损性曲线。本文研究可以为城市大型地下结构的抗震设计与性能评估提供重要的理论依据和技术支持。
1. 有限元模型与地震动选取
1.1 有限元模型
本文基于中国某大型地下商场，构建了ULSFS的分析模型。结构尺寸为180 m×180 m×18 m，双水平向均为180 m 20跨，跨长9 m；竖向高18 m三层，层高6 m；结构埋深为2 m。外墙厚0.8 m，外板厚0.5 m，内板厚0.3 m；框架柱尺寸为0.8 m×0.8 m，外梁尺寸为0.6 m×0.8 m，内梁尺寸为0.4 m×0.6 m；其中，外墙、楼板、框架柱以及框架梁的配筋分别为0.6%，0.6%，3%，2.5%。结构主要采用C40混凝土与HRB400配筋，结构的构造与框架柱配筋图如图 1所示。框架柱自外向内分别为柱1—柱10，柱1为最外侧柱，柱10为最中间柱。
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图 1 ULSFS的构造及框架柱配筋示意图Figure 1. Structural diagram of ULSFS and reinforcements of framework columns本文采用大型通用软件ABAQUS建立了土-结构系统的二维有限元模型，如图 2所示。结构采用可广泛适用于剪切变形与接触分析的二维梁单元B21[15]，网格大小约0.6 m。结构采用混凝土塑性损伤本构[4, 11]；钢筋采用理想弹塑性本构，混凝土与钢筋的具体参数如表 1所示。土体尺寸为540 m×74 m，结构两侧的土体尺寸均为180 m，足够大的土体尺寸避免了结构振动以及人工截断边界的不利影响。土体采用了CPE4R双线性平面应变单元[15]，并采用了Drucker- Prager弹塑性本构模拟土体的非线性剪切性能[15]，该本构已经广泛应用于大型土-结构系统动力分析有限元模型中[10]。实际工程所在场地土层的具体参数如表 2所示，根据工程前期地质探勘报告与《建筑抗震设计规范》[16]可知，为Ⅱ类场地条件。土与结构之间采用非线性接触，法向方向为“硬”接触，切向为“罚”接触，摩擦系数为0.4[10, 15]。本文的土体介质阻尼采用了瑞利阻尼形式，首先基于一维场地地震反应分析的等效线性化方法获得不同土层的等效阻尼比，进一步根据瑞利阻尼公式得到不同土层的质量阵系数$ \alpha $与刚度阵系数$ \beta $[17]。
表 1 ULSFS本构与材料属性Table 1. Material constitutive models of ULSFS材料 混凝土 钢筋 密度$ {\rho _{{\text{c1}}}} $/(kg·m-3) 弹性模量$ {E_{{\text{s1}}}} $/GPa 泊松比 扩张角$ {\psi _{\text{c}}} $/(°) 偏心率η $ {K_{{\text{t1}}}} $ 拉伸屈服强度$ {\sigma _{{\text{t1}}}} $/MPa 压缩屈服强度$ {\sigma _{{\text{c1}}}} $/MPa 密度$ {\rho _{\text{r}}} $/(kg·m-3) 弹性模量$ {E_{{\text{sr}}}} $/GPa 屈服强度$ {\sigma _{\text{r}}} $/MPa 数值 2400 32.5 0.20 15 0.1 0.666 3 30 7800 200 400 表 2 实际场地各土层参数Table 2. Parameters of soil layers in actual site土层 土壤类型 埋深/m 密度/(kg·m-3) 泊松比 内摩擦角/(°) 黏聚力/kPa 剪切波速/(m·s-1) 1 回填土 0~4 1870 0.33 20 20 181 2 粉质黏土 4~12 1900 0.28 18 40 193 3 粉质黏土 12~20 1900 0.28 20 25 405 4 粉质黏土 20~34 1850 0.30 20 10 247 5 粉质黏土 34~42 1850 0.28 20 20 271 6 黏土 42~54 1900 0.25 30 30 303 7 砾石 54~74 1950 0.20 20 1 427 在有限元动力分析中，为了保证地震波在土体中的准确传播，土体的网格尺寸$ x $与地震动时间间隔$ \Delta t $必须满足[18]
$$ x \leqslant {\text{(}}1/10 \sim 1/8{\text{)}}{\lambda _{\text{w}}} , $$ (1) $$ \Delta t \leqslant x/{v_{\text{s}}} 。 $$ (2) 式中：$ {\lambda _{\text{w}}} $为地震波最小波长；$ {v_{\text{s}}} $为地震波波速。根据ULSFS的模态分析，结构的基本频率为0.87 Hz[19]。在本研究中，地震动的截断频率$ {f_{{\text{cr}}}} $可取为10 Hz，该值远大于结构基本频率。土层的最小剪切波速为181 m/s，则$ x $需要满足$ x \leqslant 1/8{\lambda _{\text{w}}} = 1/8{V_{\text{s}}}/{f_{{\text{cr}}}} = 2.26{\text{ m}} $。因此，土体的网格取为2 m。则$ \Delta t $需要满足$ \Delta t \leqslant x/{v_{\text{s}}} = $$ 0.011{\text{ s}} $。因此，本文的地震动时间间隔取为0.01 s。为了保证地震动输入的准确性，本文基于黏弹性人工边界的基本理论[14]，编制了成套的计算程序，实现了黏弹性人工边界与地震动波动输入方法。并且，此程序可根据地震波类型修改相关参数，实现地震动的水平向、竖向以及任意角度输入[14, 19]。在进行动力分析之前，首先对土-结构系统开展了自重作用下的静力分析，实现了整体系统的地应力平衡。
1.2 地震动选取
本文主要根据实际工程所在场地条件，地震动强度和震中距大小为主要参考指标，在太平洋地震工程研究中心强震记录数据库[20]选择了20条实测地震动记录，具体信息如表 3所示。所选地震动的$ {v_{{\text{s20}}}} $主要在150~$ 400{\text{ m/s}} $，并符合本工程结构所在的Ⅱ类场地条件；所选地震动的震级在$ {M_{\text{w}}}6.0 \sim {M_{\text{w}}}8.0 $；所选地震动距离断层最近距离在0~250 km，包括了近断层地震动与远场地震动；本文所选择的地震动具有典型的代表性与较好的普适性。以水平向地震波为例，地震动加速度反应谱与平均值如图 3所示。同时，本文通过一维自由场地计算程序（EERA）将水平向实测地震波反演至基岩处，得到基岩处的地震动时程，将其作为计算中的输入地震动[10, 17]。本文首先以水平向地震动为标准，将各个反演后的地震记录进行归一化处理，得到0.02g，0.05g，0.1g，0.2g，0.3g，0.4g，0.5g，0.6g，0.8g，1.0g共10组地震动时程；然后保持竖向与水平向地震动加速度峰值的实际比例关系以及实测地震动与模拟地震动的比例关系，调整竖向地震动的加速度峰值，得到对应的10组竖向地震动时程。
表 3 所选地震动信息Table 3. Data of selected ground motions编号 地震动名称 震级Mw $ {v_{{\text{s20}}}} $/
(m·s-1)Rrup/km 编号 地震动名称 震级Mw $ {v_{{\text{s20}}}} $/(m·s-1) Rrup/km GM-1 "Imperial Valley-02" 6.95 213.44 6.09 GM-11 "San Fernando" 6.61 385.69 112.52 GM-2 "Northwest Calif-02" 6.6 219.31 91.22 GM-12 "Managua_Nicaragua-01" 6.24 288.77 4.06 GM-3 "Kern County" 7.36 316.46 117.75 GM-13 "Loma Prieta" 6.93 304.08 67.52 GM-4 "Kern County" 7.36 385.43 38.89 GM-14 "Loma Prieta" 6.93 331.21 50.99 GM-5 "Northern Calif-03" 6.5 219.31 27.02 GM-15 "Loma Prieta" 6.93 333.85 22.68 GM-6 "Parkfield" 6.19 289.56 9.58 GM-16 "Northridge-01" 6.69 269.29 68.62 GM-7 "Borrego Mtn" 6.63 316.46 222.42 GM-17 "Northridge-01" 6.69 301.23 41.17 GM-8 "San Fernando" 6.61 280.56 55.20 GM-18 "Kobe_Japan" 6.90 312.14 0.96 GM-9 "San Fernando" 6.61 316.46 22.77 GM-19 "Chi-Chi_Taiwan-05" 6.20 330.55 54.76 GM-10 "San Fernando" 6.61 303.79 193.91 GM-20 "Chi-Chi_Taiwan-06" 6.30 297.86 61.03 1.3 模型验证
本文通过一维自由场地计算程序建立各层场地，将在场地顶面记录的水平向实测地震动反向计算至基岩处，得到基岩处的地震动作为模型的输入地震动；通过黏弹性人工边界程序施加至土-结构整体有限元模型，在距离结构较远的土体顶面得到模拟地震动时程，将其与所记录的实测地震动相对比。以GM-10为例，实测地震动、基岩处的输入地震动以及通过数值分析计算的地震动如图 4所示。两加速度反应谱虽然在短周期内表现出一定的差异，但是它们的基本周期与响应特征基本一致。综合两地震动对比结果可知，实测地震动与模拟地震动对应较好，证实了地震反演及输入的可靠性。
2. 基于IDA方法的大型地下框架结构地震响应分析
已有的ULSFS研究成果表明：在土-结构相互作用的影响下，结构内侧底层中柱（柱10）的层间错动变形较大；而结构外侧部分柱（柱1或柱19）出现了较大的层间弯曲变形[14, 19]。因此，本文全面分析了底层柱10的层间位移角（IDR）与顶层柱1（或柱19）的层间梁柱转角（IRA）的响应曲线。其中，IDR定义为框架柱层间水平变形与层高的比值，而IRA定义为框架柱柱顶与柱底的转角差值。
2.1 仅考虑水平向地震作用
以结构响应为横坐标，PGA为纵坐标，绘制Ⅱ类场地中结构地震响应的IDA曲线，如图 5所示。图 5中每条曲线代表每条水平地震作用下的结果。在小震作用下，基于IDR与IRA的响应曲线均随着地震动烈度的增加而近似线性增加，结构主要发生线性地震响应。但在大震作用下，响应曲线呈现出了非线性规律，甚至出现了明显的波折，表明结构在较大的地震作用下出现了一定程度的损伤。对比可知，IRA的响应相比IDR更大且曲线波折更加明显，该结果证明在剧烈的土-结构相互作用下，顶层外柱的弯曲变形较为显著。
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图 5 水平向地震作用下Ⅱ类场地中ULSFS的IDA曲线Figure 5. IDA curves of ULSFS during horizontal earthquakes in site Ⅱ2.2 考虑水平向与竖向地震共同作用
进一步考虑竖向地震的影响作用。为对比考虑竖向地震前后的结构IDA曲线，选择其中10条地震动作用下单一水平与双向结果进行对比，如图 6所示。其中，图 6中实线为单一水平向地震作用下的结果，虚线为相对应的双向地震作用下的结果。
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图 6 水平向与竖向地震作用下Ⅱ类场地中ULSFS的IDA曲线Figure 6. IDA curves of ULSFS during horizontal and vertical earthquakes in site Ⅱ对比单一向与双向地震作用的结果可知：在小震作用下，结构的峰值IDR响应相差不大。这是因为：竖向地震的峰值加速度与水平向地震的峰值加速度并不一定同时出现；并且竖向地震主要增大了结构与上覆土层的竖向荷载，对结构层间水平变形影响较小。但在大震作用下，双向地震作用下的IDR响应普遍大于单一水平向地震结果。这是因为：较大的竖向惯性作用会导致外墙与框架柱在水平剪切作用下的变形协调性变差，层间水平变形随之增大[5]。对比基于IRA的响应曲线可知，竖向地震增大了顶层外柱的弯曲变形，而且随着地震烈度的增大，影响作用越来越明显。究其原因可知：在地震动循环荷载作用下，结构与侧向及上覆土层存在着剧烈的土-结构动力相互作用，使得与土体接触的顶板与顶梁产生了一定的弯曲损伤，而竖向地震引起的上覆土层竖向惯性力更容易加剧该位置的弯曲与损伤，与顶板、顶梁相连的外侧柱的弯曲变形随之增大。根据以上结果可知，IRA可以在机理层面上更好地揭示竖向地震对ULSFS的影响作用。
3. 结构性能评价指标与地震动强度指标
3.1 结构性能评价指标的选取
目前相关研究多选择单一的IDR作为水平向地震动作用下结构性能评价指标，确定了地下框架结构基于IDR的性能状态阈值，具体阈值如表 4中文献[4，9，10]所示。同时，根据ULSFS已有研究[14]及本文中结构的地震响应可知：外侧顶层柱更容易出现弯曲变形而不是层间错动变形；同时，第2节中IRA与地震强度指标良好的对应关系也证明了其作为抗震性能指标的良好适用性。因此，笔者提出综合选择IDR与IRA作为ULSFS的抗震性能评价指标，全面地评价结构危险位置的易损性。
表 4 ULSFS抗震性能评价指标及状态阈值Table 4. Seismic performance evaluation indexes and thresholds of ULSFS项目 性能指标 基本完好 轻微破坏 中等破坏 严重破坏 塌毁 未考虑竖向地震 IDR-本文 $ \theta < 0.10\% $ $ 0.10\% \leqslant \theta < 0.15\% $ $ 0.15\% \leqslant \theta < 0.40\% $ $ 0.40\% \leqslant \theta < 0.75\% $ $ 0.75\% \leqslant \theta $ IDR-文章[4] $ \theta < 0.12\% $ $ 0.12\% < \theta < 0.25\% $ $ 0.25\% \leqslant \theta < 0.40\% $ $ 0.40\% \leqslant \theta < 0.6\% $ $ 0.60\% \leqslant \theta $ IDR-文章[9] $ \theta < 0.08\% $ $ 0.08\% < \theta < 0.29\% $ $ 0.29\% \leqslant \theta < 0.60\% $ $ 0.60\% \leqslant \theta < 0.95\% $ $ 0.95\% \leqslant \theta $ IDR-文章[10] $ \theta < 0.12\% $ $ 0.12\% \leqslant \theta < 0.32\% $ $ 0.32\% \leqslant \theta < 0.73\% $ $ 0.73\% \leqslant \theta < 1.29\% $ $ 1.29\% \leqslant \theta $ IRA-本文 $ \theta < 0.05\% $ $ 0.05\% \leqslant \theta < 0.125\% $ $ 0.125\% \leqslant \theta < 0.40\% $ $ 0.40\% \leqslant \theta < 0.75\% $ $ 0.75\% \leqslant \theta $ 考虑竖向地震动 IDR-本文 $ \theta < 0.08\% $ $ 0.08\% \leqslant \theta < 0.12\% $ $ 0.12\% \leqslant \theta < 0.33\% $ $ 0.33\% \leqslant \theta < 0.65\% $ $ 0.65\% \leqslant \theta $ IDR-文章[8] $ \theta < 0.05\% $ $ 0.05\% \leqslant \theta < 0.21\% $ $ 0.21\% \leqslant \theta < 0.46\% $ $ 0.46\% \leqslant \theta < 0.72\% $ $ 0.72\% \leqslant \theta $ IRA-本文 $ \theta < 0.04\% $ $ 0.04\% \leqslant \theta < 0.1\% $ $ 0.1\% \leqslant \theta < 0.33\% $ $ 0.33\% \leqslant \theta < 0.63\% $ $ 0.63\% \leqslant \theta $ 本文采用大型地下框架结构Pushover方法[19]，结合“最远点法”[21]（结构抗震性能曲线及“最远点法”示意图如图 7所示）确定了结构的各个性能点（a, b, c, d）。进一步可以根据结构的性能点对结构的抗震性能状态进行划分[22]。其中，基本完好$ 0 \leqslant \theta < a $；轻微破坏$ a \leqslant \theta < ((a + b)/2) $；中等破坏$ ((a + b)/2) \leqslant \theta < $ $ ((b + c)/2) $；严重破坏$ ((b + c)/2) \leqslant \theta < ((c + d)/2) $；倒塌$ ((c + d)/2) \leqslant \theta $。因此，结构不同的抗震性能状态阈值可分别定义：$ A = a $，$ B = (a + b)/2 $，$ C = (b + $ $ c)/2 $，$ D = (c + d)/2 $。ULSFS在单一水平地震作用下的抗震性能曲线如图 8中虚线所示，各个性能状态阈值如表 4中未考虑竖向地震的本文结果所示。对比表 4中不同地下结构的各个性能状态阈值差异可知：当结构主要发生线性响应时（前两个性能状态），不同横截面尺寸的地下结构的性能状态阈值相差不大；但结构发生明显的非线性损伤后（后两个性能状态），结构横截面尺寸越大而性能状态阈值越小。这是因为：在其他条件与因素（混凝土标号，场地条件，埋深情况等）相对一致的情况下，地下结构的截面尺寸越大，结构相对土体越柔[4]，地下结构的抗震性能也会相应的降低。因此，本文中ULSFS基于IDR的抗震性能状态阈值比其他文章中地下结构稍小，同时也均在合理的范围以内。
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图 7 结构抗震性能曲线及“最远点法”示意图Figure 7. Diagram of seismic performance curve and farthest point method为了准确地评价竖向地震作用，本文将水平向地震动与竖向地震动按实际比例施加至土-结构模型中[19]，得到考虑竖向地震作用的ULSFS不同性能状态的性能曲线如图 8中实线所示，各个性能状态阈值如表 4中考虑竖向地震的本文结果所示。对比考虑竖向地震动前后的结果可知：①考虑竖向地震作用后，基于IDR与IRA的结构抗震性能曲线出现了明显的下降段；②基于IDR与IRA的结构抗震性能状态阈值均更加严格，这与文章结果相同[8]。深究其内在机理可知：未考虑竖向地震作用时，结构的性能曲线未出现明显的下降段，这是因为结构四周有土体保护，框架柱较难出现侧向塌毁现象，而且结构埋深较浅，在不考虑竖向地震作用时，竖向荷载相对较小，并未出现类似深埋地铁车站抗震性能曲线的陡然下降段[23]。考虑竖向地震作用后，竖向荷载作用增大了柱端轴压比，使得框架柱的水平极限抗剪切变形能力变小；并且框架柱的抗弯能力会由于竖向荷载与水平荷载的耦合作用而减小，更容易出现压弯破坏现象。因此，在考虑竖向地震作用后，基于IDR与IRA的结构性能状态阈值更加严格且出现了较为明显的下降段。
3.2 地震动强度指标的选取
在地下结构易损性分析中，多采用峰值地面加速度PGA、峰值基岩加速度PBA或峰值地面PGV作为地震动强度指标。Cornell等[24]提出可以假定结构概率地震需求$ {u_d} $符合对数正态分布，则其与地震动强度指标$ {\text{IM}} $满足以下关系：
$$ {u_{\text{d}}} = a{\text{I}}{{\text{M}}^b} 。 $$ (3) 两边取对数可得
$$ \ln ({u_{\text{d}}}) = \ln (a) + b\ln ({\text{IM}}) 。 $$ (4) 由式（4）可知，$ \ln ({u_{\text{d}}}) $与$ \ln ({\text{IM}}) $存在线性回归关系。因此，分别以IDR与IRA为$ {u_{\text{d}}} $，以PGA，PBA以及PGV为$ {\text{IM}} $，拟合$ \ln ({\text{IM}}){\text{ - }}\ln ({u_{\text{d}}}) $线性关系，并通过式（4）计算得到数据的平均标准偏差$ {\beta _{\text{D}}} $[17]：
$$ {\beta _{\text{D}}} = \sqrt {{{\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{\left[ {\ln ({u_{\text{d}}}) - (\ln a + b\ln ({\text{IM}}))} \right]}^2}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{\left[ {\ln ({u_{\text{d}}}) - (\ln a + b\ln ({\text{IM}}))} \right]}^2}} } {(n - 2)}}} \right. } {(n - 2)}}} 。 $$ (5) $ {\beta _{\text{D}}} $越小，线性关系越好，说明越适合作为IM。不同地震强度指标与结构性能评价指标的拟合结果如表 5所示，PGA与PBA相比PGV有着更好的拟合精度，因此，本文选择PGA作为地震强度指标。
表 5 地震强度指标与结构性能评价指标平均标准偏差Table 5. $ {\beta _{\text{D}}} $ between $ {\text{IM}} $ and $ {u_{\text{d}}} $$ {\beta _{\text{D}}} $ $ {\text{PGA}} $ $ {\text{PBA}} $ $ {\text{PGV}} $ $ {\text{IDR}} $ 0.35 0.41 0.38 $ {\text{IRA}} $ 0.39 0.36 0.43 4. 大型地下框架结构地震易损性分析
4.1 易损性分析基本理论
损性曲线是指结构在不同强度的地震作用下，结构或构件响应达到或超过其极限承载能力的条件概率，结构在不同性能极限状态下的失效概率$ {P_{\text{f}}} $可由下式确定[24]：
$$ {P_{\text{f}}} = P({u_c} \leqslant {u_{\text{d}}}\left| {{\text{IM}}} \right.) = P({u_{\text{c}}}/{u_{\text{d}}} \leqslant 1\left| {{\text{IM}}} \right.) 。 $$ (6) 式中：$ {u_{\text{c}}} $为结构抗震能力。
根据经典文献[24，25]，可假设地下结构的地震易损性服从双参数对数正态分布，对式（6）进一步简化可得
$$ {P_{\text{f}}} = \varPhi (\ln ({u_{\text{d}}}/{u_{\text{c}}})/{\beta _{{\text{tot}}}}) 。 $$ (7) $$ \varPhi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π }}} }}\int_{ - \infty }^x {\exp ( - {t^2}/2)} {\text{d}}t 。 $$ (8) $$ {\beta _{{\text{tot}}}} = \sqrt {\beta _{{\text{ds}}}^2 + \beta _{\text{C}}^2 + \beta _{\text{D}}^2} 。 $$ (9) 式中：$ \varPhi (x) $为标准正态分布函数；$ {\beta _{{\text{tot}}}} $为总对数正态标准偏差。根据美国灾害评估管理系统[25]，$ {\beta _{\text{C}}} $与$ {\beta _{\text{D}}} $分别是结构抗震能力与地震需求的对数标准差，其中，$ \beta _{\text{C}}^{} $代表了结构形式不确定对承载力的影响；本文的研究对象为确定的形式，因此忽略了此系数；$ {\beta _{\text{D}}} $可根据式（5）确定；根据美国灾害评估管理系统对建筑结构的要求[25]，$ \beta _{{\text{ds}}}^{} $可取0.4。
4.2 水平向地震动作用下的ULSFS易损性分析
将底层柱10的$ \ln ({\text{IDR}}) $与$ \ln ({\text{PGA}}) $曲线与顶层柱1的$ \ln ({\text{IRA}}) $与$ \ln ({\text{PGA}}) $曲线的拟合回归方程代入式（7）中，分别得到ULSFS在不同性能极限状态下的失效概率：
$$ {P_{\text{f}}}^{{\text{IDR}}} = \varPhi (\ln (1.114{({\text{PGA}})^{1.116}}/{u_{\text{c}}})/{\beta _{{\text{tot}}}}) , $$ (10) $$ {P_{\text{f}}}^{{\text{IRA}}} = \varPhi (\ln (1.302{({\text{PGA}})^{1.361}}/{u_{\text{c}}})/{\beta _{{\text{tot}}}}) 。 $$ (11) 以失效概率为纵坐标，PGA为横坐标，即可分别得到结构所在Ⅱ类场地条件下基于IDR与IRA的易损性曲线，如图 9所示。对比易损性曲线可知，在PGA为0.06g的地震动工况下，IDR与IRA超越S1性能状态的失效概率分别仅为0.21，0.36，说明结构处于良好性能状态。而随着地震动强度的增加，结构的失效概率逐渐增大。在PGA为1.0g的地震动作用下，IDR与IRA超越S4性能状态的失效概率已分别达到0.79，0.87，说明此时结构极有可能遭受严重破坏。对比IDA与IRA结果可知，基于IDR的失效概率一般要小于基于IRA的失效概率，仅仅采用IDR作为ULSFS的抗震性能指标会高估结构在单一水平地震作用下的易损性。
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图 9 水平向地震作用下Ⅱ类场地条件中ULSFS的易损性曲线Figure 9. Fragility curves of ULSFS during horizontal earthquakes in site Ⅱ4.3 水平向与竖向地震作用下的ULSFS易损性分析
进一步基于水平向与竖向双向地震作用下结构地震响应，得到考虑竖向地震影响的ULSFS不同性能极限状态下的失效概率：
$$ {P_{\text{f}}}^{{\text{IDR}}} = \varPhi (\ln (1.127{({\text{PGA}})^{1.287}}/{u_{\text{c}}})/{\beta _{{\text{tot}}}}) , $$ (12) $$ {P_{\text{f}}}^{{\text{IRA}}} = \varPhi (\ln (1.606{({\text{PGA}})^{1.431}}/{u_{\text{c}}})/{\beta _{{\text{tot}}}}) 。 $$ (13) 而所在Ⅱ类场地条件下结构基于IDR与IRA的地震易损性曲线如图 10所示，本文重点分析了竖向地震对结构易损性的影响作用机理。
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图 10 双向地震作用下Ⅱ类场地条件中ULSFS的易损性曲线Figure 10. Fragility curves of ULSFS during bi-directional earthquakes in site Ⅱ对比考虑竖向地震前后基于IDR的易损性曲线可以发现：①考虑竖向地震作用后，即使竖向地震作用下结构抗震性能评价指标的阈值更严格，但S1性能状态下结构的失效概率却略有降低。②考虑竖向地震作用后，S2~S4性能状态下结构的失效概率略有增加，且随着地震作用的增大更加明显。深究其机理可知：在较小的竖向地震作用下，结构上覆土层的竖向荷载增大了框架柱的轴压比，对框架柱的层间水平变形起到了一定的约束作用，结构基于IDR的地震响应反而有所降低；并且，小震对结构基于IDR抗震性能的影响并不明显。但当竖向地震较大时，双向地震动耦合效应增大了结构基于IDR的地震响应，并导致框架柱在压剪作用下抗震性能的降低；因此，在较大的竖向地震作用下，基于IDR响应的结构失效概率会有所提高。综合以上结果可知：即使竖向地震下IDR的阈值更严格，但竖向地震对结构基于IDR易损性的影响作用并不明显；说明采用单一的IDR并无法全面地评价竖向地震对ULSFS的影响作用。
对比考虑竖向地震前后基于IRA的易损性曲线可以发现：各个性能状态下结构的失效概率均所增加，并随着地震作用的增大而明显增大。例如，在PGA为0.6g的地震工况下，超越S3性能状态的失效概率由0.83增加至0.96，而超越S4性能状态的失效概率由0.38增加至0.66。深究其机理可知：在小震与大震作用下，竖向地震均增大了上覆土层的竖向惯性作用，虽然约束了结构的水平向变形，但同时加剧了顶板、顶梁的弯曲损伤，进一步增大了该危险位置框架梁柱的弯曲变形，结构基于IRA的地震响应明显增大；而且，竖向荷载与水平荷载耦合作用下的框架柱端的抗压弯性能明显降低；因此，在竖向地震作用下，基于IRA响应的结构失效概率明显提高。综合以上结果可知：竖向地震将会明显增大结构基于IRA的失效概率，采用IRA可以更为合理地反映竖向地震对ULSFS易损性的影响作用。建议综合采用针对层间错动变形的IDR与针对局部弯曲变形的IRA，对双向地震动作用下大型地下结构的地震易损性进行全面评估。
根据在单一水平向与双向地震作用下ULSFS的易损性分析，得到了结构在Ⅱ类场地条件下对应基于IDR与IRA失效概率为50%的S1，S2，S3，S4性能状态下的PGA值，如表 6所示。
表 6 Ⅱ场地条件下ULSFS地震失效概率50%所对应PGATable 6. PGAs corresponding to failure probability of ULSFS with value of 50% in site Ⅱ失效概率（50%） 单向地震-IDR 单向地震-IRA 双向地震-IDR 双向地震-IRA 正常使用（S1） 0.11g 0.09g 0.13g 0.08g 立即使用（S2） 0.17g 0.18g 0.17g 0.15g 生命安全（S3） 0.40g 0.42g 0.38g 0.33g 防止倒塌（S4） 0.70g 0.67g 0.65g 0.52g 5. 结论
基于增量动力分析方法探究了大型地下框架结构（ULSFS）的地震响应规律，分别选择层间位移角（IDR）以及层间梁柱转角（IRA）作为结构的抗震性能评价指标，得到了单一水平向以及水平向与竖向双向地震动作用下的结构易损性曲线，定量地给出了结构所在Ⅱ类实际场地条件下的不同性能状态的失效概率。
（1）在单一水平向地震作用下，结构基于IRA的地震响应相比IDR更大且波折更加明显。在考虑竖向地震作用后，结构的层间水平变形变化不大，但结构外侧的弯曲变形明显增大，而且竖向地震的影响作用随着地震烈度的提高而增大。
（2）考虑竖向地震作用后，基于IDR与IRA的抗震性能曲线出现了较为明显的下降段，且各个性能状态的阈值均更加严格。这是因为：竖向荷载作用增大了柱端轴压比，使得框架柱的水平极限抗剪切变形能力变小；并且框架柱的抗弯能力由于竖向荷载与水平荷载耦合作用而减小。
（3）考虑竖向地震作用前后，基于IDR的结构地震失效概率变化不大，只有在大震作用下的结构失效概率才明显提高；仅采用IDR作为抗震性能指标会低估结构在双向地震作用下的地震易损性。IRA与地震强度指标良好的对应关系证明了其作为ULSFS抗震性能指标的良好适用性，并且IRA可以在机理层面上更好地揭示竖向地震对结构的影响作用。建议综合选择IDR与IRA作为抗震性能评价指标，对双向地震动作用下大型地下结构的地震易损性进行全面评估。
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图 1 ULSFS的构造及框架柱配筋示意图
Figure 1. Structural diagram of ULSFS and reinforcements of framework columns
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图 5 水平向地震作用下Ⅱ类场地中ULSFS的IDA曲线
Figure 5. IDA curves of ULSFS during horizontal earthquakes in site Ⅱ
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图 6 水平向与竖向地震作用下Ⅱ类场地中ULSFS的IDA曲线
Figure 6. IDA curves of ULSFS during horizontal and vertical earthquakes in site Ⅱ
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图 7 结构抗震性能曲线及“最远点法”示意图
Figure 7. Diagram of seismic performance curve and farthest point method
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图 9 水平向地震作用下Ⅱ类场地条件中ULSFS的易损性曲线
Figure 9. Fragility curves of ULSFS during horizontal earthquakes in site Ⅱ
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图 10 双向地震作用下Ⅱ类场地条件中ULSFS的易损性曲线
Figure 10. Fragility curves of ULSFS during bi-directional earthquakes in site Ⅱ
表 1 ULSFS本构与材料属性
Table 1 Material constitutive models of ULSFS
材料 混凝土 钢筋 密度ρc1/(kg·m-3) 弹性模量Es1/GPa 泊松比 扩张角ψc/(°) 偏心率η Kt1 拉伸屈服强度σt1/MPa 压缩屈服强度σc1/MPa 密度ρr/(kg·m-3) 弹性模量Esr/GPa 屈服强度σr/MPa 数值 2400 32.5 0.20 15 0.1 0.666 3 30 7800 200 400 
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表 2 实际场地各土层参数
Table 2 Parameters of soil layers in actual site
土层 土壤类型 埋深/m 密度/(kg·m-3) 泊松比 内摩擦角/(°) 黏聚力/kPa 剪切波速/(m·s-1) 1 回填土 0~4 1870 0.33 20 20 181 2 粉质黏土 4~12 1900 0.28 18 40 193 3 粉质黏土 12~20 1900 0.28 20 25 405 4 粉质黏土 20~34 1850 0.30 20 10 247 5 粉质黏土 34~42 1850 0.28 20 20 271 6 黏土 42~54 1900 0.25 30 30 303 7 砾石 54~74 1950 0.20 20 1 427
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表 3 所选地震动信息
Table 3 Data of selected ground motions
编号 地震动名称 震级Mw vs20/
(m·s-1)Rrup/km 编号 地震动名称 震级Mw vs20/(m·s-1) Rrup/km GM-1 "Imperial Valley-02" 6.95 213.44 6.09 GM-11 "San Fernando" 6.61 385.69 112.52 GM-2 "Northwest Calif-02" 6.6 219.31 91.22 GM-12 "Managua_Nicaragua-01" 6.24 288.77 4.06 GM-3 "Kern County" 7.36 316.46 117.75 GM-13 "Loma Prieta" 6.93 304.08 67.52 GM-4 "Kern County" 7.36 385.43 38.89 GM-14 "Loma Prieta" 6.93 331.21 50.99 GM-5 "Northern Calif-03" 6.5 219.31 27.02 GM-15 "Loma Prieta" 6.93 333.85 22.68 GM-6 "Parkfield" 6.19 289.56 9.58 GM-16 "Northridge-01" 6.69 269.29 68.62 GM-7 "Borrego Mtn" 6.63 316.46 222.42 GM-17 "Northridge-01" 6.69 301.23 41.17 GM-8 "San Fernando" 6.61 280.56 55.20 GM-18 "Kobe_Japan" 6.90 312.14 0.96 GM-9 "San Fernando" 6.61 316.46 22.77 GM-19 "Chi-Chi_Taiwan-05" 6.20 330.55 54.76 GM-10 "San Fernando" 6.61 303.79 193.91 GM-20 "Chi-Chi_Taiwan-06" 6.30 297.86 61.03
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表 4 ULSFS抗震性能评价指标及状态阈值
Table 4 Seismic performance evaluation indexes and thresholds of ULSFS
项目 性能指标 基本完好 轻微破坏 中等破坏 严重破坏 塌毁 未考虑竖向地震 IDR-本文 θ<0.10% 0.10%⩽θ<0.15% 0.15%⩽θ<0.40% 0.40%⩽θ<0.75% 0.75%⩽θ IDR-文章[4] θ<0.12% 0.12%<θ<0.25% 0.25%⩽θ<0.40% 0.40%⩽θ<0.6% 0.60%⩽θ IDR-文章[9] θ<0.08% 0.08%<θ<0.29% 0.29%⩽θ<0.60% 0.60%⩽θ<0.95% 0.95%⩽θ IDR-文章[10] θ<0.12% 0.12%⩽θ<0.32% 0.32%⩽θ<0.73% 0.73%⩽θ<1.29% 1.29%⩽θ IRA-本文 θ<0.05% 0.05%⩽θ<0.125% 0.125%⩽θ<0.40% 0.40%⩽θ<0.75% 0.75%⩽θ 考虑竖向地震动 IDR-本文 θ<0.08% 0.08%⩽θ<0.12% 0.12%⩽θ<0.33% 0.33%⩽θ<0.65% 0.65%⩽θ IDR-文章[8] θ<0.05% 0.05%⩽θ<0.21% 0.21%⩽θ<0.46% 0.46%⩽θ<0.72% 0.72%⩽θ IRA-本文 θ<0.04% 0.04%⩽θ<0.1% 0.1%⩽θ<0.33% 0.33%⩽θ<0.63% 0.63%⩽θ
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表 5 地震强度指标与结构性能评价指标平均标准偏差
Table 5 βD between IM and ud
βD PGA PBA PGV IDR 0.35 0.41 0.38 IRA 0.39 0.36 0.43
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表 6 Ⅱ场地条件下ULSFS地震失效概率50%所对应PGA
Table 6 PGAs corresponding to failure probability of ULSFS with value of 50% in site Ⅱ
失效概率（50%） 单向地震-IDR 单向地震-IRA 双向地震-IDR 双向地震-IRA 正常使用（S1） 0.11g 0.09g 0.13g 0.08g 立即使用（S2） 0.17g 0.18g 0.17g 0.15g 生命安全（S3） 0.40g 0.42g 0.38g 0.33g 防止倒塌（S4） 0.70g 0.67g 0.65g 0.52g
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