Behaviors of pile-column piers based on modified pasternak foundation model
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摘要: 倾斜荷载下成层地基中桩柱式桥墩受力变形分析极为复杂。考虑土体塑性屈服特性，提出改进的Pasternak地基模型，结合Timoshenko梁理论，综合考虑桩身剪切变形、“P–Δ效应”、桩身轴力分布等影响，分别建立桩柱式桥墩自由段、弹性段、塑性段水平位移控制微分方程，继而引入Laplace正逆变换和矩阵传递法，获得倾斜荷载下成层地基中桩柱式桥墩位移与内力的半解析解。并探讨分析桩、土剪切刚度及地基成层性等因素的影响，结果表明：不同长径比下，增大桩身剪切刚度会增大桩身水平位移，但会减小桩身最大弯矩，且桩身剪切刚度的影响在长径比等于5左右达到最大；而土体剪切刚度对桩身水平位移与最大弯矩均有明显减弱作用，与“P–Δ效应”的影响相反；成层地基中，近地表土层强度对桩身水平位移和弯矩影响最大，增大上部土层强度会显著减小桩身水平位移和弯矩。
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关键词:
- 桩柱式桥墩 /
- 改进Pasternak地基模型 /
- Timoshenko梁 /
- 矩阵传递法
Abstract: The analysis of behaviors of pile-column piers in layered soils under inclined loads is extremely complicated. An improved Pasternak foundation reaction model considering the plastic yield characteristics of soils is proposed. Considering the influences of 'P-Δ effect', shear deformation and axial force distribution of piles, the governing equations for displacements of free section, elastic section and plastic section of the pile-column pier are respectively established based on the Timoshenko beam theory. Then, the semi-analytical solutions to the internal forces and deformations of the pier in the layered foundation under inclined loads are obtained by using the Laplace transform and the matrix transfer method. On this basis, the influences of shear stiffnesses and foundation stratification are discussed and analyzed in a parametric study. It can be concluded as follows: (1) For the cases with different length-diameter ratios, the horizontal displacement of the piles increases with the increasing shear stiffness of the piles, but the tendency is opposite for the results of bending moment, and the influences of shear stiffness reaches the maximum when the length-diameter ratio reaches approximately 5. (2) Unlike the influences of the 'P – Δ effect', the shear modulus of the soils significantly inhibits the horizontal displacement and the bending moment of the piles. (3) In a multi-layer foundation, the strength of upper soil layers has the greatest influences on the horizontal displacement and the bending moment of the piles, and increasing their strength will significantly reduce the horizontal displacement and bending moment. -
0. 引言
柱状节理是发育于火山岩中的一种原生张性破裂构造[1],它往往将岩石切割成规则六棱柱或其他的不规则棱柱体。柱状节理岩体在我国的赋存范围十分广泛,特别是在西南云贵川地区。早先国内外关于柱状节理岩体的研究热点主要侧重于柱状节理地质成因分析,形成了冷却收缩学说[2]、引张-旋扭成因[3]、双扩散-对流作用[4]以及岩浆热耗散-对流与冷却-收缩分阶段起作用假说[5]等多种成因理论。近年来,随着西南地区水利水电开发的推进,工程中揭露了大量柱状节理岩体,其力学各向异性特性是该类工程中重点关注和亟待解决的关键科学问题。为了研究柱状节理岩体力学各向异性特性,研究人员依托白鹤滩水电站工程,首先采用现场试验和数值模拟方法开展研究,如：卢轶然[6]和张宜虎等[7]选取白鹤滩水电站坝基左岸试验支洞扩挖段布置6个试验点,采用YXSW-12现场真三轴试验系统对柱状节理岩体试样进行真三轴试验,得到了柱状节理岩体在三向复杂应力条件下的变形和强度特征；朱道建等[8]和徐卫亚等[9]分别采用有限差分和离散元数值方法建立了白鹤滩水电站坝基典型柱状节理岩体随机模拟数值模型,分析了坝基柱状节理岩体变形和强度各向异性规律及其对坝基整体应力和变形的影响。但是,由于受到人力物力和时间的限制,现场试验选取的试验点非常有限,所得试验结果具有一定的离散性,而数值试验结果的准确度取决于岩块和柱状节理本构模型能否反映柱状节理岩体实际的力学响应。鉴于此,一部分研究人员在前期勘察调研柱状节理岩体结构特征的基础上,采用水泥或石膏等类岩石材料制备小尺寸模拟柱状节理岩体试件,通过室内单轴或三轴压缩试验研究柱状节理岩体力学各向异性规律[10-15]。尽管目前在柱状节理岩体物理模型试验方面已取得了一定的研究成果,但是所得试验结果与真实柱状节理岩体力学响应还有一定的差异,究其原因在于现有模型试验研究中所采用的制样方法在模拟柱状节理岩体结构特征方面还存在一定的差距。如：刘海宁等[10]、肖维民等[11]、Ji等[12]、林志南等[13]柯志强等[14]在制作模拟柱状节理岩体试件时均先制备单个柱体,然后采用水泥浆黏结单个柱体形成柱状节理岩体模型,再经切割打磨得到所需圆柱体或棱柱体模拟柱状节理岩体试件,由于水泥浆黏结强度较高且具有一定厚度,因而上述模拟柱状节理岩体试件中的柱状节理与真实柱状节理有一定的差异,柱体间一定厚度的水泥浆对试件强度和变形也有影响；为了克服黏结柱体方法的不足,Lin等[15]和杨涛等[16]利用3D打印技术采用光敏树脂打印柱状节理网络模型,然后将其预置于圆柱体或棱柱体模具中,再浇筑类岩石模型材料制备模拟柱状节理岩体试件,该方法避免了柱体黏结材料对试件的影响,但是由于光敏树脂本身也具有一定的强度和较好的延性,试验过程中光敏树脂柱状节理网络对试件强度和变形有较大影响。因此采用模型试验方法研究柱状节理岩体力学各向异性特性时,柱状节理的物理模拟方法是关键。
为此,本文在前期研究成果基础上,结合3D打印技术,采用脆性绿蜡材料作为3D打印材料,研究模拟不规则柱状节理岩体试件一次成型制备方法,通过对其进行室内单轴压缩试验获得不规则柱状节理岩体力学各向异性规律及典型破坏特征,并将其与现有柱状节理岩体模型试验研究成果进行比较,验证此方法的可行性。
1. 不规则柱状节理岩体试件一次成型制备方法
1.1 不规则柱状节理网络3D打印
由于柱状节理岩体现场调查能够获得柱列横截面多边形组合图案,在此采用Voronoi图随机模拟柱列横截面多边形组合图案,图中多边形的每一条边即代表一条柱状节理,该方法的可行性已在文献[17]中得到验证。在获得如图1（a）所示Voronoi图随机模拟柱列横截面多边形组合图案后,导入CAD软件沿柱列横截面外法线方向拉伸即得到不规则柱状节理三维网络模型（图1（b））,然后用直径为5 cm、与柱列水平面成β夹角的圆柱面模拟钻芯过程经修整获得直径5 cm、高度10 cm的标准圆柱型柱状节理网络模型（图1（c））,即为不规则柱状节理网络3D打印数字模型。为了分析不规则柱状节理岩体的力学各向异性,在此β角取值分别为0°,15°,30°,45°,60°,75°,90°。
选用绿蜡为打印材料（基本物理参数见表1）,将不规则柱状节理网络3D打印数字模型导入3D打印机,设置打印壁厚为0.8 mm,得到具有不同β角的圆柱型不规则柱状节理网络实体模型如图2所示。
表 1 绿蜡基本物理参数Table 1. P hysical parameters of green wax成分 颜色 密度/(g·cm-3) 熔点/℃ 软化点/℃ 打印精度/mm 石蜡 深绿 0.81 70 52~62 0.025~0.05 ![]()
图 2 圆柱型不规则柱状节理网络3D打印实体模型Figure 2. Solid models for cylindrical irregular columnar joint network类岩石模型材料采用水灰比为0.4的净水泥浆,其基本力学参数汇总如表2所示。
表 2 类岩石模型材料基本力学参数Table 2. Basic mechanical parameters of rock-like materials参数 单轴抗压强度σc/MPa 弹性模量E/GPa 黏聚力/MPa 内摩擦角/(°) 数值 25.84 3.516 4.188 35.8° 1.2 不规则柱状节理岩体试件制备过程
模拟不规则柱状节理岩体试件制备过程如下：①在塑料盆中配置水灰比为0.4白水泥浆,并振捣消除水泥浆中的气泡；②将不规则柱状节理网络3D打印实体模型慢慢浸没在水泥浆中,并轻微摇动模型确保白水泥浆沿柱体方向注入并均匀充满模型（图3（a））；③将注满白水泥浆的模型套入内径为5 cm、高为10 cm的圆柱形有机玻璃套筒中,然后将套筒连同试样一起取出,用刮刀抹平套筒两端（图3（b）,（c））；④将试样在常温下养护2小时后拆除圆柱形套筒,得到模拟不规则柱状节理岩体试件（图3（d））,再常温养护28天备用。
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图 3 圆柱型模拟不规则柱状节理岩体试件Figure 3. Cylindrical artificial columnar jointed rock mass specimens按照上述方法,一共制备7组试件用于后续试验。
2. 不规则柱状节理岩体单轴压缩试验
2.1 单轴压缩试验方案
模拟不规则柱状节理岩体试件单轴压缩试验在YZW50岩石剪切试验系统上进行,具体加载方案如下：①预控制采用轴向力控制,目标值1 kN,加载速率为0.05 kN/s,保持15 s,目的是避免加载初期由于试件与加载压头接触不充分而引起伺服程序不稳定；②设置轴向力目标值为150 kN,加载速率为0.1 kN/s,直至试件破坏。
2.2 单轴压缩应力-应变曲线
模拟不规则柱状节理岩体试件单轴压缩应力-应变曲线如图4所示,根据试件单轴压缩应力-应变曲线计算相应的单轴抗压强度
和变形模量Er,得到7组模拟不规则柱状节理岩体试件的单轴抗压强度 和变形模量Er,计算结果汇总于表3。 ![]()
图 4 模拟不规则柱状节理岩体试件单轴压缩应力-应变曲线Figure 4. Stress-strain curves of artificial irregular columnar jointed rock mass specimens under uniaxial compression表 3 不规则柱状节理岩体试件单轴抗压强度和变形模量汇总Table 3. Summary of uniaxial compression strength and deformation modulus of irregular columnar jointed rock mass specimensβ/(°) 0 15 30 45 60 75 90 σr/MPa 11.812 11.69 9.625 7.374 4.436 7.087 24.087 Er/GPa 1.031 1.108 0.823 0.393 0.673 0.680 2.275 2.3 试件典型破坏模式
通过在模拟不规则柱状节理岩体试件单轴压缩试验过程中进行数字拍照,得到试件破坏发展过程及最终破坏形态如图5所示,对其进行归纳总结得到模拟不规则柱状节理岩体试件3种典型破坏模式如下。
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图 5 模拟不规则柱状节理岩体试件典型破坏形态Figure 5. Failure modes of artificial irregular columnar jointed rock mass specimens under uniaxial compression（1）劈裂-滑移复合破坏
该破坏模式主要发生在倾角β=0°～15°时（见图5（a）,（b））。由于试件中柱体近似水平,竖向应力主要作用在柱体侧面及棱线处,随着竖向应力的增加,首先发生垂直柱体轴向和沿柱状节理面的劈裂破坏,当竖向应力进一步增加,柱体沿破坏的柱状节理面产生滑移破坏,最终形成部分通过柱体,部分通过柱状节理面的贯通破坏面。
（2）沿柱状节理面的剪切滑移破坏
该破坏模式主要发生在倾角β=30°～60°时（见图5（c）～（e））。随着竖向应力的增加,试件内部某一柱状节理面上的剪切应力超过其抗剪强度而发生剪切破坏,形成剪切破坏面并随着竖向应力的增加沿着相邻的柱状节理面继续扩展,最终形成沿若干柱状节理面的贯通破坏面,破坏时柱体沿倾角方向有明显的错动位移,试件表现出明显的侧向扩容现象。
（3）沿柱体轴向的压屈-劈裂破坏
该破坏模式主要发生在倾角β=75°～90°时（见图5（f）～（g））。由于试件中柱体近似竖直,试验施加的竖向荷载主要沿柱体轴向作用,且试件中单个柱体长细比较大,外侧柱体首先被压屈而散开,导致柱体破坏由外向试件内部发展,最终导致试件由于大部分柱体沿轴向被劈裂压屈而丧失承载力。
3. 结果分析与讨论
3.1 力学各向异性分析
为了分析不规则柱状节理岩体试件的力学各向异性规律,首先将不规则柱状节理岩体试件单轴抗压强度
和变形模量Er分别用类岩石模型材料单轴抗压强度 和弹性模量E归一化处理,然后得到其随倾角β的变化规律,如图6所示。同时,为了和现有模型试验结果进行比较,在图6中也列出了采用黏结柱体方法[11-12]和预置光敏树脂柱状节理网络直接浇筑方法[15]所得柱状节理岩体力学各向异性试验结果。由图6可知： ![]()
图 6 模拟柱状节理岩体力学各向异性规律比较Figure 6. Comparison of mechanical anisotropy of artificial columnar jointed rock mass specimens prepared by different methods（1）当β=0°～75°时,文献[11]所得柱状节理岩体试件归一化单轴抗压强度和变形模量均远大于其他三种方法试验结果,这主要是由于文献[11]采用水泥浆作为柱体黏结剂,水泥浆黏结强度大且柱体间水泥浆厚度较大,从而在提高模拟柱状节理岩体试件强度的同时也约束了柱体沿模拟柱状节理面的滑移变形。
（2）本文所得归一化单轴抗压强度和变形模量随倾角β变化规律近似“U”型分布,呈现较显著各向异性特征,但是β=0°时的试验结果要小于β=90°时的试验结果,这与文献[12]和[15]报道的试验结果是一致的。同时,本文所得归一化单轴抗压强度和变形模量数值在绝大多数倾角下均稍大于文献[12]和[15]结果,仅β=0°时的归一化单轴抗压强度和β=90°时的归一化变形模量出现了突变。
（3）当β=0°时,本文归一化单轴抗压强度小于文献[12]结果,这说明脆性绿蜡柱状节理网络对柱状节理岩体试件强度的影响要小于文献[12]所用的水泥浆；而当β=90°时,文献[15]所得试件归一化变形模量数值远大于本文结果,说明光敏树脂柱状节理网络对试件变形有很大的约束作用。
3.2 典型破坏模式分析
2.3节归纳总结了一次成型制备的模拟不规则柱状节理岩体试件的3种典型破坏模式,现有模型试验结果[11-12, 14-15]也总结了单轴压缩条件下柱状节理岩体的典型破坏模式（如表4所示）。通过比较可知：
表 4 模拟柱状节理岩体单轴压缩典型破坏模式汇总Table 4. Summary of typical failure modes of artificial columnar jointed rock mass under uniaxial compression序号 文献出处 柱状节理岩体试件类型 试件典型破坏模式 1 肖维民等[11] 标准圆柱体试件,模型材料为石膏水泥混合材料,黏结剂为水泥浆 ①沿柱状节理面的轴向劈裂破坏,β=15°和30°发生；②形成部分通过节理面、部分通过柱体的复合剪切破坏面,β=0°和45°发生；③沿柱状节理面的剪切滑移破坏,β=60°和75°发生；④沿柱体轴向劈裂破坏,β=90°发生。 2 Ji等[12] 标准圆柱体试件,模型材料为水泥砂浆,黏结剂为白水泥浆 ①沿垂直柱轴方向的劈裂破坏,β=0°和15°发生；②沿柱状节理面的剪切滑移破坏,β=30°~60°发生；③沿柱轴方向的劈裂破坏,β=75°和90°发生。 3 柯志强等[14] 5 cm×5 cm× 10 cm长方体试件,模型材料为水泥砂浆,黏结剂为白水泥浆 ①沿垂直柱轴方向的劈裂破坏,β=0°~30°发生；②沿纵向柱状节理面的剪切滑移破坏,β=45°发生；③劈裂-滑移复合破坏,β=60°发生；④平行柱体轴向的劈裂破坏,β=75°~90°发生。 4 Lin等[15] 标准圆柱体试件,模型材料为水泥砂浆,预置光敏树脂不规则柱状节理网络 ①劈裂破坏,β=0°~30°发生；②沿柱状节理面的剪切滑移破坏,β=75°~90°发生；③劈裂-滑移复合破坏,β=45°~60°发生。 （1）在水平倾角β较小时,由于脆性绿蜡材料本身抗压强度较小,在垂直柱体轴向的竖向应力作用下,绿蜡柱状节理网络对柱体的约束作用较弱,小于光敏树脂和水泥浆黏结层对柱体的约束作用,因此在β=0°～15°时试件表现为柱体劈裂-柱状节理面剪切滑移复合破坏模式。
（2）在中等水平倾角和近似竖直情况下,由于本文采用的类岩石模型材料强度远大于绿蜡材料,当竖向应力作用时,绿蜡柱状节理网络先于柱体发生压裂破坏,导致柱体与绿蜡之间的接触面力学特性与真实柱状节理面力学响应更接近,主要表现为柱体沿柱状节理面的剪切滑移更明显,试件在试验后期的侧向变形更明显,而Lin等[15]采用光敏树脂作为柱状节理网络打印材料,光敏树脂本身抗压强度和延性都较好,试验过程中模型材料先于柱状节理网络破坏,因此光敏树脂柱状节理网络对试件后期变形有较强的约束作用,从而导致水平倾角较大（β=60°～90°）的试件变形模量比本文大。
综上所述,在此采用脆性绿蜡作为柱状节理网络3D打印材料,一次成型制备模拟不规则柱状节理岩体试件用于不规则柱状节理岩体力学各向异性特性研究,一方面提高了不规则柱状节理岩体试件制备效率,同时相比已有研究成果,在模拟柱状节理力学响应方面有了一定的提升,因而该方法是可行的,在后续开展复杂应力状态下不规则柱状节理岩体力学各向异性特性研究中具有巨大的应用前景。
4. 结论
基于Voronoi图随机模拟建立圆柱型不规则柱状节理网络3D数字模型,采用脆性绿蜡作为3D打印材料制备不规则柱状节理网络实体模型,在此基础上研究模拟不规则柱状节理岩体试件一次成型制备方法,并通过试件单轴压缩试验研究不规则柱状节理岩体力学各向异性特性,主要结论如下：
（1）预置绿蜡柱状节理网络的圆柱型不规则柱状节理岩体试件单轴抗压强度和变形模量随倾角β变化呈“U”型,表现出显著各向异性特征,与采用水泥浆黏结和预置光敏树脂柱状节理网络等制样方法相比,绿蜡柱状节理网络本身强度更低,对柱体变形的约束作用更弱,与实际柱状节理的力学响应更接近。
（2）单轴压缩条件下预置绿蜡柱状节理网络的圆柱型不规则柱状节理岩体试件典型破坏模式分为三种：在近似水平倾角情况下,试件表现为劈裂-滑移复合破坏；在中等水平倾角情况下,试件表现为沿柱状节理面的剪切滑移破坏；在近似竖直情况下,试件表现为沿柱体轴向的压屈-劈裂破坏。
（3）与现有水泥浆黏结制样方法相比,以脆性绿蜡为打印材料,结合3D打印技术的不规则柱状节理岩体试件的一次成型制备方法,在提高制样效率的同时能够较好模拟真实柱状节理的力学响应。
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图 6 桩身水平位移、弯矩对比
Figure 6. Comparison of lateral displacement and bending moment of piles
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图 9 不同长径比下桩身水平位移比
Figure 9. Lateral deflections ratio of piles under different ratios of length to diameter
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图 10 不同长径比下桩身弯矩比
Figure 10. Ratios of bending moment of piles under different ratios of length to diameter
表 1 不同工况下Mmax
Table 1 Mmax under different working conditions
(103 kN·m) 荷载工况 桩1
(无V0)桩1
(有V0)桩1
(V0+γ+τ)桩2
(无V0)桩2
(有V0)桩2
(V0+γ+τ)Gs=0/(kN·m-1) 1.0606 1.0468 1.0469 6.06584 7.1708 7.2339 Gs=10/(kN·m-1) 1.0578 1.0451 1.0452 6.06575 7.1724 7.2354 Gs=20/(kN·m-1) 1.0551 1.0434 1.0435 6.06568 7.1740 7.2368 Gs=40/(kN·m-1) 1.0495 1.0400 1.0401 6.06549 7.1770 7.2396 
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表 2 各土层计算参数
Table 2 Parameters of soil layers
工况 a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 上层土厚度L3/m 0 1 3 5 0 1 3 5 稍密粉土层参数 m =6 MN/m4, =0.35, Es =7 kPa, τ =120 kPa 砂砾层参数 m =60 MN/m4, =0.25, Es =70 kPa, τ =30 kPa
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