0.   引言

土–水特征曲线（SWCC）描述了土体含水率随基质吸力变化的函数关系，在非饱和土的研究中起着非常重要的作用。以SWCC为理论基础，非饱和土在强度、渗透、固结和本构关系等方面的研究已在过去的几十年里得到了广泛的开展^[1-3]。SWCC相关数据可以通过压力板法、滤纸法和蒸气平衡等方法进行测量^[4-5]。然而，这些方法仅能获得离散的数据点，还需将试验数据与相关模型进行拟合并形成明确的函数表达式才能直接应用于其他理论研究。

SWCC模型可划分为物理模型和经验模型。前者主要是基于域理论、土壤参数或孔隙几何特征所建立的模型，后者一般是采用统计分析方法通过拟合建立的模型，其拟合参数大都不具备物理意义。因此，物理模型相较于经验模型能更准确地解释土体性质。另一方面，现有经验模型^[6-7]通常假设土体为理想的孔隙空间结构，即假设土体具备单峰特征。然而，已有研究表明，许多土壤的孔隙结构表现出双峰特征^[8-9]，因此，这些经验模型更符合单峰孔隙结构土，对于具备双峰孔径分布特征的土体并不适用。

双峰SWCC模型通常由两种方法建立。第一种是将单峰SWCC模型进行叠加^[10-11]，该方法得到的双峰SWCC模型通常为经验模型，存在较多没有明确物理意义的拟合参数。第二种是根据土体的结构特征，如双峰粒径/孔径分布特征等建立模型。Liu等^[12]利用对数正态分布近似土体的孔径分布函数，基于此建立了双峰SWCC模型。Satyanaga等^[13]基于双峰粒径分布的数学表达式建立了双峰SWCC模型。这类模型中的参数具有一定物理意义，但其表达式通常较为复杂。

大量研究表明，在自然条件下，许多类型的岩土体具有符合分形特征的孔径和粒径分布，有学者已证明分形理论能较为有效地描述岩土体颗粒和孔隙分布规律，基于此，现已形成较为成熟的土-水特征曲线分形模型体系，其有效性已得到较为充分的验证^[14-19]。目前，土体分形特征的研究主要面向单峰孔隙结构土，对双峰孔隙结构土的工程特性研究相对较少。

本研究通过叠加土体的两级孔隙域，得到了双峰孔隙结构土的PSD，并基于此建立了双峰SWCC分形模型。将该模型应用于20组已发表的SWCC数据进行拟合，结果表明该模型具有良好的拟合性能和较广的适用范围。此外，基于多重分形理论提出了一种孔隙划分方法。利用该方法对3类土体的集聚体间和集聚体内孔隙进行了划分，结果表明该方法较为准确。本研究可为双峰SWCC在土体压缩特性、保水特性和本构关系等方面的进一步应用提供基础。

1.   单峰土-水特征曲线分形模型

研究表明，单峰孔隙结构土的PSD可用Menger海绵模型模拟。陶高梁等^[20]基于Menger海绵模型中的孔径分布规律，建立了三维空间的颗粒体积分形模型：

求得在d_min≤d≤d_max范围内孔径分布密度函数可表示为

式中，V_a为土颗粒总体积，L₂为测量范围的总尺度，d为孔径；D为分形维数，用于反映自然物体的不规则性，可表征土体的孔隙分布特征；c′为常数，可由c′=(3-D)L₂^D确定。

假设大孔隙中的水比小孔隙中的水优先排出，则根据Young-Laplace方程，土壤吸力与孔径大小的关系可表述为

式中，$\psi$为土壤吸力，T_s为表面张力，θ为接触角。

随着吸力的增加，土体中的孔隙水开始排出，当吸力到达某一定值时，需要使吸力产生很大的改变才能继续排水，称该吸力值为残余吸力ψ_r，对应于残余含水率w_r。为计算方便，本研究对前人研究中的假设进行了参考^{[14, 21]}，即假设土体含水率在超出残余状态后不再下降。残余吸力对应的孔隙尺寸可通过式（3）计算，记为d_r，储存残余水分的孔隙为d_min到d_r这一范围。单峰孔隙结构土的孔径分布如图 1所示。

图  1  单峰孔隙结构土的孔径分布

Figure  1.  PSD of single-porosity structural soil

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根据式（2）表示的孔径分布密度函数，直径小于d的孔隙累计体积V(≤d)可表示为

将上式乘以水的密度，可获得土体的含水率w (≤d)^[22]：

将式（3）代入式（5），w(≤d)可转换为w(ψ)：

当d =d_max时，w (≤d_max)等同于饱和含水率w_s：

式中，${\psi _{\text{a}}}$为进气值，是土体从饱和状态转变为非饱和状态的临界吸力值，与土体最大孔径d_max相关。

根据式（6），（7），可得

式中，$\psi _{\text{r}}^{}$ >> ${\psi _{\text{a}}}$，$\psi _{\text{r}}^{ - \left( {3 - D} \right)}$相比于$\psi _{\text{a}}^{ - \left( {3 - D} \right)}$可忽略不计，故将式（8）简化为

则单峰SWCC可表示为

利用南宁膨胀土的试验数据^[23]，验证了用式（2）表示孔径分布密度函数（PSD）的可行性，并评价了式（10）所表示的单峰SWCC模型的拟合性能。

根据SWCC拟合结果可求得土体分形维数D，将D与L₂代入式（2）得到南宁膨胀土的理论PSD，并将其与压汞试验（MIP）测得的PSD进行了比较，结果如图 2（a）所示。对于MIP试验的样品，L₂=$\rho _{\text{d}}^{ - 1/3}$，其中${\rho _{\text{d}}}$为样品的干密度。从图 2（a）可看出，式（2）能够准确反映较大孔隙的PSD，在较小孔隙区域代表的阴影部分，分形理论所描述的孔隙分布特征与实际情况有较大差异，这是利用本文模型描述土体PSD所存在的缺陷。但是，其累计孔隙体积非常接近，即面积①+面积②=面积①+面积③。土-水特征曲线给出的含水率与基质吸力的关系，实质反映的是小于某孔径d的累计孔隙体积与孔径d的关系。图 2（b）为式（10）的拟合结果，可以看出该模型拟合效果较好。因此，只要分形理论反映的累计孔隙体积-孔径分布规律与实际情况相符便能有效预测土-水特征曲线。

图  2  单峰SWCC模型的拟合结果

Figure  2.  Fitting results of proposed unimodal SWCC model

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2.   双峰土-水特征曲线分形模型

如引言部分所述，土壤呈现双峰SWCC是由于其双峰结构特征导致的。若粗颗粒形成的孔隙不能完全被细颗粒填满，土壤中就会出现两级孔隙域，即集聚体间孔隙和集聚体内孔隙，如图 3所示。

图  3  双峰孔隙结构土的微观孔隙结构

Figure  3.  Microstructure of soil with bimodal pore structure

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本节提出了一种可用来表示双峰孔隙结构土PSD的方法。将双峰孔隙结构土的孔径分布看作两级孔隙域在不同孔径范围内的叠加。根据式（2）可分别得到集聚体间和集聚体内孔隙的孔径分布密度函数，将其叠加获得双峰孔隙结构土的PSD。

根据双峰SWCC的特点，可将双峰孔隙结构土的排水过程分为两个阶段。第一个阶段为集聚体间孔隙的吸力范围，随着土壤吸力的增加，集聚体间孔隙中的水分逐渐被排出，直至完全排空，而集聚体内孔隙仍处于饱和状态。第二阶段为集聚体内孔隙的吸力范围，此时集聚体内孔隙开始由饱和状态向残余状态排水。图 4（a）为第一阶段结束后的孔隙分布，图 4（b）为残余状态时的孔隙分布，分别对应集聚体间和集聚体内孔隙吸力范围内孔隙水的最终状态。其中，d_mx和d_mn分别代表集聚体内孔隙的最大和最小孔径，d_sx和d_sn分别代表集聚体间孔隙的最大和最小孔径，d_mr用于表示集聚体内孔隙的临界残余孔径。

图  4  双峰孔隙结构土的孔径分布

Figure  4.  PSD of soil with bimodal pore structure

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根据式（2），集聚体间和集聚体内孔隙的孔径分布密度函数分别为

式中，c_s和c_m为常数，D_s和D_m分别为集聚体间和集聚体内孔隙的分形维数。

通过对式（12）进行积分运算，可得到集聚体内孔隙体积V_ms和储存残余水分的孔隙体积V_mr：

假设集聚体内和集聚体间孔隙的PSD是连续的，则双峰孔隙结构土的累积孔隙体积V (≤d)可表示为

式（12）在d=d_mx处收敛于0，因此，当d > d_mx时，f_m(d)=0。令d_mx=d_sn对式（12）的结果没有影响。则式（15）可化简为

式（16）表示单位质量土颗粒中直径≤d的孔隙累积体积。将式（16）乘以水的密度${\rho _{\text{w}}}$，得到土体的含水率：

式中，w_mr为残余含水率，w_ms为集聚体内孔隙的饱和含水率，与V_ms对应。

将式（3）代入式（17）得到

式中，$\psi _{{\text{sa}}}^{}$为集聚体间孔隙的进气值，$\psi _{{\text{ma}}}^{}$和$\psi _{{\text{mr}}}^{}$分别为集聚体内孔隙的进气值和残余吸力。这些吸力值对应的孔径大小依次为d_sx，d_mx和d_mr。

在集聚体间孔隙的吸力范围内，SWCC表示为

则完全饱和时，饱和含水率w_ss可表示为

将式（19）除以式（20）得到

由于$\psi _{{\text{ma}}}^{}$>>$\psi _{{\text{sa}}}^{}$，$\psi _{{\text{ma}}}^{ - \left( {3 - {D_{\text{s}}}} \right)}$相对于$\psi _{{\text{sa}}}^{ - \left( {3 - {D_{\text{s}}}} \right)}$可忽略不计，故将式（21）化简为

在集聚体内孔隙的吸力范围，SWCC表示为

则集聚体内孔隙饱和时，饱和含水率w_ms表示为

将式（23）除以式（24）得到

由于ψ_mr>>ψ_ma，$\psi _{{\text{mr}}}^{ - \left( {3 - D} \right)}$相对于$\psi _{{\text{ma}}}^{ - \left( {3 - D} \right)}$可忽略不计，故将式（25）简化为

结合式（22）和式（26），双峰SWCC可表示为

3.   验证与比较分析

3.1   模型拟合性能验证

本节的主要目的是评估本文提出的双峰SWCC模型（式（27））的拟合性能。将该模型与Burger等^[10]提出的模型（以下简称BS模型）及Li等^[24]提出的模型（以下简称Li模型）进行了比较。选择这两个模型的原因如下：①本文模型与Li模型均为物理模型，且两者表达式中存在一些具有相同物理意义的拟合参数。因此，可以通过比较两个模型的参数拟合值来验证本文模型的准确性。②本文模型与BS模型的表达式在形式上相似，但前者为物理模型，后者为经验模型。通过比较两个模型的拟合结果，可探究两者之间的关系和差异。本节所采用的双峰SWCC相关数据的编码和来源及部分基本物理参数如表 1所示。

表  1  本研究中使用的土壤数据的编码、来源和性质

Table  1.  Codes, sources and properties of soil data used in this study

编码	土壤类型	相对质量密度	粒子比率（砂砾/砂/淤泥/黏土）	堆积密度	孔隙比	来源
11491	壤土	2.65	6.12/28.99/48.89/15.48	1.89	0.89	Soil[25]
11538	黏壤土	2.62	4.70/26.83/44.68/23.5	1.71	1.23
SB3	香港腐殖质土壤	—	—	—	0.85
S3	砂壤土	2.65	0/69.7/25.6/4.70	2.13	0.41	Satyanaga等[13]
S4	砂壤土	2.65	0/59.8/33.9/6.30	2.13	0.39
JF3	粉土	2.70	—	—	0.51	Rahardjo等[26]
JF13	粉土	—	—	—	0.34
2601	粉砂壤土	2.53	0/32.7/41.1/26.2	1.08	0.57	UNSODA[27]
2602	砂壤土	2.63	0/33.9/41.8/24.3	1.21	0.54
2530	壤土	2.64	—	1.36	0.48
2590	壤土	2.59	0/50.3/32.6/18.7	1.22	0.53
2591	壤土	2.65	0/49.1/29.1/21.8	1.51	0.43
2592	粉砂壤土	2.78	0/4.30/70.9/ 24.8	1.69	0.39
2731	粉砂壤土	2.61	0/24.8/58.2/17.0	1.38	0.47
2750	壤土	2.59	0/51.7/29.8/18.5	1.01	0.61
2751	砂壤土	2.65	0/55.4/26.0/18.6	1.28	0.52
2752	壤土	2.67	0/50.0/31.0/19.0	1.45	0.46
2753	砂壤土	2.69	0/54.4/28.3/17.3	1.42	0.47
2760	粉砂壤土	2.58	0/39.4/55.0/5.60	1.13	0.56
2761	粉砂壤土	2.65	0/40.7/54.2/5.10	1.28	0.52

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将3个模型分别应用于表 1中的SWCC相关数据，求得各模型的拟合参数并得到RMSE和R_adj²两个用于评价模型拟合性能的指标，具体结果见表 2。RMSE为均方根误差，其值越小表示模型的拟合效果越好。R_adj²为校正可决系数，取值在0~1之间，其值越大，表示模型的拟合性能越好。由表 2可知，本文模型对20组土壤SWCC数据拟合结果的R_adj²均大于0.95，其中有15组超过0.99。此外，本文模型拟合得到的RMSE相较于另外两个模型更接近于0。因此，本文模型具有更良好的拟合性能。

表  2  各模型的拟合结果

Table  2.  Fitting results of models used in this study

模型	参数	11491	11538	2530	2753	2760	S3	S4	JF3	JF13	SB3
本文模型	Dm	2.559	2.039	2.812	2.722	2.808	2.525	2.203	2.538	2.403	2.593
	Ds	2.02	2.517	2.396	2.751	2.553	2.079	2.1	2.075	2.111	2.308
	ψsa	1.665	1.3	31.49	3.27	7.336	3.317	4.606	20.53	25.28	0.9512
	ψma	41.53	80	1800	1089	1522	49.56	62.76	315	387.4	18.77
	wms	0.2571	0.2761	0.2241	0.3362	0.3727	0.2727	0.2546	0.1961	0.2007	0.2433
	wmr	0.01664	0.1845	0.001621	2.75×10-6	0.02613	0.0003045	0.02727	0.04201	0.127	0.02796
	Radj2	0.9987	0.9955	0.9883	0.9978	0.999	0.9957	0.9944	0.9643	0.9912	0.9991
	RMSE	0.002889	0.003976	0.007784	0.004863	0.002448	0.006224	0.006831	0.004169	0.001971	0.002456
Li模型	ψa	2.13	2.256	52.9	5.572	12.25	17.24	19.05	30.4	33.26	1.655
	ψa2	72.5	99.9	2037	1848	3000	32.34	34.3	569.2	1204	16
	ψr	617.5	4757	1.04×105	2.744×104	2.07×105	354.8	272	1110	7290	336.7
	ψt	2.498	.951	91.72	13.9	21.43	29.01	31.53	41.79	45.83	2.039
	wr	0.09464	0.1188	0.09787	0.1372	0.1485	0.1409	0.1404	0.06739	0.07216	0.1062
	ws	0.4159	0.5317	0.5269	0.6141	0.6544	0.487	0.4553	0.3052	0.3294	0.4493
	Radj2	0.9889	0.9849	0.9987	0.9881	0.9899	0.9954	0.9871	0.9976	0.9652	0.9873
	RMSE	0.009009	0.008714	0.003372	0.01163	0.008378	0.006455	0.01036	0.001139	0.004412	0.0103
BS模型	λ	0.9299	0.4875	0.6039	0.2489	0.4466	0.5556	1.831	0.9253	0.9244	0.711
	λ′	0.4509	0.9887	0.1903	0.2782	0.1753	0.6089	0.7974	0.5079	0.5963	0.4214
	ψa	1.5	1.287	31.49	3.27	7.342	3.769	4.91	20.51	25.28	0.9454
	ψc	41.45	80	1800	1089	1507	61.7	59.95	315	387.4	18.67
	w0	0.2577	0.2766	0.2241	0.3362	0.3728	0.2502	0.2631	0.1961	0.2007	0.2446
	wr	0.01982	0.1856	0.003904	4.73×10-7	3.94×10-7	0.02982	0.02732	0.05552	0.127	0.03137
	Radj2	0.9982	0.9938	0.9917	0.9989	0.9996	0.9954	0.9947	0.973	0.9902	0.9991
	RMSE	0.003368	0.004636	0.006541	0.003439	0.001599	0.006444	0.006628	0.003625	0.002074	0.002447
模型	参数	2590	2591	2592	2601	2602	2731	2750	2751	2752	2761
本文模型	Dm	2.531	2.582	2.751	2.654	2.772	2.313	2.763	2.792	2.75	2.605
	Ds	2.637	2.71	2.72	2.666	2.602	2.774	2.665	2.686	2.84	2.673
	ψsa	5.117	3.853	7.268	11.2	14.75	7.044	6.43	6.559	2.252	6.997
	ψma	1541	1989	1996	4999	2000	5000	2000	1914	1981	1117
	wms	0.2971	0.2358	0.2956	0.2594	0.3214	0.2488	0.3169	0.3519	0.297	0.2611
	wmr	0.07893	0.08197	0.1189	0.06081	0.007547	0.0005881	0.03899	1.8×10-10	6.41×10-6	0.0439
	Radj2	0.9999	0.9932	0.9808	0.9946	0.9899	0.9874	0.9921	0.9948	0.997	0.9966
	RMSE	0.001099	0.006441	0.006901	0.008827	0.009897	0.01231	0.01193	0.00641	0.005401	0.007732
Li模型	ψa	7.767	5.026	49.88	18.61	39.98	4.833	11.32	11.29	122.3	6.058
	ψa2	2182	2930	257.1	6017	584.3	5816	2709	5348	228.8	3134
	ψr	3.71×104	6.55×104	9.64×104	7.26×104	40.11	3×104	7.75×104	6.74×104	1.61×104	4.59×104
	ψt	22.61	19.35	890.8	64.49	4296	186.2	42.38	35.79	400.3	649.5
	wr	0.1235	0.1008	0.2005	0.1127	0.02503	0.09409	0.137	0.1342	0.2174	0.04908
	ws	0.6398	0.5078	0.6228	0.6584	0.629	0.5835	0.745	0.6332	0.7114	0.5999
	Radj2	0.9937	0.9969	0.9941	0.9999	0.9877	0.9677	0.9955	0.9987	0.9964	0.9806
	RMSE	0.008897	0.004374	0.003812	0.001311	0.0109	0.01967	0.009022	0.00317	0.005915	0.0184
BS模型	λ	0.363	0.2958	0.2408	0.3295	0.2743	0.2135	0.3257	0.3327	0.1829	0.5394
	λ′	0.315	0.7556	0.2936	0.4238	0.3764	0.6801	0.2727	0.2073	0.2487	0.3721
	ψa	5.118	4.045	4.731	11.02	15.57	6.148	6.194	6.781	2.401	10.57
	ψc	1477	1996	1997	5000	5000	5000	2000	1811	1650	744.9
	w0	0.2971	0.2361	0.2952	0.258	0.2697	0.2467	0.3152	0.3556	0.3103	0.2962
	wr	0.02091	0.1235	0.1406	0.09945	0.07164	0.004612	0.07228	0.000501	2.96×10-6	0.03637
	Radj2	0.9999	0.9927	0.9935	0.9944	0.9908	0.987	0.9908	0.9941	0.9964	0.9901
	RMSE	0.0011	0.006666	0.004006	0.009015	0.00943	0.0125	0.01285	0.006869	0.00586	0.01316

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3.2   对比Li模型

Li模型^[24]可以表示为

式中，w_s与w_r分别为饱和及残余含水率，$\psi _{\text{a}}^{}$与$\psi _{{\text{a2}}}^{}$分别为双峰SWCC的第一、第二进气值，$\psi _{\text{t}}^{}$与$\psi _{\text{r}}^{}$分别为双峰SWCC的第一、第二残余吸力值。

图 5为式（27）与式（28）分别对20组SWCC数据进行拟合得到的曲线。可以看出式（27）在大多数情况下比式（28）的拟合效果更好。少数土样，如代码为2530、2591、2592、2601、2750、2751和JF3的数据，式（28）的拟合效果更好。对于双峰形态特征不明显的SWCC数据（如代码为2530、2753、S3、SB3的土样），式（28）的拟合曲线近似单峰形态，而式（27）的拟合曲线可以清楚地显示其双峰特征。在高吸力情况下，式（27）与式（28）的预测情况存在一定差异，因此，两个模型在高吸力情况下的适用性和优劣性仍待进一步验证。

图  5  本文模型与Li模型的拟合结果

Figure  5.  Fitting results of proposed model and Li model

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在拟合过程中，参数的初始值和取值范围都会对拟合结果产生较大影响，参数的取值范围越精准，拟合结果越准确。式（27）中有6个参数：w_ms，w_mr，$\psi _{{\text{sa}}}^{}$，$\psi _{{\text{ma}}}^{}$，D_s和D_m，其中只有$\psi _{{\text{sa}}}^{}$和$\psi _{{\text{ma}}}^{}$没有明确的取值范围（0 < w_ms /w_mr < 1，2 < D_s/D_m < 3）。式（28）同样有$\psi _{\text{a}}^{}$，$\psi _{{\text{a2}}}^{}$，$\psi _{\text{r}}^{}$，$\psi _{\text{t}}^{}$，w_r和w_s共6个参数，但其中有4个参数$\psi _{\text{a}}^{}$，$\psi _{{\text{a2}}}^{}$，$\psi _{\text{t}}^{}$，$\psi _{\text{r}}^{}$取值范围不明确（0 < w_s/w_r < 1），故式（27）比式（28）更容易到达最佳拟合效果。根据这些参数的物理意义，$\psi _{{\text{sa}}}^{}$与$\psi _{\text{a}}^{}$，$\psi _{{\text{ma}}}^{}$与$\psi _{{\text{a2}}}^{}$，w_mr与w_r分别相互对应。从表 2可以看出，通过式（28）得到的集聚体间孔隙和集聚体内孔隙的进气值通常比式（27）得到的值大。此外，这两个模型得到的残余含水率均没有明确的规律。在图 5中，将式（27）得到的特征点（ψ_sa，w_ss）和（ψ_ma，w_ms）标记于拟合曲线上，可以观察到这些点准确位于土壤孔隙排水过程的临界位置处，从物理意义上看，式（27）得到的参数是准确的。

3.3   对比BS模型

BS模型^[10]可以表示为

式中，w₀为集聚体内孔隙中的水开始排出时对应的含水率，ψ_a和ψ_c分别为集聚体间孔隙和集聚体内孔隙的进气值，$\lambda$和$\lambda '$分别代表集聚体间孔隙和集聚体内孔隙的孔径分布指数。

式（27）与式（29）有相似的表达式，但本文模型（式27）中2 < D_s/D_m < 3，而BS模型（式29）中与D_s/D_m对应的参数$\lambda$/$\lambda '$并没有明确的取值范围。由于参数的初始值和取值范围都会对拟合结果产生较大影响，这使得式（27）和（29）的拟合结果存在一定差异，如编号为S3、S4、2591和2761的土样，特别是当测量数据中不包含过渡区（如S4土样）时，这种影响更为明显。拟合参数有明确的适用范围会提高模型应用的准确性，因此本文模型优于BS模型。

4.   双峰SWCC在孔隙分类中的应用

4.1   基于分形理论的孔隙分类方法

双峰孔隙结构土的集聚体间和集聚体内孔隙具有不同的分布特征和显著的尺寸差异，因此二者的失水过程并非同时进行。处于集聚体间和集聚体内孔隙中的水具备不同的应力条件，因此需要分别考虑其对于土壤整体强度的贡献^[28]。目前，许多学者^[29-30]都曾提出孔隙分类的方法，但所得结果存在较大差异，难以对其精度进行比较。此外，也没有人利用多重分形理论来研究这个问题。因此，提出一种能准确划分土壤孔隙且具有明确物理意义的方法是非常有必要的。本节基于多重分形理论，并利用本文提出的双峰SWCC模型对双峰孔隙结构土的孔隙进行了分类。

多重分形理论揭示了材料演化过程中的多层次分形特征。分形维数的变化与分形几何的演化密切相关，分形维数变化的时刻对应于孔隙结构的尺寸界限。孔隙结构的尺寸界限在本质上即表示土壤中集聚体间孔隙与集聚体内孔隙的临界值^[31-32]。本节基于式（27）所表示的双峰SWCC推导了一种计算双峰孔隙结构土体分形维数的方法，具体推导过程如下：

（1）在集聚体内孔隙的吸力范围（$\psi _{{\text{ma}}}^{}$ < ψ < $\psi _{{\text{mr}}}^{}$）内，SWCC表示为

由于$\psi _{{\text{mn}}}^{ - \left( {3 - {D_{\text{m}}}} \right)}$收敛于0，可将式（30）简化为

（2）在集聚体间孔隙吸力范围（$\psi _{{\text{sa}}}^{}$ < ψ < $\psi _{{\text{ma}}}^{}$）内，SWCC表示为

由于d=d_mx时，f_m(d)收敛于0，则${c_{\text{m}}}d_{{\text{mx}}}^{{\text{(}}2 - {D_{\text{m}}}{\text{)}}} = 0$。对于集聚体间孔隙的吸力范围，排水的孔隙尺寸应满足d > d_mx。因此，${c_{\text{m}}}d_{}^{{\text{(}}2 - {D_{\text{m}}}{\text{)}}} = 0$，式（32）可转化为

当d > d_mx时：

当d=d_mx时，f_m(d)表示为

由于$d_{{\text{mx}}}^{{\text{(}}{D_{\text{s}}} - {D_{\text{m}}}{\text{)}}}$为非零常数，故：

当d > d_mx时，基于式（37）可得

将式（34）和（38）代入式（33）可得

将式（31），（39）取对数，可得

$\ln [{c_{\text{m}}}{\rho _{\text{w}}}{(4{T_{\text{s}}} \cdot \cos \theta )^{3 - {D_{\text{s}}}}}d_{{\text{mx}}}^{{D_{\text{s}}} - {D_{\text{m}}}}/(3 - {D_{\text{m}}}) + ({w_{{\text{ss}}}} -$${w_{{\text{ms}}}})\psi _{{\text{sa}}}^{3 - {D_{\text{s}}}}{\text{]}}$和ln$[{c_{\text{m}}}{\rho _{\text{w}}}{(4{T_{\text{s}}}\cos \theta )^{3 - {D_{\text{m}}}}}/(3 - {D_{\text{m}}})]$均为常数。分别用A和B表示，则式（40）简化为

将式（41）应用于SWCC数据进行拟合，可基于拟合直线的斜率求得D_s和D_m。由于SWCC是连续的，故拟合得到的直线必然在某一吸力值下发生突变，该点横坐标对应土体从集聚体间孔隙排水状态到集聚体内孔隙排水状态的临界吸力值。该吸力值前后，土-水特征曲线表现出不同的分形特征，即分形维数发生变化，该吸力值对应的孔隙大小是区分集聚体间孔隙和集聚体内孔隙的临界孔径。

4.2   方法验证

采用桂林红土（e=0.96）^[33]、桂林红土（e=1.7）^[15]和砂-土混合物^[34]的相关数据对本文孔隙划分方法进行了验证。图 6为利用式（41）对3种土样SWCC数据进行拟合的结果。可以看出，3种土样的拟合直线均出现拐点，从而证实了双峰孔隙结构土中多重分形特征的存在。该拐点横坐标对应土体从集聚体间孔隙排水状态到集聚体内孔隙排水状态的临界吸力ψ₀。

图  6  本文孔隙分类方法的拟合结果

Figure  6.  Fitting results of proposed pore classification method

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当采用分形维数变化点对应的临界吸力值来划分压汞法测得的PSD时，需要考虑SWCC试验与压汞试验所使用的试样尺寸差异引起的尺寸效应。因此，在式（3）中引入样本尺寸效应系数，将其改写为

式中，$\zeta$为样本尺寸效应系数，取0.1^[35]，${T_{\text{s}}}$取0.072 N/m，θ取0^[36]。

将ψ₀代入式（42）可得到临界孔径d₀。图 7为采用本文方法进行孔隙分类的结果，可以观察到临界孔径d₀准确位于3组实测PSD曲线的波谷处，并分离出两个波峰。利用该方法，无需进行微观试验，即可获得区分集聚体间和集聚体内孔隙的临界孔径。

图  7  3组样品的实测PSD及孔隙分类结果

Figure  7.  Measured PSD and pore classification results of three groups of samples

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5.   结论

本文以Menger海绵模型为基础提出了一种双峰孔隙结构土PSD的分形描述方法，并以此建立了双峰SWCC模型。此外，基于提出的双峰SWCC模型和多重分形理论提出了一种孔隙分类方法。主要结论如下：

（1）基于Menger海绵模型的孔径分布密度函数可以较准确地表征d > d_r孔径范围内的PSD，在d < d_r孔径范围内有较大差异，这是本文模型存在的缺陷。但是，其累计孔隙体积非常接近，因此能有效预测土-水特征曲线。双峰孔隙结构土的PSD可以看作集聚体间和集聚体内孔隙PSD的叠加，基于此本文提出了双峰PSD的表达式，并建立了双峰SWCC模型。

（2）本文提出的双峰SWCC模型具有良好的拟合性能。采用20组已发表的土壤数据进行拟合，并与其他学者提出的模型进行了对比，通过比较拟合性能评价指标，发现本模型拟合性能优良。

（3）本文提出可以将分维数变化点对应的孔径作为区分集聚体间和集聚体内孔隙的临界孔径。方法验证结果表明，本文方法求得的临界孔径准确位于实测PSD曲线的波谷处，结果较为准确。