基于动态强度折减-改进矢量和法的边坡稳定性分析

王思源; 童小东

doi:10.11779/CJGE20220548

基于动态强度折减-改进矢量和法的边坡稳定性分析 English Version

王思源^1,,
童小东^{1, 2, ,}

1.
东南大学土木工程学院, 江苏南京 211189
2.
东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室, 江苏南京 211189

基金项目:

国家自然科学基金项目 51078082

详细信息

作者简介:
王思源(1998—)，男，硕士研究生，主要从事岩土工程数值模拟方面的研究工作。E-mail: wsyseuswjtu@163.com

通讯作者:
童小东, E-mail: tongxiaodong88@163.com

中图分类号: TU435
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出版历程
- 收稿日期: 2022-05-02
- 网络出版日期: 2023-02-23
- 刊出日期: 2023-06-30

Stability analysis of slopes based on dynamic strength reduction- improved vector sum method

WANG Siyuan^1,,
TONG Xiaodong^{1, 2, ,}

1.
School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China
2.
Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structures, Ministry of Education (Southeast University), Nanjing 211189, China

摘要

摘要: 在边坡稳定性分析中，极限平衡法与矢量和法均假定边坡失稳是由剪切破坏造成的，因此难以正确求解坡体上部存在拉裂区这类复杂边坡的安全系数，应用整体强度折减法虽能求得前述复杂边坡的安全系数，却难以搜索得到包含坡体上部拉裂区的完整滑动面。针对上述问题，采用动态强度折减法来搜索边坡滑动面，并提出了可兼顾边坡张拉破坏与剪切破坏的改进矢量和法，从而可更好地求解边坡稳定性问题。算例表明，应用所提出的方法不仅能搜索得到完整的边坡滑动面，而且求得的安全系数与整体强度折减法基本相同。所提出的方法适用于土质、岩质以及土岩组合等各类型边坡的稳定性分析，且受主滑方向、网格尺寸、模型尺寸的影响较小，有助于推动边坡稳定性分析方法的进一步完善。
- 边坡稳定性 /
- 张拉破坏 /
- 动态强度折减法 /
- 改进矢量和法
Abstract: In the slope stability analysis, both the limit equilibrium method and the vector sum method assume that the slope instability is caused by shear failure, accordingly, it is difficult to correctly solve the safety factor of the complex slope with tensile failure at the upper part, while the global strength reduction method can obtain the safety factor, it is difficult to search for the complete sliding surface containing the tensile failure zone in the upper part of the slope. In view of the above problems, the dynamic strength reduction method is adopted to search for the sliding surface of slope, and an improved vector sum method which can take into account the tension failure and shear failure is proposed, so that the slope stability problem can be solved better. The results of three cases show that the dynamic strength reduction method can completely reflect the sliding surface of slopes, and the safety factor obtained by the improved vector sum method is basically the same as that by the global strength reduction method. The proposed method is applicable to the stability analysis of various types of slopes, such as soil, rock and soil-rock combinations, and is less affected by the main sliding direction, mesh size and model size, which helps to promote the further improvement of slope stability analysis methods.
- slope stability /
- tensile failure /
- dynamic strength reduction method /
- improved vector sum method

HTML全文

0. 引言

当前中国隧道建设方兴未艾，工程中出现了不少多洞近距离并行设置的情况。隧道建设期间，相邻隧道净距较小时，将存在明显的相互影响，降低围岩稳定性。多洞并行隧道围岩稳定性及失稳破坏机理问题，亟需从理论计算分析等方面开展深入研究，以促进围岩稳定性评价及加固方案制定等工作。

对于隧道围岩稳定性课题，岩土塑性极限分析上限法可用于探究极限状态下隧道临界荷载与围岩潜在破坏模式^[1-9]。在并行隧道方面，谢骏等^[10]构建了双洞并行圆形隧道的破坏模式，获得了稳定性系数上限解；吕绍文^[11]应用平移破坏模式推导了双洞平行隧道内部支护力上限解表达式；Osman^[12]提出了双洞并行隧道连续变形破坏模式；Yamamoto等^[13]采用刚性滑块上限法和极限分析上、下限有限元法研究了双洞圆形隧道稳定性；Sahoo等^[14]应用极限分析上限有限元法分析了双洞并行隧道的稳定性；Zhang等^[15]和Yang等^[16]采用刚体平动运动单元上限法评价了多参数影响下的并行双洞椭圆和圆形隧道稳定性，获得了围岩滑移线网破坏模式。

隧道围岩稳定性评价可分为强度折减法^[17]获得安全系数和荷载增加法对应的稳定系数。上述研究多采用荷载增加法，考虑了隧道内部支护力^[10-12]、地表超载^{[13, 16]}和围岩自重^[14-15]等因素的影响。对于双洞并行隧道围岩稳定性的文献报道，还包括应用计算分析^[18]和模型试验^[19]等研究手段。

由于铁路、公路及市政交通廊道的空间限制，工程中出现了三洞并行小净距隧道^[20-23], 甚至四洞并行的情况^[24]。此时，小净距条件下相邻隧道相互影响集中体现在中夹岩区域的稳定性，净间距对围岩潜在破坏模式的影响较之并行双洞的情况更加显著，需开展定量分析研究。

本文针对多洞隧道围岩稳定性问题，考虑自重作用下并行等间距毛洞隧道的简化模型，利用刚体平动运动单元上限法^{[9, 25]}开展系统分析，探讨多洞净间距S、隧道埋深H及围岩强度等综合参数对稳定性的影响规律，并绘制稳定系数N_cr图表，以期从定量角度揭示围岩滑移线网破坏模式的演化过程，为多洞并行隧道设计、施工和加固方案的制定等问题提供数据支撑。

1. 刚体平动运动单元上限法

刚体平动运动单元上限法^{[9, 25]}（简称UB-RTME）属岩土破坏塑性极限分析上限理论范畴。采用“刚体平动三角形单元+速度间断线”的方式离散计算域，设置节点坐标与单元速度作为优化变量，通过极限状态虚功率平衡和内部耗散能最小化获取目标函数的表达式，同时满足速度间断线塑性流动约束、网格形态控制约束以及模型速度约束，建立非线性规划求解极限荷载的上限解。

非线性规划运算亦是搜索极限状态滑移线网的过程，须以多次的网格更新实现。主要包括无效单元合并与剔除、有效单元再次加密以及网格继承与修正等三类网格更新策略。计算流程如图 1。

图 1 刚体平动运动单元上限法计算流程图

Figure 1. Flow chart of upper bound method for rigid translational motion elements

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2. 多洞并行隧道围岩稳定性模型

2.1 问题描述

多洞并行隧道工程修建过程中，一般各单洞开挖面相互错开，属于三维空间的施工力学问题。为便于从保守角度分析围岩稳定性与破坏机理，这里作如下简化：

（1）不计施工过程，稳定性分析模型简化为平面应变问题，且多洞并行隧道按等间距设置。

（2）圆形隧道直径均为D，相邻隧道净间距均为S，地表水平且埋深均为H。

（3）围岩为均质连续的莫尔-库仑材料，强度指标为内摩擦角ϕ和黏聚力c。

（4）不考虑地下水及衬砌支护作用。

（5）按重度增加法评价围岩失稳临界状态。

如图 2，经概化的模型旨在探究围岩自重作用下的自承性能及多洞隧道潜在破坏模式的规律，以净间距S增加趋势反映中夹岩至单个隧道独立承载的演变过程，计算分析采用基于网格更新的刚体平动运动单元上限法。

图 2 多洞并行等间距隧道围岩稳定性分析模型

Figure 2. Model for stability of surrounding rock of parallel multi-line tunnels with equidistance

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2.2 运动单元上限法计算模型

如图 2（a），考虑模型对称性，对部分区域进行建模分析，建立多洞并行隧道围岩稳定性上限分析与计算模型如图 2（b）所示。图中未显示三角形网格，模型水平和竖向尺寸分别为D/2+S/2和H+D+L，其中L确定了下部范围，其值随H值变化以消除边界效应。地表（边界6）为水平自由地表，边界1，3，5均为模型对称轴，将其水平速度设为0；模型底部（边界4）水平和竖向速度均设为0。

仅考虑围岩自重荷载，按重度增加法施加体力约束为

${\displaystyle \sum _{i=1}^{{n}_{\text{e}}}{A}_{i}{v}_{i}}=-1\text{，}{A}_{i} > 0\text{ }(i=1,\cdots ,{n}_{\text{e}}) 。$

(1)

式中： ${\gamma _{{\text{cr}}}} = \sum\limits_{i = 1}^{{n_d}} {{P_{d,i}}} = c\sum\limits_{i = 1}^{{n_d}} {{{\xi ''}_i}}$ 为三角形刚体单元i的面积，其数值恒大于零， ${\gamma _{{\text{cr}}}} = \sum\limits_{i = 1}^{{n_d}} {{P_{d,i}}} = c\sum\limits_{i = 1}^{{n_d}} {{{\xi ''}_i}}$ 为单元i的竖向速度分量， ${\gamma _{{\text{cr}}}} = \sum\limits_{i = 1}^{{n_d}} {{P_{d,i}}} = c\sum\limits_{i = 1}^{{n_d}} {{{\xi ''}_i}}$ 为模型单元总数。

依极限分析上限定理，将模型所有速度间断线耗散能之和最小化，获得运动单元上限法对应的非线性规划目标函数，也就是临界重度γ_cr：

${\gamma _{{\text{cr}}}} = \sum\limits_{i = 1}^{{n_{\text{d}}}} {{P_{{\text{d}},i}}} = c\sum\limits_{i = 1}^{{n_{\text{d}}}} {{{\xi ''}_i}} 。$

(2)

为方便分析，借鉴文献[14]的定义，令稳定系数N_cr=γ_crH/c，即临界重度γ_cr和隧道埋深H乘积与黏聚力c的比值，它是内摩擦角ϕ、埋深比H/D和净距比S/D的函数，具体求解时，N_cr还可表示为

${N_{{\text{cr}}}} = {{{\gamma _{{\text{cr}}}}H} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\gamma _{{\text{cr}}}}H} c}} \right. } c} = H\sum\limits_{i = 1}^{{n_{\text{d}}}} {{{\xi ''}_i}} 。$

(3)

式(2)，(3)中： ${P_{{\text{d}},i}}$ 为第i条速度间断线上耗散能；n_d为速度间断线总数； ${\xi _i}^{\prime \prime }$ 和 ${\xi _i}^\prime$ 为第i条速度间断线的过程变量，其表达式和约束条件为

$\Delta {x}_{i}={{x}^{\prime }}_{i}-{{x}^{″}}_{i}\text{，}\text{ }\Delta {y}_{i}={{y}^{\prime }}_{i}-{{y}^{″}}_{i}\text{ }\text{，}\text{ }$

(4a)

${{\xi }^{\prime }}_{i}=\Delta {x}_{i}{u}_{y,i}+\Delta {y}_{i}{v}_{y,i}-\Delta {x}_{i}{u}_{z,i}-\Delta {y}_{i}{v}_{z,i}\text{ }\text{，}$

(4b)

${{\xi }^{″}}_{i}=(-\Delta {y}_{i}{u}_{y,i}+\Delta {x}_{i}{v}_{y,i}+\Delta {y}_{i}{u}_{z,i}-\Delta {x}_{i}{v}_{z,i})/\mathrm{tan}\phi \text{ }\text{，}\text{ }$

(4c)

${{\xi }^{″}}_{i}+{{\xi }^{\prime }}_{i}\ge 0\text{ }\text{，}\text{ }{{\xi }^{″}}_{i}-{{\xi }^{\prime }}_{i}\ge 0\text{ }。$

(4d)

式中： $({x'_i},{\text{ }}{y'_i})$ 为第i条间断线的第一端点坐标， $({x''_i}{\text{, }}{y''_i})$ 为第二端点坐标； ${\text{ }}i = 1, \cdots ,{n_{\text{d}}}$ 。于是，以第一端点指向第二端点为正方向，顺时针和逆时针一侧的两个刚性单元对应的速度分量分别为(u_{y, i}, v_{y, i})和(u_{z, i}, v_{z, i})，。

式（4）满足了速度间断线上的相关联流动约束： $\Delta {v_i} = \left| {\Delta {u_i}} \right|{\text{tan}}\phi$ 。须知，所有间断线均施加该约束。

求解运动单元上限分析模型（见图 2（b））对应的非线性规划问题时，还需施加边界速度和几何约束：

${u}_{1,i}=0\text{ }，\text{ }{x}_{1,j}=0\text{ }，\text{ }D/2\le {y}_{1,j}\le D/2+H\text{ }$

$\text{ (}i=1,\cdots ,{n}_{1}\text{; }j=1,\cdots ,{n}_{1}\text{+1) }\text{，}\text{ }$

(5a)

${u}_{3,i}=0\text{ }，{x}_{3,j}=0\text{ }，\text{ }-D/2-L\le {y}_{3,j}\le -D/2\text{ }$

$\text{(}i=1,\cdots ,{n}_{3}\text{，}\text{ }j=1,\cdots ,{n}_{3}\text{+1) }\text{，}\text{ }$

(5b)

${u}_{4,i}=0\text{ }，\text{ }{v}_{4,i}=0\text{ }，\text{ 0}\le {x}_{4,j}\le D/2+S/2\text{ }，\text{ }{y}_{4,j}=-D/2-L$

$\text{(}i=1,\cdots ,{n}_{4}\text{ }\text{，}\text{ }j=1,\cdots ,{n}_{4}\text{+1) }\text{，}\text{ }$

(5c)

${u}_{5,i}=0\text{ }，\text{ }{x}_{5,j}\text{=}D/2+S/2\text{ }，\text{ }-D/2-L\le {y}_{5,j}\le D/2+H$

$\text{(}i=1,\cdots ,{n}_{5}\text{ }\text{，}\text{ }j=1,\cdots ,{n}_{5}\text{+1) }\text{，}$

(5d)

${\text{0}} \leqslant {x_{6,j}} \leqslant {{{D \mathord{\left/ {\vphantom {D 2}} \right. } 2} + S} \mathord{\left/ {\vphantom {{{D \mathord{\left/ {\vphantom {D 2}} \right. } 2} + S} 2}} \right. } 2},{\text{ }}{y_{6,j}} = {D \mathord{\left/ {\vphantom {D 2}} \right. } 2} + H$

$\text{(}j=1,\cdots ,{n}_{6}\text{+1) }\text{，}$

(5e)

$4({x}_{2,j}/){D}^{2}+4{({y}_{2,j}/D)}^{2}=1\text{ (}j=1,\cdots ,{n}_{2}\text{+1) }。$

(5f)

式中： ${u_{1,i}}$ 为边界1第i条边一侧单元的水平向速度， ${n_1}$ 表示边界1上施加约束的单元边总数；而 ${x_{1,j}}$ 和 ${y_{1,j}}$ 为边界1上第j个节点的坐标，式（5b）~（5f）同此命名。式（5a）~（5f）中的几何约束即限定边界上的单元节点坐标只能于相应边界上移动。如式（5f）圆方程限制隧道轮廓（边界2）上的节点只能在圆周上移动。除地表和隧道圆周轮廓上自由外，其余边界速度约束见式（5a）~（5d）。

多洞并行隧道围岩稳定性计算在既有程序基础上，设置式（1），（5）对应的速度和几何边界条件即可开展后续计算^[20]。

3. 多洞并行隧道围岩稳定系数N_cr

3.1 稳定系数N_cr变化规律

采用刚体平动运动单元上限法开展了2000余组参数条件下的多洞并行等间距隧道围岩稳定性计算，获得稳定系数N_cr与内摩擦角ϕ、埋深比H/D和净间距比S/D的关系曲线如图 3所示。选取的计算参数ϕ取值5°~30°，H/D取值2~10；S/D取值依从于H/D的变化，即不断增大S/D值依次计算直至相邻隧道的相互影响消失。此外，当接近单洞独立破坏状态时，S/D取值间隔适当减小。

图 3 不同参数条件下多洞并行等间距隧道围岩稳定系数N_cr关系曲线

Figure 3. Variation of stability number N_cr for different parameters in parallel multi-line tunnels with equidistance

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图 3（a）~3（i）分别为H/D=2~10对应的稳定系数N_cr曲线图。总体上看，随着隧道埋深比H/D的增大，相邻隧道相互影响的净间距比S/D范围变大，这与埋深增加上覆围岩荷载增大有关。净间距比S/D与稳定系数N_cr的关系可分述如下：①当S/D较小时（如S/D= 0.25），无论H/D和ϕ如何变化，N_cr值总是接近于0。这缘于中夹岩很窄，上覆岩层主要以自重荷载的形式作用于其上，从而围岩整体稳定性变差。②当S/D增大达到单洞隧道独自破坏的转化间距比S_tr/D时，N_cr增加至最大值且等于相同条件下单洞隧道围岩稳定系数 ${N_{{\text{cr(single)}}}}$ ，此时S/D继续增加，而N_cr值将不再变化。③当S/D小于S_tr/D时，N_cr值随着S/D增加而逐渐增大，且较之S/D=0.25的情况，H/D和ϕ对N_cr的影响逐渐增大。还可发现，S/D较小时N_cr值增加不明显，而S/D接近S_tr/D时，N_cr变化的差异同样很小。例如：取H/D=3、ϕ=30°，当S/D=2.875时，N_cr=14.103；而S/D=S_tr/D=4时，N_cr=14.194，相比前者仅增加了0.65%。④较之其它因素，内摩擦角ϕ增大引起N_cr迅速增大，同时随着S/D的增加，N_cr快速增至单洞条件下对应的稳定系数 ${N_{{\text{cr(Single)}}}}$ 。

3.2 发挥系数 ${\eta _{{\text{cr}}}}$ 变化规律

定义发挥系数 ${\eta _{{\text{cr}}}}$ 为多洞稳定系数N_cr与单洞稳定系数 ${N_{{\text{cr(Single)}}}}$ 之比，即 ${\eta _{{\text{cr}}}} = {{{N_{{\text{cr}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{N_{{\text{cr}}}}} {{N_{{\text{cr(Single)}}}}}}} \right. } {{N_{{\text{cr(Single)}}}}}}$ ，于是 ${\eta _{{\text{cr}}}}$ 可反映不同净距比S/D条件下多洞与单洞稳定性之间的关联规律。绘制ϕ为10°，20°，30°对应的发挥系数 ${\eta _{{\text{cr}}}}$ 曲线如所示。可看出，当S/D比较小时， ${\eta _{{\text{cr}}}}$ 值接近0，而随着S/D的增加， ${\eta _{{\text{cr}}}}$ 值逐渐增长直至最大值1。当隧道埋深比H/D增大时， ${\eta _{{\text{cr}}}}$ 随S/D增加的趋势变缓，达到单洞破坏对应的转化间距比S_tr/D增加。对比~可知，内摩擦角ϕ较大时， ${\eta _{{\text{cr}}}}$ 值随S/D的增加更快地达到最大值1。

图 4 不同参数条件下多洞并行等间距隧道围岩稳定系数N_cr与单洞隧道

${N_{{\text{cr(Single)}}}}$ 比值η_cr变化曲线

Figure 4. Curves of ratio η_cr for stability number N_cr to single tunnel

${N_{{\text{cr(Single)}}}}$ for different parameters in parallel multi-line tunnels

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3.3 转化间距比S_tr/D变化规律

上文提到，当多洞并行等间距隧道的净间距S增大到转换间距S_tr时，从失稳破坏角度可认为相邻隧道间的相互影响消失。因此，有必要进一步探究转换间距比S_tr/D的影响因素。将转换间距比S_tr/D与埋深比H/D的关系曲线绘制见图 5。可看出，除内摩擦角ϕ=30°的情况外，S_tr/D与埋深比H/D的增长基本呈线性关系，且ϕ值越小S_tr/D增长的比率越大，这与较小内摩擦角引起围岩较大扰动范围的一般规律相符。转换间距比S_tr/D与围岩内摩擦角ϕ以及埋深比H/D均直接相关，差异在于前者负相关而后者为正相关。多洞存在相互影响时，较大埋深比H/D提供了较大的自重荷载，易诱发围岩失稳破坏。

图 5 多洞并行隧道转化间距比S_tr/D与埋深比H/D关系曲线

Figure 5. Curves for conversion spacing ratio S_tr/D and buried depth ratio H/D in parallel multi-line tunnels

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4. 多洞并行隧道围岩潜在破坏模式

4.1 典型破坏模式特征分析

除稳定系数N_cr外，运动单元上限法对应的非线性规划运算，还可得到多洞并行隧道围岩潜在失稳破坏模式。为分析典型破坏特征及网格密度的影响规律，绘制ϕ=15°，H/D=3，S/D=3对应的滑移线网破坏模式展开讨论（图 6）。

图 6 多洞并行隧道围岩破坏模式(S/D=3, H/D=3, ϕ=15°)

Figure 6. Failure modes of surrounding rock for parallel multi-line tunnels (S/D=3, H/D=3, ϕ=15°)

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图 6（a）所示滑移线网破坏模式左右边界均为对称轴，上部和下部整体区域以简略形式显示。可看出，相邻隧道中夹岩区域的破坏表现为两簇滑移线网。从隧道周边散发，两簇滑移线于相邻隧道对称轴处交于一点。滑移线网范围内围岩破坏呈速度均不相等状态，即间断线两侧速度不连续。需说明的是，尽管模型网格划分为三角形刚体单元，后处理时筛除了无效速度间断线，因此滑移线网破坏模式更多地显示为由很多相邻三角形构成的四边形块体体系。

为揭示滑移线网速度场的规律，将破坏模式对应的速度间断线（滑移线）相对速度矢量闭合图绘制如图 6（b）。同时，定义隧道上方整体下沉区域的竖向速度为v₀，图 6（b）竖轴表示为无量纲竖向速度比v/v₀，横轴为水平速度比u/v₀；于是竖轴0到1的连线即为v₀，竖轴0到网状交叉任一点的连线为对应刚体单元的绝对速度；图 6（b）中网状速度矢量任意线段为对应速度间断线的相对速度。由图可知，隧道上方整体区域下沉速度为v₀时，滑移线网破坏区内部速度最大值超过4v₀，推测内摩擦角ϕ越大该趋势越明显，即围岩承载能力更好。

通常围岩破坏范围被速度间断线分割为多区域，其中塑性区可等效为密集的滑移线网形态。为探讨滑移网密度对稳定系数N_cr上限解的影响，将ϕ=15°，H/D=3，S/D=3时，稀疏网格对应的滑移线网破坏模式和速度矢量闭合图绘制如图 6（c），6（d），密集网格对应的绘制如图 6（e），6（f）。

对比可知，滑移线网稀疏时，速度间断线沿着两个交叉方向构成的滑移线变得棱角感突出，而速度矢量闭合图也更加稀疏曲折。然而，相同v₀条件下，滑移网破坏区内部速度矢量值更大，如最大内部速度超过5v₀，由此引起间断线总耗散能增大，这是稀疏网格（图 6（c））对应稳定系数N_cr=5.680，大于常规网格（图 6（a））对应N_cr=5.34的原因之一。依上限定理，较小的稳定系数上限解为较优解；说明网格密度增加，不仅破坏模式的刻画更为精细，同时还提高了N_cr上限解精度。

同样地，对常规网格（图 6（a））进一步加密获得滑移线网破坏模式和速度矢量图绘制如图 6（e），6（f）。可以发现，网格越密集滑移线网和速度矢量变得更加圆顺。此时，密集网格对应的稳定系数N_cr =5.316较之常规网格对应的5.34，并未带来计算精度的显著提升。然而，密集网格对应速度间断线总数n_d=438，接近常规网格n_d=149的3倍。考虑到运动单元上限分析对应的非线性规划的运算负担，速度间断线和单元数目的增加将带来运算效率的降低。因此，本文2000余组工况计算，均参考了图 6（a）对应的常规网格密度。

4.2 破坏模式演化规律

为反映相邻隧道净间距比S/D对破坏模式的影响规律，选取ϕ=15°，H/D=3条件下，不同S/D (0.25~5.0)对应的滑移网破坏模式绘制如图 7所示。为便于后续的定量分析，定义多洞并行隧道整体下沉区高度为H_c，具体见图 7（d）标示。

图 7 多洞并行隧道围岩破坏模式随净间距比S/D的演化规律(H/D=3, ϕ=15°)

Figure 7. Variation of failure mode of surrounding rock for parallel multi-line tunnels with net spacing ratio S/D(H/D=3, ϕ=15°)

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由图 7（a）知，当净间距很小（如S/D=0.25），上方围岩整体下沉引起隧道两侧岩柱产生小范围楔形破坏。当S/D逐渐增加至1.0，2.0，3.0（图 7（b）~7（d）），隧道两侧的楔形网状破坏范围逐渐扩展，大约在隧道上下中心线处开始交叉。滑移线网的扩展带来了速度间断线总数和长度的增长，引起破坏区域耗散能增加，对应于稳定系数N_cr的增大（由0.593增至5.340）。

由图 7（e）知，当S/D增加至4.0时，滑移网破坏范围进一步向外侧扩展，特别是上方于中心线处交叉范围更大，此时N_cr=6.535，与S/D=5.0单洞隧道独自破坏对应的N_cr=6.870相差不大（图 7（f））。说明由多洞相互影响破坏至单洞单独破坏的转换净间距比S_tr/D处于4.0~5.0。还可看出，单洞独自破坏时，破坏模式外侧产生了延伸到地表的贯通破坏面，且水平方向的扩展范围较小。

多洞并行隧道间夹岩破坏呈内部为滑移线网的楔形形状，这里将楔形体上下边线称之为主要破坏面。于是，选取典型参数绘制多洞并行隧道主要破坏面演化规律如图 8所示。

图 8 多洞并行隧道主要破坏面演化规律

Figure 8. Representative failures surface in parallel multi-line tunnels

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图 8（a）为S/D=2.75，H/D=3.0时，不同内摩擦角ϕ对应的主要破坏面。可看出ϕ由5°增大至30°，上下两条破坏面位置不断上移，上方破坏面的起点从隧道顶部上移趋势更显著，同时两条主要破坏面合围的楔形区面积也随之增长。

图 8（b）为S/D=2.5，ϕ=20°时，不同埋深比H/D对应的主要破坏面。可看出，H/D由2增大至10，上下两条破坏面位置不断下移，不过下移趋势逐渐微弱；特别对于H/D≥5的情况，相对应的主要破坏面几乎重合。说明隧道埋深增加到一定值后，上方整体下沉区以荷载形式施加于中夹岩区域，破坏形态不再演化。

由上可知，围岩内摩擦角和隧道埋深变化将引起破坏面位置及上方整体下沉区高度H_c的改变。于是，定义无量纲参数H_c/D为整体下沉区高度比。绘制ϕ为10°，20°，30°对应的H_c/D曲线如图 9，以此分析H_c/D的变化规律。可以发现，当S/D较小时，H_c/D接近隧道埋深比H/D；随着S/D的增大，H_c/D值逐渐减小，且曲线的斜率变化也逐渐增大。对比图 9（a）~9（c）可知，内摩擦角ϕ增大，H_c/D值的变化幅度更大，相同S/D对应的下沉区高度H_c更小，这与破坏面规律分析中结果一致，即摩擦角对破坏面的影响显著，ϕ的增大会引起破坏面的上移。

图 9 多洞并行隧道围岩整体下沉区高度比H_c/D随净间距比S/D的演化规律

Figure 9. Variation of subsidence height ratio H_c/D of surrounding rock for parallel multi-line tunnels with S/D

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5. 对比分析与讨论

5.1 多洞与双洞并行隧道围岩稳定系数N_cr对比

关于多洞并行隧道围岩稳定性分析的研究报道较少，这里选取双洞并行隧道已有数据展开对比分析^[13-15]。其中Sahoo和Yamamoto数据源于变形单元上限有限元分析，Zhang和本文数据来自运动单元上限分析。选取ϕ=10°、H/D=5对应的N_cr与S/D变化曲线绘制如图 10。可以看出，Yamamoto等^[13]、Sahoo等^[14]和Zhang等^[15]分别给出的双洞并行隧道稳定系数上限解N_cr随S/D变化曲线的趋势和数值吻合较好。其中以Zhang等^[15]运动单元上限解数值稍小，为严格上限理论框架下的较优解。

图 10 多洞与双洞并行隧道围岩稳定系数N_cr对比曲线

Figure 10. Comparison for N_cr of parallel multi-and twin-line tunnels

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如3.1节所述，本文多洞并行隧道围岩稳定系数N_cr上限解随S/D的增加快速增长直至达到固定值 ${N_{{\text{cr(Single)}}}}$ 。如图 10，当S/D增大至超过转化间距比S_tr/D时，多洞与双洞并行隧道围岩稳定系数N_cr值趋同，均对应于单洞隧道独自破坏而无相互影响的情况。此时，本文N_cr上限解较之已有文献结果稍小，数值吻合良好，可印证运动单元上限分析结果的可靠性。

从图 10还看出，当相邻隧道净距比S/D不断减小时，多洞与双洞并行隧道对应的稳定系数N_cr的差异稳步增大，且多洞条件对应的N_cr数值急速下降，反映出多洞围岩稳定性依赖于相邻隧道中夹岩承载性能，这缘于上方围岩难于产生成拱效应，因此稳定性较之相同条件的双洞并行隧道显著降低。

5.2 多洞与双洞并行隧道围岩潜在破坏模式对比

选取ϕ=30°，S/D=2.0，H/D=3.0条件下多洞并行隧道围岩破坏模式绘制如图 11，图中以实线表示滑移线网破坏模式并显示整个隧道。将相同条件下Zhang等^[15]给出的双洞并行隧道围岩滑移网破坏模式以虚线形式叠加显示。

图 11 多洞与双洞并行隧道破坏模式对比

Figure 11. Comparison between collapse mechanism of parallel multi-and twin-line tunnels

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由看出，在内侧区域（相邻隧道中夹岩区域），多洞并行隧道围岩滑移线网破坏特征与双洞并行隧道的情况较为吻合，而后者于外侧滑移线网状破坏区向上方发生显著偏移，且增加了一条斜向延伸的贯通滑动面。这体现了与多洞并行隧道围岩破坏模式最大的差异，成为解释多洞并行隧道围岩稳定系数N_cr小于双洞 ${N_{{\text{cr(Dual)}}}}$ 的主要原因，即后者外侧增加了向上破坏面并进一步减小上方围岩整体下沉范围。实质上，净间距较小时，多洞并行隧道围岩破坏机理为相邻隧道中夹岩的破坏，可以此进行双洞、三洞等并行隧道中夹岩稳定性评估。

6. 结论

采用刚体平动运动单元上限法研究了多洞并行等间距隧道围岩稳定性及潜在破坏模式，得到3点结论。

（1）多洞并行隧道净距比S/D对稳定系数N_cr和破坏模式影响显著。当S/D小于转换间距比S_tr/D时，随着S/D的减小，N_cr数值和滑移线网破坏范围逐渐减小。当S/D数值很小时，各参数影响下的N_cr均趋近于0，体现为隧道上方围岩全部发生整体下沉式失稳。当S/D大于S_tr/D时，多洞并行隧道对应的N_cr和破坏模式与相同条件下的单洞隧道吻合良好。

（2）多洞和双洞并行隧道破坏模式形态和范围差异明显，相同条件下前者围岩稳定更差。当S/D小于S_tr/D时，多洞隧道对应的N_cr小于双洞隧道 ${N_{{\text{cr(Dual)}}}}$ ，此时多洞隧道滑移线网破坏模式特征与双洞隧道的内侧区域类似，但未产生双洞隧道外侧斜向上延伸的剪切带；体现出多洞隧道破坏主要为相邻隧道间的中夹岩破坏的特点。

（3）本文多洞并行隧道围岩稳定系数和破坏模式的分析结果基于莫尔库仑屈服准则，对于其它屈服准则，如霍克布朗屈服准则的影响与差异所在，需要进一步研究。

图 1 屈服接近度求解示意图

Figure 1. Schematic diagram of yield approach index

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图 2 动态强度折减法搜索滑动面流程图

Figure 2. Flow chart of sliding surface search by dynamic strength reduction method

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图 3 滑动面受力分析

Figure 3. Stress analysis diagram of sliding surface

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图 4 土质边坡计算模型

Figure 4. Calculation models of soil slopes

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图 5 土质边坡滑动面

Figure 5. Sliding surfaces of soil slopes

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图 6 岩质边坡计算模型

Figure 6. Calculation model of rock slope

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图 7 岩质边坡滑动面

Figure 7. Sliding surface of rock slope

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图 8 岩质边坡塑性区

Figure 8. Plastic zones of rock slope

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图 9 安全系数与网格尺寸的关系曲线

Figure 9. Relationship between safety factor and mesh size

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图 10 安全系数与模型尺寸的关系曲线

Figure 10. Relationship between safety factor and model size

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图 11 应力边界条件模型

Figure 11. Model of stress boundary condition

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表 1 土质边坡土体物理力学指标的取值

Table 1 Physico-mechanical indices of soil slopes

土休		黏聚力/kPa	内摩擦角/(°)	重度/ (kN·m^-3)
均质土坡		20.00	20.0	20.00
非均质土坡	^#1土层	49.00	29.0	20.38
	^#2土层	0	30.0	17.64
	^#3土层	7.84	20.0	20.38
	^#4土层	0	30.0	17.64

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表 2 土质边坡计算结果对比

Table 2 Comparison of calculated results of soil slopes

计算方法	均质土坡		非均质土坡
计算方法	安全系数	相对误差/%	安全系数	相对误差/%
整体强度折减法	1.293	—	1.363	—
Morgenstern-Price	1.271	-1.70	1.440	+5.65
本文方法(1)	1.277	-1.24	1.410	+3.45
本文方法(2)	1.275	-1.39	1.410	+3.45
本文方法(3)	1.278	-1.16	1.410	+3.45
传统矢量和法(1)	1.291	-0.15	1.234	-9.46
传统矢量和法(2)	1.284	-0.70	1.234	-9.46
传统矢量和法(3)	1.293	0	1.233	-9.54
应力代数和法	1.275	-1.39	1.412	+3.60
注：本表以整体强度折减法的计算结果为基准进行比较；(1)、(2)、(3)分别表示以极限抗滑力方向、滑动力方向、滑入点指向滑出点方向作为边坡的主滑方向(其中，均质土坡主滑方向与水平方向的夹角分别为28.21°，26.13°，29.25°；非均质土坡主滑方向与水平方向的夹角分别为24.98°，25.10°，21.41°)。

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表 3 岩质边坡岩土体物理力学指标

Table 3 Physico-mechanical indices of rock slope

介质	弹性模量/GPa	泊松比	黏聚力/MPa	内摩擦角/(°)	天然重度/(kN·m^-3)	抗拉强度/MPa
f231	2.0	0.28	0.9	22.8	25.8	0
卸荷裂隙	2.0	0.28	2.0	36.0	26.2	0
V2	2.0	0.27	1.8	21.8	22.1	0
V1	4.0	0.27	2.0	26.5	24.5	1.00
IV	6.0	0.26	7.0	38.6	25.8	3.35
III2	7.5	0.23	17.5	51.3	26.2	6.00
III1	8.0	0.24	15.0	50.2	26.2	5.50
III	9.0	0.22	20.0	52.5	26.5	7.00

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表 4 岩质边坡计算结果对比

Table 4 Comparison of calculated results of rock slopes

计算方法	岩质边坡
计算方法	安全系数	相对误差/%
整体强度折减法	1.659	—
Morgenstern-Price	12.800	+671.55
本文方法(1)	1.657	-0.12
本文方法(2)	1.660	+0.06
本文方法(3)	1.652	-0.42
传统矢量和法(1)	1.854	+11.75
传统矢量和法(2)	1.841	+10.97
传统矢量和法(3)	1.773	+6.87
应力代数和法	1.980	+19.35
注：(1)、(2)、(3)对应的边坡主滑方向与水平方向的夹角分别为34.09°，36.96°，51.08°。

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