基于小主应力轨迹的上埋式涵管竖向土压力非线性描述

张常光; 吴凯; 隋建浩

doi:10.11779/CJGE202112006

基于小主应力轨迹的上埋式涵管竖向土压力非线性描述 English Version

张常光^{1, 2,},
吴凯¹,
隋建浩¹

1.
长安大学建筑工程学院,陕西　西安　710061
2.
成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室,四川　成都　610059

基金项目:

国家自然科学基金项目 41202191

地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室开放基金项目 SKLGP2020K022

长安大学中央高校基本科研业务费专项资金项目 300102280108

详细信息

作者简介:
张常光(1982— ),男,山东菏泽人,博士,教授,从事非饱和土与地下工程等研究。E-mail：zcg1016@163.com

中图分类号: TU432
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出版历程
- 收稿日期: 2021-03-29
- 网络出版日期: 2022-11-30
- 刊出日期: 2021-11-30

Nonlinear descriptions of vertical earth pressure against positive buried pipelines based on minor principal stress trajectory

1.
School of Civil Engineering, Chang'an University, Xi'an 710061, China
2.
Stake Key Laboratory of Geohazard Prevetion and Geoenvironment Protection, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China

摘要

摘要: 针对上埋式涵管竖向土压力的非线性描述,考虑土拱效应和管土相对刚度的影响,建立了圆弧、抛物线和偏转角线性变化3种小主应力轨迹下上埋式涵管竖向土压力的非线性解答,继而结合等沉面高度确定给出应用步骤,并对比文献模型试验、现场实测和数值模拟验证了正确性和适用性,最后进行工程选用探讨。研究结果表明：所得解答合理呈现了上埋式涵管竖向土压力沿水平方向的非线性变化,具有广泛的理论意义和工程应用价值；3种小主应力轨迹解答的适用范围不尽相同,圆弧小主应力轨迹解答对低填方的刚性涵管和柔性涵管均有很好的适用性,偏转角线性变化小主应力轨迹解答常提供稍偏保守的土压力载荷,抛物线小主应力轨迹解答可应用于高填方柔性涵管但易出现明显的高估。
- 上埋式涵管 /
- 竖向土压力 /
- 小主应力轨迹 /
- 土拱效应 /
- 管土相对刚度 /
- 等沉面高度
Abstract: This study presents a nonlinear solution of vertical earth pressure against positive buried pipelines with three kinds of minor principal stress trajectories, such as the circular arc, the parabolic curve, and the rotation angle linearly changed. The proposed solution accounts for the effects of soil arching and pipe-soil relative stiffness to capture the nonlinear descriptions of vertical earth pressure against the positive buried pipelines. Application steps of the proposed solution are provided along with determining the height of an equal settlement plane. Comparative validations of the results from the model tests, field measurements, and numerical simulations reported in the literatures are then performed. Finally, engineering application suggestions are discussed. It is found from this study that the proposed nonlinear solution can reasonably describe the nonlinear distribution of vertical earth pressure against the positive buried pipelines in the horizontal direction, which is of broad theoretical significance and engineering applicability value. Three solutions have different application scopes corresponding with three trajectories of minor principal stress. The solution of the circular arc trajectory is well applicable for both the shallow-filled rigid and the flexible pipelines. The solution of the rotation angle linearly changed trajectory commonly provides slightly conservative estimations of vertical earth pressures. The solution of the parabolic trajectory can be applied to high-filled flexible pipelines, yet obvious overestimations often occur.
- positive buried pipeline /
- vertical earth pressure /
- minor principal stress trajectory /
- soil arching /
- pipe-soil relative stiffness /
- height of equal settlement plane

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0. 引言

上埋式涵管广泛应用于输水、输气、输油和交通等大型基础设施工程,合理确定竖向土压力的大小及分布是保证上埋式涵管安全和经济的基础。自Marston提出有关上埋式涵管竖向土压力的计算方法以来,众多研究均基于竖向土压力沿水平方向为均匀分布的假定。实际上,由于土拱效应、管土相互作用和涵管顶托等影响,涵管竖向土压力沿水平方向呈现非线性变化。已有研究探讨涵管竖向土压力的非线性问题：申文明等^[1]根据模型试验假设管顶竖向土压力沿水平方向为梯形分布,周正峰等^[2]的有限元模拟表明输油管道竖向土压力沿水平方向符合抛物线分布,杨明辉等^[3]对高填方波纹涵管现场试验的竖向土压力划分出应力集中区,Tian等^[4]以涵管竖向土压力抛物线分布改进Spangler模型,Qin等^[5]指出减载式涵管竖向土压力呈中间小两边大的抛物线分布,伍鹤皋等^[6]开展大直径钢管土压力非线性演化的有限元模拟。以上结合特定模型/现场试验或数值模拟直接限定上埋式涵管竖向土压力沿水平方向的分布形式,在实际工程应用中或存在其他不适用的情形。

上埋式涵管内土柱与管两侧外土柱存在沉降差,使得管顶竖向土压力大于上覆土体的自重,此时填土中的土拱效应称为土拱负效应。Handy^[7]以悬链线小主应力轨迹研究挡墙土压力的土拱效应,Paik等^[8]采用圆弧小主应力轨迹分析挡墙的主动土压力,Xu等^[9]针对矿场回填应力假定了圆弧、抛物线和悬链线三种小主应力轨迹,汪大海等^[10]依据主应力偏转角线性变化推导浅埋隧道的上覆土压力公式。可见,假定主应力轨迹已成为解决土拱效应工程问题的一种重要方法。同时,涵管与回填土的刚度差异显著,不考虑管土相对刚度将会错误估计涵管的土压力载荷。

因此,本文以假定小主应力轨迹为研究方法,考虑土拱效应和管土相对刚度的综合影响,建立不同小主应力轨迹下上埋式涵管竖向土压力的非线性解答,结合等沉面高度确定给出应用步骤,继而对比文献模型试验、现场实测和数值模拟进行正确性和适用性验证,最后探讨工程选用建议。

1. 基本理论

1.1 力学模型

图1为平面应变状态下的上埋式圆形涵管,其外径为D,壁厚为t,由管顶算起的填土高度为H；竖直滑移面处的回填土处于极限平衡状态。

图 1 上埋式涵管力学模型

Figure 1. Mechanical model for a positive buried pipeline

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在涵管上方某一填土高度范围内,Ⅰ区土体的沉降小而管两侧Ⅱ区土体的沉降大,Ⅰ区与Ⅱ区土体的沉降差使得Ⅱ区土体对Ⅰ区土体产生向下的滑动摩擦力。沉降差随填土高度的增加不断减小,Ⅰ区与Ⅱ区土体沉降量相等时的填土面称为等沉面,等沉面到管顶的距离即为等沉面高度H_c,等沉面以上填土高度记为H₁。在填土面以下深度z处（存在等沉面时,z>H₁）取Ⅰ区内土柱的水平薄层单元进行受力分析,其竖向应力沿水平方向为非线性分布。

1.2 小主应力轨迹

滑移面处向下的摩擦力 $τ_{w}$ 使水平薄层单元的小主应力 $σ_{3}$ 方向发生偏转,所形成的小主应力轨迹如图2中的虚线拱所示,其上任一点的切线代表该单元相应点的小主应力方向,大主应力 $σ_{1}$ 与小主应力 $σ_{3}$ 相垂直,且中点处小主应力的方向为水平。

图 2 小主应力轨迹

Figure 2. Trajectory of minor principal stress

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目前,土拱效应工程问题的主应力轨迹求解尚未有定论,普遍采用假定主应力轨迹形状的方法。结合文献[7～13]知,通过主应力轨迹研究土拱效应主要针对挡墙土压力与矿场回填应力,且多假定主应力轨迹为圆弧、抛物线和偏转角线性变化。于是,本文将采用圆弧、抛物线和偏转角线性变化3种小主应力轨迹分析上埋式涵管竖向土压力的非线性变化,讨论3种轨迹解答的适用性并给出工程应用建议。

1.3 管土相对刚度

管土相对刚度 $α$ 又称管土相对刚度系数,其表达式为^[14]

$α = \frac{E_{p}}{E_{0}} {(\frac{t}{r})}^{3}$ ,

(1)

式中,E_P为涵管的弹性模量,E₀为回填土的变形模量,r为涵管的平均半径,r=(D−t)/2。

$α \geq 1$ 为刚性涵管, $α < 1$ 为柔性涵管,如钢筋混凝土管属于刚性涵管、薄壁钢管属于柔性涵管。

在同等回填条件下,刚性涵管的竖向土压力一般大于柔性涵管的。因此,在探讨上埋式涵管竖向土压力的大小及分布时,应考虑管土相对刚度以区分刚性涵管和柔性涵管。

2. 公式推导

结合3种小主应力轨迹和管土相对刚度,下面将分别推导等沉面存在和不存在时上埋式涵管竖向土压力的非线性解答。

2.1 单元应力状态

由于滑移面处的回填土处于极限平衡状态,故某一深度水平薄层单元的土体应力在同一个Mohr应力圆上,即任一点的大主应力 $σ_{1}$ 和小主应力 $σ_{3}$ 的大小不变,该点的应力状态可用 $σ_{1}$ , $σ_{3}$ 与主应力偏转角表示。

以砂性回填土为例,由图2中A点处微元体水平方向的力平衡,得滑移面处的水平应力 $σ_{hw}$ 为

$σ_{hw} = σ_{1} \sin^{2} β_{w} + σ_{3} \cos^{2} β_{w}$ ,

(2)

式中,β_w为A点处小主应力 $σ_{3}$ 相对水平方向的偏转角。

鉴于主应力偏转后大主应力 $σ_{1}$ 仍垂直于小主应力 $σ_{3}$ ,将式（2）变为

$σ_{hw} = σ_{1} \cos^{2} θ + σ_{3} \sin^{2} θ$ ,

(3)

式中,θ为A点处大主应力 $σ_{1}$ 相对水平方向的偏转角,其表达式为

$θ = \tan^{- 1} [\frac{(N - 1) + \sqrt{{(N - 1)}^{2} - 4 N \tan^{2} δ}}{2 \tan δ}]$ ,

(4)

式中, $δ$ 为回填土滑移面处的摩擦角,也称滑动摩擦角,常取为2φ/3（ $φ$ 为回填土的内摩擦角）^[13]。当 $δ$ =0°时,回填土内部没有产生相对滑移,小主应力未偏转,此时θ=90°；当0°< $δ$ <φ时,小主应力已发生一定偏转,土拱效应部分发挥；当 $δ$ =φ时,小主应力达到最大偏转,土拱效应充分发挥,此时θ=45°+φ/2。N为A点处大主应力 $σ_{1}$ 与小主应力 $σ_{3}$ 的比值,由砂性回填土的Mohr−Coulomb强度准则得

$N = \frac{σ_{1}}{σ_{3}} = \frac{1 + \sin φ}{1 - \sin φ}$ 。

(5)

同理,可得水平薄层单元上任一点B处的水平应力 $σ_{h x}$ 为

$σ_{h x} = σ_{1} \cos^{2} ψ + σ_{3} \sin^{2} ψ$ ,

(6)

式中,ψ为B点处大主应力 $σ_{1}$ 相对水平方向的偏转角,且θ≤ ψ ≤（180°−θ）。

将式（6）除以 $σ_{1}$ 得

$\frac{σ_{h x}}{σ_{1}} = \cos^{2} ψ + \frac{1}{N} \sin^{2} ψ$ 。

(7)

由Mohr应力圆知 $σ_{1}$ + $σ_{3}$ = $σ_{v x}$ + $σ_{h x}$ ,除以 $σ_{1}$ 并将式（7）代入,得任一点B处的竖向应力 $σ_{v x}$ 为

$\frac{σ_{v x}}{σ_{1}} = \sin^{2} ψ + \frac{1}{N} \cos^{2} ψ$ 。

(8)

2.2 应力分布描述

（1）圆弧

当小主应力轨迹为图3的圆弧时,由三角形AOJ的几何条件得圆弧半径R为

$R = 0.5 D / \cos θ$ 。

(9)

图 3 圆弧小主应力轨迹

Figure 3. Circular arc trajectory of minor principal stress

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根据三角形B′OF的几何条件,将 $ψ$ 表示为

$ψ = arc \cos [(D - 2 x) \cos θ / D]$ ,

(10)

式中,x为B点至左侧滑移面的水平距离,且0≤x ≤D。

由式（8）得B点的竖向力dF_v为

$d F_{v} = σ_{v x} d A = σ_{1} (\sin^{2} ψ + \frac{1}{N} \cos^{2} ψ) d A$ ,

(11)

式中,dA为B点处微元的面积。

由于纵向为单位长度,故dA与B点处微元的宽度相等,则

$d A = R \sin ψ d ψ$ ,

(12)

式中,dψ为图2中B点处微元的偏转角增量。

由水平薄层单元的竖向合力F_v除以该单元宽度即涵管的外径D,得平均竖向应力 ${\bar{σ}}_{v}$ 为

${\bar{σ}}_{v} = \frac{F_{v}}{D} = \frac{F_{v}}{2 R \cos θ} = \frac{1}{2 R \cos θ} \int_{θ}^{π - θ} d F_{v}$ 。

(13)

结合式（11）,（12）以及水平薄层单元的对称性,由式（13）得

${\bar{σ}}_{v} = σ_{1} (1 - \frac{N - 1}{3 N} \cos^{2} θ)$ 。

(14)

平均侧压力系数K_w为滑移面处水平应力 $σ_{h x}$ 与平均竖向应力 ${\bar{σ}}_{v}$ 的比值^[7],以反映滑移面内侧土体的受挤程度,进而由式（3）,（14）得圆弧小主应力轨迹的平均侧压力系数K_w1为

$K_{w1} = \frac{σ_{hw}}{{\bar{σ}}_{v}} = \frac{3 N \cos^{2} θ + 3 \sin^{2} θ}{3 N - (N - 1) \cos^{2} θ}$ 。

(15)

将水平薄层单元任意一点处竖向应力 $σ_{v x}$ 与平均竖向应力 ${\bar{σ}}_{v}$ 的比值m称为应力分布系数,以反映上埋式涵管竖向土压力沿水平方向的非线性分布特征。对于圆弧小主应力轨迹,由式（8）,（10）,（14）得应力分布系数m₁为

$m_{1} = \frac{σ_{v x}}{{\bar{σ}}_{v}} = \frac{1 + (\frac{1}{N} - 1) {[\frac{(D - 2 x) \cos θ}{D}]}^{2}}{1 - \frac{N - 1}{3 N} \cos^{2} θ}$ 。

(16)

（2）抛物线

当小主应力轨迹为图4的抛物线时,其方程为

图 4 抛物线小主应力轨迹

Figure 4. Parabolic trajectory of minor principal stress

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$l = \frac{2 λ}{1 - \cos ψ}$ ,

(17)

式中,l为轨迹上任意一点B′的极径, $λ$ 为抛物线的形状参数。

由三角形AOC的几何条件,得涵管外径D与A点极径 $l_{0}$ 的关系为

$D = 2 l_{0} \cos θ$ 。

(18)

根据三角形AOC和BOC的几何条件,将偏转角 $ψ$ 表示为^[9]

$ψ = arc \cot [\frac{(D - 2 x) \cot θ}{D}]$ 。

(19)

由式（8）,（17）,（18）得平均竖向应力 ${\bar{σ}}_{v}$ 为

$\begin{matrix} {\bar{σ}}_{v} = σ_{1} (1 - \cos θ) {\begin{cases} \end{cases} 1 + 0.5 \cos θ - \\ \frac{1}{N} [1 + 0.5 \cos θ + \frac{\ln (1 - \cos θ)}{\cos θ}]} \end{matrix}$ 。

(20)

用式（3）除以式（20）,得抛物线小主应力轨迹的平均侧压力系数K_w2为

$K_{w2} = \frac{\cos^{2} θ + \frac{1}{N} \sin^{2} θ}{(1 - \cos θ) {1 + 0.5 \cos θ - \frac{1}{N} [1 + 0.5 \cos θ + \frac{\ln (1 - \cos θ)}{\cos θ}]}} 。$

(21)

由式（8）,（19）,（20）得应力分布系数m₂为

$m_{2} = \frac{\frac{1}{N} + \frac{N - 1}{N {[(D - 2 x) \cot θ / D]}^{2} + N}}{(1 - \cos θ) {1 + 0.5 \cos θ - \frac{1}{N} [1 + 0.5 \cos θ + \frac{\ln (1 - \cos θ)}{\cos θ}]}} 。$

(22)

（3）偏转角线性变化

当小主应力的偏转角沿水平方向线性变化时,图5中水平薄层单元任意一点B处的小主应力偏转角β_i可表示为

图 5 偏转角线性变化小主应力轨迹

Figure 5. Rotation angle linearly-changed trajectory of minor principal stress

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$β_{i} = | 1 - \frac{2 x}{D} | β_{w}$ ,

(23)

式中,β_w为图2中A点处的小主应力偏转角,且β_w=π/2−θ。

因 $σ_{1}$ 与 $σ_{3}$ 相垂直, $β_{i}$ 与ψ的关系为

$\begin{array}{l} β_{i} + ψ = π/ 2 (θ \leq ψ \leq π/ 2) ， \\ ψ - β_{i} = π/ 2 (π/ 2 < ψ \leq (π - θ)) 。 \end{array}}$

(24)

依据式（24）将式（23）变为

$ψ = θ + \frac{2 x}{D} (\frac{π}{2} - θ)$ 。

(25)

由式（8）,（25）得平均竖向应力 ${\bar{σ}}_{v}$ 为

${\bar{σ}}_{v} = \frac{σ_{1}}{2} [1 + \frac{1}{N} + \frac{(1 - 1 / N) \sin 2 θ}{π - 2 θ}]$ 。

(26)

用式（3）除以式（26）,得偏转角线性变化小主应力轨迹的平均侧压力系数K_w3为

$K_{w3} = \frac{σ_{hw}}{{\bar{σ}}_{v}} = \frac{2 \cos^{2} θ + \frac{2}{N} \sin^{2} θ}{1 + \frac{1}{N} + \frac{(1 - 1 / N) \sin 2 θ}{π - 2 θ}}$ 。

(27)

由式（8）,（25）,（26）得应力分布系数m₃为

$m_{3} = \frac{σ_{v x}}{{\bar{σ}}_{v}} = \frac{\frac{2}{N} + (2 - \frac{2}{N}) \sin^{2} [θ + \frac{2 x}{D} (\frac{π}{2} - θ)]}{1 + \frac{1}{N} + \frac{(1 - 1 / N) \sin 2 θ}{π - 2 θ}}$ 。

(28)

对于黏性回填土,将纵坐标τ轴向左平移ccotφ并绘制A点的Mohr应力圆。坐标平移并不改变新坐标 $\hat{σ} \hat{o} \hat{τ}$ 下Mohr应力圆中各应力分量的几何关系,仍存在

${\hat{σ}}_{hw} = {\hat{σ}}_{1} \cos^{2} θ + {\hat{σ}}_{3} \sin^{2} θ$ ,

(29)

$\begin{array}{l} {\hat{σ}}_{h x} = {\hat{σ}}_{1} \cos^{2} ψ + {\hat{σ}}_{3} \sin^{2} ψ ， \\ {\hat{σ}}_{v x} = {\hat{σ}}_{1} (\sin^{2} ψ + \frac{1}{N} \cos^{2} ψ) ， \end{array}}$

(30)

式中,N为 ${\hat{σ}}_{1}$ 与 ${\hat{σ}}_{3}$ 的比值,

$N = \frac{{\hat{σ}}_{1}}{{\hat{σ}}_{3}} = \frac{1 + \sin φ}{1 - \sin φ}$ 。

(31)

因此,坐标平移后水平薄层单元各点的大、小主应力以及水平应力、竖向应力之间的关系与平移前相同,且黏聚力对平均侧压力系数和应力分布系数无影响,故以下公式推导中直接讨论黏性回填土。

2.3 非线性解答

图6为在深度z处所取水平薄层单元的受力分析,其中虚线代表该单元的平均竖向应力 ${\bar{σ}}_{v}$ 。

图 6 水平薄层单元

Figure 6. Horizontal thin-layer element

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（1）刚性涵管

由图6水平薄层单元的竖向力平衡得

$d W + 2 τ_{w} d z - D d {\bar{σ}}_{v} = 0$ ,

(32)

式中,dW为水平薄层单元的土体重量,

$d W = γ D d z$ ,

(33)

其中, $γ$ 为回填土的重度。

依据滑动摩擦定律得滑移面处的摩擦力 $τ_{w}$ 为

$τ_{w} = c + σ_{hw} \tan δ = c + K_{w} {\bar{σ}}_{v} \tan δ$ 。

(34)

将式（33）,（34）代入式（32）,整理得

$\frac{d {\bar{σ}}_{v}}{d z} - \frac{2 K_{w} \tan δ}{D} {\bar{σ}}_{v} = γ + \frac{2 c}{D}$ ,

(35)

可见,式（35）为一阶常系数非齐次线性微分方程。

当存在等沉面时,结合边界条件z=H₁时 ${\bar{σ}}_{v}$ = $γ H_{1}$ ,得深度z(>H₁)处的平均竖向应力为

${\bar{σ}}_{v} = \frac{γ D + 2 c}{2 K_{w} \tan δ} {(e}^{\frac{2 K_{w} \tan δ}{D} (z - H_{1})} - 1) + γ H_{1} e^{\frac{2 K_{w} \tan δ}{D} (z - H_{1})}$ 。

(36)

当不存在等沉面时,结合边界条件z=0时 ${\bar{σ}}_{v}$ =0,得深度z处的平均竖向应力为

${\bar{σ}}_{v} = \frac{γ D + 2 c}{2 K_{w} \tan δ} (e^{\frac{2 K_{w} \tan δ}{D} z} - 1)$ 。

(37)

结合3种小主应力轨迹的平均侧压力系数K_w和应力分布系数m,可得不同情况下刚性涵管竖向土压力的非线性解答。

a）存在等沉面时,式（36）为平均竖向应力 ${\bar{σ}}_{v}$ 圆弧小主应力轨迹对应K_w1,

$σ_{v x} = m_{1} {\bar{σ}}_{v} (K_{w 1})$ 。

(38)

抛物线小主应力轨迹对应K_w2,

$σ_{v x} = m_{2} {\bar{σ}}_{v} (K_{w2})$ 。

(39)

偏转角线性变化小主应力轨迹对应K_w3,

$σ_{v x} = m_{3} {\bar{σ}}_{v} (K_{w3})$ 。

(40)

b）不存在等沉面时,式（37）为平均竖向应力 ${\bar{σ}}_{v}$ 圆弧小主应力轨迹对应K_w1,

$σ_{v x} = m_{1} {\bar{σ}}_{v} (K_{w 1})$ 。

(41)

抛物线小主应力轨迹对应K_w2,

$σ_{v x} = m_{2} {\bar{σ}}_{v} (K_{w2})$ 。

(42)

偏转角线性变化小主应力轨迹对应K_w3,

$σ_{v x} = m_{3} {\bar{σ}}_{v} (K_{w3})$ 。

(43)

（2）柔性涵管

对于柔性涵管,引入刚度影响系数ξ以考虑管土相对刚度的影响^[15]：

$ξ = α^{\frac{1}{6}} = {(\frac{E_{p}}{E_{0}})}^{\frac{1}{6}} {(\frac{t}{r})}^{\frac{1}{2}}$ ,

(44)

则柔性涵管的竖向土压力 $σ_{v x F}$ 为

$σ_{v x F} = ξ σ_{v x}$ ,

(45)

式中, $σ_{v x}$ 为按刚性涵管计算的竖向土压力。

因此,将式（38）～（43）分别乘以刚度影响系数ξ,即得相应情况下柔性涵管的竖向土压力非线性解答。

2.4 等沉面高度

对于图1中的刚性涵管,当Ⅰ区土体压缩量 $Δ_{I}$ 等于Ⅱ区土体压缩量 $Δ_{II}$ 时,即可求得等沉面高度H_c；对于柔性涵管,需考虑涵管自身的压缩量 $Δ_{G}$ ,下面以柔性涵管为例给出等沉面高度H_c的求解方法。

Ⅰ区土体在深度z(>H₁)处的平均竖向土压力 ${\bar{σ}}_{I}$ 为

${\bar{σ}}_{I} = ξ [\frac{γ D + 2 c}{2 K_{w} \tan δ} {(e}^{\frac{2 K_{w} \tan δ}{D} (z - H_{1})} - 1) + γ H_{1} e^{\frac{2 K_{w} \tan δ}{D} (z - H_{1})}]$ 。

(46)

Ⅱ区土体在深度z处的平均竖向土压力 ${\bar{σ}}_{II}$ 可近似表示为

${\bar{σ}}_{II} = γ z$ 。

(47)

鉴于 ${\bar{σ}}_{I}$ 与 ${\bar{σ}}_{II}$ 的差异会引起Ⅰ区土体侧向膨胀、Ⅱ区土体侧向压缩,二者之间的侧向土压力 $σ_{I-IIh}$ 取为

$σ_{I-IIh} = \frac{μ}{1 - μ} \cdot \frac{{\bar{σ}}_{I} + {\bar{σ}}_{II}}{2}$ ,

(48)

式中,μ为回填土的泊松比。

根据弹性力学方法,平面应变状态下Ⅰ区土体的压缩量 $Δ_{I}$ 为

$Δ_{I} = \frac{1 - μ^{2}}{E} \int_{H_{1}}^{H} [{\bar{σ}}_{I} - {(\frac{μ}{1 - μ})}^{2} \cdot \frac{{\bar{σ}}_{I} + {\bar{σ}}_{II}}{2}] d z$ ,

(49)

式中,E为回填土的弹性模量。

平面应变状态下Ⅱ区土体的压缩量 $Δ_{II}$ 为

$Δ_{II} = \frac{1 - μ^{2}}{E} \int_{H_{1}}^{H + D} [{\bar{σ}}_{II} - {(\frac{μ}{1 - μ})}^{2} \cdot \frac{{\bar{σ}}_{I} + {\bar{σ}}_{II}}{2}] d z$ 。

(50)

柔性涵管的压缩量 $Δ_{G}$ 为

$Δ_{G} = \frac{2 {\bar{σ}}_{vH} r^{4}}{E_{p} t^{3}}$ ,

(51)

式中, ${\bar{σ}}_{vH}$ 为管顶的平均竖向土压力。

结合等沉面条件即 $Δ_{I}$ + $Δ_{G}$ = $Δ_{II}$ ,迭代求出等沉面高度H_c。可见,等沉面高度H_c将与填土高度H、涵管外径D、回填土的物理/力学性质等有关,且其他条件相同时3种小主应力轨迹的等沉面高度亦不同。

2.5 应用步骤

式（38）～（43）即为本文基于3种小主应力轨迹所建立的上埋式刚性涵管竖向土压力非线性解答,在涵管的外径、壁厚以及弹性模量,回填土的物理/力学性质和填土高度等确定后,可灵活选取相应公式进行涵管不同深度z处(z=H时为管顶)竖向土压力的非线性分布计算与分析。

具体应用步骤：先由式（1）求管土相对刚度 $α$ 并判断涵管类别,再根据式（46）～（51）与 $Δ_{I}$ + $Δ_{G}$ = $Δ_{II}$ 迭代求等沉面高度H_c（其中,刚性涵管 $Δ_{G}$ =0）。对于刚性涵管,填土高度H>H_c时由式（38）～（40）计算3种小主应力轨迹下涵管的竖向土压力,H≤H_c时由式（41）～（43）计算；对于柔性涵管,由式（44）求刚度影响系数ξ,继而H>H_c时采用式（38）～（40）乘以系数ξ,H≤H_c时采用式（41）～（43）乘以系数ξ。

3. 对比验证

3.1 模型试验

申文明等^[1]通过模型试验研究低填方上埋式涵管的竖向土压力分布特性,模型槽的尺寸为15 m(长)×5 m(宽)×6 m(高),涵管的弹性模量E_P为3.0×10⁴ MPa,外径D为3.5 m,壁厚t为0.25 m。试验中分层填土,每层厚0.5 m,最大填土高度为3.5 m。无黏性碎石回填土的弹性模量E为30 MPa,变形模量E₀为23 MPa,泊松比μ为0.25,重度γ为21 kN/m³,内摩擦角φ为42^°,取δ=2φ/3=28^°。

由式（1）得管土相对刚度α=4.761>1,属于刚性涵管。当填土高度为3.5 m时,等沉面高度H_c为6.3（圆弧）、5.9（抛物线）和6.1 m（偏转角线性变化）,故不存在等沉面,进而采用式（41）～（43）计算。图7为本文解答与3.5 m填土高度时管顶竖向土压力实测值的对比,其中轨迹Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ分别代表圆弧、抛物线和偏转角线性变化3种小主应力轨迹,下同。

图 7 3种小主应力轨迹解答与模型试验的对比

Figure 7. Comparison between three proposed solutions and model tests

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由图7可知,圆弧小主应力轨迹解答与模型试验实测值吻合得较好,平均相对误差为7.1%,验证了式（41）的正确性。偏转角线性变化小主应力轨迹解答即式（43）相比式（41）稍偏大,与实测值的平均相对误差为16.4%,可为该模型试验的涵管竖向土压力提供偏于保守的估计。但是,抛物线小主应力轨迹解答明显偏大,不适用于该模型试验涵管竖向土压力的计算。

为进一步验证圆弧小主应力轨迹解答的正确性,将其与填土高度H为1.5,2.5,3.0 m时的管顶竖向土压力实测值进行对比,如图8所示。此时,3种填土高度下H_c分别为4.2,5.1,5.8 m,仍采用不存在等沉面时的式（41）。可见,式（41）与3种填土高度下实测值均吻合的很好,平均相对误差为3.9%,表明式（41）可反映低填方刚性涵管竖向土压力沿水平方向的非线性变化。

图 8 式(41)与模型试验的对比

Figure 8. Comparison between Eq. (41) and model tests

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3.2 现场实测

杨明辉等^[3]开展高填方波纹钢管的竖向土压力现场试验,分层填土且每层厚0.5 m,最终填土高度为24 m。钢管的外径D为4.011 m,壁厚t为5.5 mm,弹性模量E_P为2×10⁵ MPa；黏性回填土的弹性模量E为20 MPa,变形模量E₀为12 MPa,泊松比μ为0.35,重度 $γ$ 为15.2 kN/m³,黏聚力c为35.8 kPa,内摩擦角φ为24^°,取δ=2φ/3=16^°。

由式（1）得管土相对刚度 $α$ =3.5×10^-4<1,属于柔性涵管且刚度影响系数ξ=0.265。当填土高度为8 m时,等沉面高度H_c为3.5（圆弧）、2.9（抛物线）和3.3 m（偏转角线性变化）,故存在等沉面,图9为本文柔性涵管解答与管顶竖向土压力实测值的对比。

图 9 3种小主应力轨迹解答与现场实测的对比

Figure 9. Comparison between three proposed solutions and field measurements

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由图9可知,圆弧和偏转角线性变化两种小主应力轨迹的解答明显偏小；抛物线小主应力轨迹解答与现场实测值最接近,平均相对误差为8.7%,表明抛物线小主应力轨迹解答对求解高填方柔性涵管竖向土压力具有一定的适用性。

为进一步讨论抛物线小主应力轨迹解答的适用性,将其与填土高度为2,4 m时的管顶竖向土压力实测值进行对比,如图10所示。其中,H=2 m时不存在等沉面,H=4 m时等沉面高度H_c为3.4 m而存在等沉面。可见,计算值和实测值均比较接近,平均相对误差分别为8.2%,9.4%,表明抛物线小主应力轨迹解答可反映柔性涵管竖向土压力沿水平方向的非线性变化。

图 10 抛物线小主应力轨迹解答与现场实测的对比

Figure 10. Comparison between parabolic trajectory solution and field measurements

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3.3 数值模拟

周正峰等^[2]利用ABAQUS软件建立输油管道的有限元模型,数值模拟管道竖向土压力的大小及分布。管道的弹性模量E_P为2.05×10⁵ MPa,外径D为610 mm,壁厚t为10.3 mm,最大填土高度为1.83 m。砂性回填土的弹性模量E为13 MPa,变形模量E₀为8 MPa,泊松比μ为0.35,重度 $γ$ 为18 kN/m³,内摩擦角φ为30^°,取δ=2φ/3=20^°。

由式（1）得管土相对刚度 $α$ =0.104<1,属于柔性涵管且刚度影响系数ξ=0.686。当填土高度为1.83 m时,等沉面高度H_c为2.4（圆弧）、2.1（抛物线）和2.3 m（偏转角线性变化）,故不存在等沉面,图11为本文柔性涵管解答与管顶竖向土压力数值模拟的对比。可见,圆弧小主应力轨迹解答与数值模拟土压力吻合得最好,其次为偏转角线性变化小主应力轨迹解答,显著偏大的是抛物线小主应力轨迹解答。

图 11 3种小主应力轨迹解答与数值模拟的对比

Figure 11. Comparison between three proposed solutions and numerical simulations

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4. 工程选用

4.1 适用性

综合第3节和文献[6,14]有关涵管竖向土压力的模型试验、现场实测和数值模拟,并以涵管类别与填方高低为划分依据,对比本文3种小主应力轨迹解答的计算值,如图12所示。其中,SRP代表低填方(H≤H_c)刚性涵管,SFP代表低填方(H≤H_c)柔性涵管,HFP代表高填方(H>H_c)柔性涵管。

图 12 本文解答与文献多种方法的对比

Figure 12. Comparison between the proposed solution and various methods in literatures

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由图12可知,圆弧小主应力轨迹解答对低填方的刚性涵管和柔性涵管均有很好的适用性,且相对误差在±20%以内。相反地,抛物线小主应力轨迹解答只适用于高填方柔性涵管,剩余的相对误差都超过了+20%而明显偏大。不同的是,偏转角线性变化小主应力轨迹解答虽总体上稍偏于保守,但对柔性涵管和低填方刚性涵管都存在较好的应用潜力。

因此,3种小主应力轨迹解答各有一定的适用范围但不尽相同,具体需按2.5节中的应用步骤进行对比和选择：当已知涵管类别和填方情况时,对低填方的刚性涵管和柔性涵管可优先选用圆弧小主应力轨迹解答,而对高填方的柔性涵管可优先选用抛物线小主应力轨迹解答；其次,当涵管类别或填方情况未知或不易判定时,推荐采用偏转角线性变化小主应力轨迹解答初估涵管的竖向土压力,后续根据实际情况再进行调整。需谨记的是,应持续收集不同情形下涵管竖向土压力数据以更新本文解答的适用性评价,特别是对高填方的刚性涵管或柔性涵管。

4.2 实用图

为更简便地将本文解答应用于工程实践,可分别绘制刚性涵管关于管顶中心处(x=D/2)竖向土压力 $σ_{v x = D / 2}^{H}$ 、管顶左侧边(x=0,左右对称)竖向土压力 $σ_{v x = 0}^{H}$ 与(γD+2c)之比的实用变化关系,如图13所示。其中,回填土内摩擦角φ=30^°,且δ=2φ/3。

图 13 实用的刚性涵管土压力

Figure 13. Practical earth pressures on rigid pipelines

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若已知刚性涵管的填土高度H、涵管外径D和回填土内摩擦角φ,由图13就可以获得3种小主应力轨迹解答的 $σ_{v x = D / 2}^{H}$ /( $γ D$ +2c)与 $σ_{v x = 0}^{H}$ /( $γ D$ +2c),再结合回填土重度 $γ$ 、黏聚力c求得 $σ_{v x = D / 2}^{H}$ 和 $σ_{v x = 0}^{H}$ ,对应管顶竖向土压力的最大值与最小值,也在一定程度上反映了管顶竖向土压力的非线性分布。

对回填土内摩擦角 $φ$ 的其他值,亦能拓展绘制更多情况下的竖向土压力实用图。对于柔性涵管,将图13乘以刚度影响系数 $ξ$ 即可。此外,利用本文解答很容易获得回填土内摩擦角φ、滑移面处滑动摩擦角 $δ$ 、回填土黏聚力c和涵管外径D对竖向土压力大小及分布的影响规律,且由滑动摩擦角 $δ$ 可定量描述小主应力轨迹演化和应力分布系数变化。

5. 结论

（1）所建立的上埋式涵管竖向土压力非线性解答能合理反映小主应力轨迹形状、土拱效应发挥程度、管土相对刚度以及等沉面高度的综合影响,很好地呈现了涵管竖向土压力沿水平方向的非线性变化,并得到文献模型试验、现场实测和数值模拟的正确性验证与管顶中心及左侧边的土压力实用图,具有重要的理论意义和广泛的工程应用前景。

（2）对比验证发现3种小主应力轨迹的竖向土压力非线性解答各有一定的适用性,也存在显著的差异：圆弧小主应力轨迹解答可适用于低填方的刚性涵管和柔性涵管,偏转角线性变化小主应力轨迹解答虽常提供较保守的土压力载荷估计但对柔性涵管或低填方刚性涵管有较好的应用潜力,抛物线小主应力轨迹解答只适用于高填方柔性涵管且易出现明显偏大的高估。

图 1 上埋式涵管力学模型

Figure 1. Mechanical model for a positive buried pipeline

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图 2 小主应力轨迹

Figure 2. Trajectory of minor principal stress

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图 3 圆弧小主应力轨迹

Figure 3. Circular arc trajectory of minor principal stress

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图 4 抛物线小主应力轨迹

Figure 4. Parabolic trajectory of minor principal stress

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图 5 偏转角线性变化小主应力轨迹

Figure 5. Rotation angle linearly-changed trajectory of minor principal stress

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图 6 水平薄层单元

Figure 6. Horizontal thin-layer element

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图 7 3种小主应力轨迹解答与模型试验的对比

Figure 7. Comparison between three proposed solutions and model tests

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图 8 式(41)与模型试验的对比

Figure 8. Comparison between Eq. (41) and model tests

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图 9 3种小主应力轨迹解答与现场实测的对比

Figure 9. Comparison between three proposed solutions and field measurements

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图 10 抛物线小主应力轨迹解答与现场实测的对比

Figure 10. Comparison between parabolic trajectory solution and field measurements

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图 11 3种小主应力轨迹解答与数值模拟的对比

Figure 11. Comparison between three proposed solutions and numerical simulations

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图 12 本文解答与文献多种方法的对比

Figure 12. Comparison between the proposed solution and various methods in literatures

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图 13 实用的刚性涵管土压力

Figure 13. Practical earth pressures on rigid pipelines

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参考文献(15)

[1]	申文明, 边学成, 唐晓武, 等. 低填方上埋式管涵土压力的模型试验和理论研究[J]. 岩土工程学报, 2010, 32(7): 1017-1022. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201007007.htm SHEN Wen-ming, BIAN Xue-cheng, TANG Xiao-wu, et al. Model tests and theoretical studies on earth pressure on shallow positive buried culverts[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(7): 1017-1022. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201007007.htm
[2]	周正峰, 凌建明, 梁斌. 输油管道土压力分析[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版), 2011, 30(4): 794-797. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CQJT201104022.htm ZHOU Zheng-feng, LING Jian-ming, LIANG Bin. Analysis of earth pressure on oil pipe[J]. Journal of Chongqing Jiaotong University (Natural Science), 2011, 30(4): 794-797. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CQJT201104022.htm
[3]	杨明辉, 方天云, 赵明华, 等. 高填方段波纹管涵垂直土压力试验及计算[J]. 公路交通科技, 2014, 31(4): 33-38. doi: 10.3969/j.issn.1002-0268.2014.04.006 YANG Ming-hui, FANG Tian-yun, ZHAO Ming-hua, et al. Test and calculation of vertical earth pressure on corrugated pipe culvert under high embankment[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2014, 31(4): 33-38. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1002-0268.2014.04.006
[4]	TIAN Y, LIU H, JIANG X, et al. Analysis of stress and deformation of a positive buried pipe using the improved Spangler model[J]. Soils and Foundations, 2015, 55(3): 485-492. doi: 10.1016/j.sandf.2015.04.001
[5]	QIN X G, NI P P, ZHOU M. Improved analytical solution of vertical pressure on top of induced trench rigid culverts[J]. Geosynthetics International, 2017, 24(6): 615-624. doi: 10.1680/jgein.17.00028
[6]	伍鹤皋, 于金弘, 石长征, 等. 大直径回填钢管管土相互作用研究[J]. 天津大学学报(自然科学与工程技术版), 2020, 53(10): 1053-1061. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TJDX202010008.htm WU He-gao, YU Jin-hong, SHI Chang-zheng, et al. Pipe-soil interaction of large-diameter buried steel pipe[J]. Journal of Tianjin University (Science and Technology), 2020, 53(10): 1053-1061. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TJDX202010008.htm
[7]	HANDY R L. The arch in soil arching[J]. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, 1985, 111(3): 302-318. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9410(1985)111:3(302)
[8]	PAIK K H, SALGADO R. Estimation of active earth pressure against rigid retaining walls considering arching effects[J]. Géotechnique, 2003, 53(7): 643-653. doi: 10.1680/geot.2003.53.7.643
[9]	XU C J, CHEN Q Z, LUO W J, et al. Analytical solution for estimating the stress state in backfill considering patterns of stress distribution[J]. International Journal of Geomechanics, ASCE, 2019, 19(1): 04018189. doi: 10.1061/(ASCE)GM.1943-5622.0001332
[10]	汪大海, 贺少辉, 刘夏冰, 等. 基于主应力旋转特征的浅埋隧道上覆土压力计算及不完全拱效应分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2019, 38(6): 1284-1296. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201906019.htm WANG Da-hai, HE Shao-hui, LIU Xia-bing, et al. A modified method for determining the overburden pressure above shallow tunnels considering the distribution of the principal stress rotation and the partially mobilized arching effect[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2019, 38(6): 1284-1296. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201906019.htm
[11]	俞缙, 周亦涛, 蔡燕燕, 等. 基于土拱效应的刚性挡墙墙后主动土压力[J]. 岩土工程学报, 2013, 35(12): 2306-2310. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201312027.htm YU Jin, ZHOU Yi-tao, CAI Yan-yan, et al. Active earth pressure against rigid retaining wall considering soil-arching effects[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(12): 2306-2310. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201312027.htm
[12]	徐日庆, 徐叶斌, 程康, 等. 有限土体下考虑土拱效应的非极限主动土压力解[J]. 岩土工程学报, 2020, 42(2): 362-371. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC202002025.htm XU Ri-qing, XU Ye-bin, CHENG Kang, et al. Method to calculate active earth pressure considering soil arching effect under nonlimit state of clay[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2020, 42(2): 362-371. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC202002025.htm
[13]	JAOUHAR E M, LI L, AUBERTIN M. An analytical solution for estimating the stresses in vertical backfilled stopes based on a circular arc distribution[J]. Geomechanics and Engineering, 2018, 15(3): 889-898.
[14]	李永刚, 周慧珍. 涵洞变形对涵顶土压力的影响[J]. 太原理工大学学报, 2014, 45(6): 829-832. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TYGY201406029.htm LI Yong-gang, ZHOU Hui-zhen. Effect of culvert deformation on the top earth pressure[J]. Journal of Taiyuan University of Technology, 2014, 45(6): 829-832. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TYGY201406029.htm
[15]	刘全林, 杨敏. 上埋式管道上竖向土压力计算的探讨[J]. 岩土力学, 2001, 22(2): 214-218. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX200102027.htm LIU Quan-lin, YANG Min. Study of vertical earth pressure on positive buried pipelines[J]. Rock and Soil Mechanics, 2001, 22(2): 214-218. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX200102027.htm

施引文献(9)

期刊类型引用(5)

1.	张常光，吴凯，孟祥忠，王晓轮. 稳态渗流下非饱和土涵洞竖向土压力的迭代解与简化. 哈尔滨工业大学学报. 2024(03): 68-77 . 百度学术
2.	董顺，张翰，高潮，淦方茂，谭尧升. 考虑黏聚力及不完全拱效应的太沙基松动土压力. 地下空间与工程学报. 2024(03): 748-756 . 百度学术
3.	李泉仪，高华喜. 计及地质强度指数的坝坡基坑岩土承压敏感性试验研究. 水利规划与设计. 2024(09): 143-147 . 百度学术
4.	程振威，李又云，王传波. 减荷措施下高填涵洞竖向土压力计算. 地下空间与工程学报. 2024(06): 1790-1797 . 百度学术
5.	陈华根. 穿坝涵闸受力影响因素有限元分析研究. 水利科学与寒区工程. 2023(07): 30-32 . 百度学术