分体高频响应微型孔隙水压力传感器研制与性能评价

汤兆光; 王永志; 段雪锋; 孙锐; 王体强

doi:10.11779/CJGE202107005

分体高频响应微型孔隙水压力传感器研制与性能评价 English Version

中国地震局工程力学研究所地震工程与工程振动重点实验室,黑龙江　哈尔滨　150080

基金项目:

中国地震局工程力学研究所基本科研业务费专项项目 2019EEEVL0203

国家自然科学基金项目 51609218

黑龙江省自然科学基金项目 YQ2019E035

详细信息

作者简介:
汤兆光(1993— ),男,博士研究生,从事动力离心试验技术研究工作。E-mail：tzg158135@163.com

通讯作者:
王永志, E-mail：yong5893741@163.com

中图分类号: TU435
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出版历程
- 收稿日期: 2020-09-16
- 网络出版日期: 2022-12-02
- 刊出日期: 2021-06-30

Development and performance evaluation of separable high-frequency response miniature pore water pressure transducer

Key Laboratory of Earthquake Engineering and Engineering Vibration, Institute of Engineering Mechanics, China Earthquake Administration, Harbin 150080, China

摘要

摘要: 孔隙水压力是岩土物理试验和原位工程监测的关键力学指标之一。针对动力离心试验高频、瞬时荷载特点与动态孔压测试需求,研发了一种分体高频响微型孔压传感器DSP-II,以国际公认标准孔压传感器PDCR-81为参考,开展多组静/动力标定试验和土工离心模型试验,验证其测试精度、频响速率和稳定性。主要结论：①DSP-II传感器在提高频响速率、测试精度、寿命周期等方面,建立了关键技术与设计方法。②动力标定试验表明DSP-II和PDCR-81传感器具有基本相同动力性能,响应时间分别为4.93 ms和4.97 ms,幅值误差为0.483%和0.575%,可满足频率≤200 Hz地震、爆炸等动力离心试验孔压测试需求。③逐级加载和39 d后重复静力离心试验,不同埋深DSP-II和PDCR-81测试结果与理论值高度吻合,平均幅值误差和重复性指标分别为0.347%和0.392%,0.157%和0.169%,表明二者具备优良的长期稳定性和一致性。④各动荷载离心试验中两种传感器的测量结果极为一致,最大峰值滞时和最小相关系数分别为1.76 ms和0.9908,证明DSP-II达到了国际标准孔压传感器的量测性能。
- 孔隙水压力 /
- 微型传感器 /
- 分体结构 /
- 高频响应 /
- 性能评价
Abstract: The pore water pressure is one of the key mechanical indexes in geotechnical model tests and in-situ engineering monitoring. Aiming at the characteristics of high frequency and instantaneous load of dynamic centrifugal model tests and the measuring requirements of dynamic pore water pressure, a novel separable high-frequency response miniature transducer DSP-II is developed. Moreover, the internationally recognized standard pore water pressure transducer PDCR-81 is selected to perform a series of static and dynamic calibration tests and centrifugal model tests to verify the accuracy, frequency response and stability performance of the DSP-II. The main conclusions are drawn: (1) The DSP-II has established key technology and design method in improving the frequency response, accuracy, life cycle, etc. (2) The dynamic calibration test results show that the response time of the DSP-II and the PDCR-81 is 4.93 and 4.97 ms, and the amplitude error is 0.483% and 0.575%, which indicates that the two transducers have basically the same dynamic performance and can meet the requirements of dynamic centrifugal tests with frequencies equal or less than 200 Hz. (3) From the static stepwise centrifugal loading and repeated tests after 39 days, the results of the two transducers with different buried depths are highly consistent with the theoretical values, the average amplitude error is 0.347% and 0.392%, and the repeatability index is 0.157% and 0.169%, which indicates that they have excellent long-term stability and consistency. (4) The results of the two transducers with different dynamic loads are nearly consistent in centrifugal model tests. The maximum time lag of peak value and the minimum correlation coefficient are 1.76 ms and 0.9908, which proves that the DSP-II reach the measurement performance of the PDCR-81. The research work and conclusions are essential for advancing pore water pressure measurement technology, and may provide important guidance and design method.
- pore water pressure /
- miniature transducer /
- separable structure /
- high frequency response /
- performance evaluation

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0. 引言

随着中国城市化进程的快速推进以及交通运输网络规模的不断扩大,近年来隧道工程建设量大、面广。由于受地质条件、施工技术、使用功能等诸多因素影响,隧道横断面的形状设计复杂多变。例如,宁波地铁4号线工程中采用的类矩形盾构隧道^[1],岩石地层中采用钻爆法施工的直墙拱形隧道^[2]。然而,近年来地下结构震害频发,与圆形隧道相比,非圆隧道由于形状曲率变化导致其地震响应更为复杂。因此,研究非圆等任意断面形状隧道的地震响应,对于指导实际工程抗震设计具有广泛意义。

目前,隧道结构的地震响应分析主要采用数值模拟或模型试验。Amorosi等^[3]建立二维有限单元模型研究了黏性土中浅埋隧道的动力响应；Stamos等^[4]采用频域边界元法求解了三维地下结构的动力响应；Yu等^[5-7]采用多尺度方法分析了长隧道在一致和非一致地震作用下的动力响应规律；袁勇等^[8-9]、禹海涛等^[10]基于多台面振动台模型试验,研究了长大隧道在非一致激励下的地震响应机制。由于数值方法建模工作量大,且计算精度受参数取值影响,而模型试验受台面限制且周期长,因此实际工程设计通常采用拟静力法等简化方法。

深埋隧道的拟静力方法是将地震作用简化为远场剪应力或剪应变,基于简化模型进行静力分析计算^[11]。Bobet^[12]研究表明,当地震的波长大于隧道尺寸的8倍时,地震荷载可简化为准静态荷载,而实际工程中大部分隧道均满足此条件。拟静力法通常分为自由场变形法和地层–结构相互作用法。前者将地震引起的地层变形直接施加在结构上,由于忽略了地层–结构相互作用,因而得到的地震响应往往误差较大；后者合理考虑了地层与结构之间的相互作用关系,故得到的结果更接近实际情况,而且基于该方法的解析解具有计算简便、参数少、耗时少等优点,备受工程设计人员所青睐。如对于圆形隧道,Wang^[13]基于Einstein^[14]等提出的相对刚度法给出了圆形隧道在远场剪应力作用下的最大内力与变形；Penzien等^[15]通过假设地层与结构接触面的应力分布推导出另一个不同形式的解答；Bobet等^[12,16]拓展研究了饱和地层隧道在衬砌界面排水与不排水条件下的地震响应。对于矩形隧道,Penzien^[17]通过忽略了地层与隧道接触面上的法向应力,并基于圆形隧道的变形假设给出了近似解；Huo等^[18]应用复变函数方法,考虑了地层–结构接触面上应力和位移的连续性条件,推导出更为精确的解答。然而,以上基于地层–结构相互作用拟静力方法推导出的解析解,只适用于圆形或矩形等简单形状隧道,尚缺少面向更广泛工程设计的任意断面形状深埋隧道地震响应的解析解。

本文基于地层–结构相互作用的拟静力方法,建立了任意形状深埋隧道横向地震响应分析模型,综合考虑了隧道内部中隔墙的影响,以及地层–结构交界面上不滑移和全滑移两种典型接触条件,采用复变函数与保角映射法,推导出任意形状深埋隧道地震响应的解析解。以有限元数值解为基准,验证了本文方法的有效性和可行性。在此基础上,应用该解析方法分析了地层–结构相对刚度比、地层–结构接触条件、中隔墙刚度等因素对深埋隧道地震响应的影响规律。

1. 模型与假定

本文针对在远场剪应力作用下具有任意形状横断面的隧道结构,计算模型和坐标系统如图1所示。τ为远场剪应力,隧道的对称轴为x轴,L₁为地层与衬砌的接触面,φ为衬砌任一位置点关于x轴的夹角,δ为衬砌厚度。记地层的弹性模量和泊松比为E_g和 $ν_{g}$ ,衬砌的弹性模量和泊松比为E_l和 $ν_{l}$ 。

图 1 远场剪应力作用下的任意形状深埋隧道

Figure 1. Deep tunnel with arbitrary cross-section shapes subjected to far-field shear loading

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计算分析时的简化假定如下：①地层与衬砌为各向同性线弹性体。②地层与衬砌各处的纵向应变为0,即满足平面应变条件。③隧道横断面具有一个对称轴。④隧道埋深较大,在地震作用下处于远场剪应力状态。剪应力大小为^[15]

$τ = 0.5 E_{g} V_{\max} / [V_{S} (1 + ν_{g})]$ 。

(1)

式中 $V_{\max}$ 为地震动的峰值速度； $V_{S}$ 为场地剪切波速。⑤衬砌的厚度与隧道横断面尺寸相比可以忽略,衬砌假定为壳体,衬砌变形时满足平截面假定。

2. 解析解推导

2.1 保角变换

对于横断面形状比较复杂的隧道,可以使用保角变换将Oxy平面内的隧道映射成 $ζ$ 平面上的单位圆 $Θ = e^{i θ}$ 来分析,如图2所示。保角映射的形式为^[19]

$z = ω (ζ) = R (ζ + \sum_{k = 0}^{n} C_{k} ζ^{- k})$ 。

(2)

图 2 保角变换

Figure 2. Conformal transformation

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式中 z为oxy平面上一点,z=x+iy；R和C_k为实常数,可通过复合形方法等优化算法由隧道的尺寸和形状确定^[20]。对于任意形状的隧道,都可以获得精度很高的映射函数。由于衬砌采用壳体假设,映射后衬砌的厚度不发生变化。

2.2 地层的应力与位移

根据弹性理论,地层的应力与位移可以由两个复势函数φ(z)和ψ(z)来表示^[21]：

$\begin{array}{l} σ_{x}^{g} + σ_{y}^{g} = 4 Re [φ^{'} (z)], \\ σ_{x}^{g} - σ_{y}^{g} + 2 i τ_{x y}^{g} = 2 [\bar{z} φ^{″} (z) + ψ^{'} (z)], \\ 2 G_{g} (u_{x}^{g} + i u_{y}^{g}) = (3 - 4 ν_{g}) φ (z) - z \bar{φ^{'} (z)} - \bar{ψ (z)} 。 \end{array}}$

(3)

式中, $σ_{x}^{g}$ , $σ_{y}^{g}$ 和 $τ_{x y}^{g}$ 为地层中任一点在oxy坐标系下的应力分量, $u_{x}^{g}$ 和 $u_{y}^{g}$ 为地层中任一点在oxy坐标系下的位移分量, $G_{g}$ 为地层的剪切模量。

地层受远场剪应力τ作用,设由地层–结构相互作用引起的地层位移在无穷远处为0,则地层的复势函数为^[19]

$\begin{array}{l} φ (ω (ζ)) = i φ_{1} (ζ) = i \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} ζ^{- k}, \\ ψ (ω (ζ)) = i τ ω (ζ) + i ψ_{1} (ζ) = i τ ω (ζ) + i \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} ζ^{- k} 。 \end{array}}$

(4)

式中, $a_{k}$ 和 $b_{k}$ 为实数,i为虚数单位。为了简化分析,在计算中只考虑级数中的前N项,并记

$\begin{matrix} X_{k} = a_{k}, & X_{N + k} = b_{k} & (k = 1, 2, \dots, N \end{matrix})$ 。

(5)

将式（4）代入式（3）中,并结合转轴公式^[20]和复合函数的求导法则,可解得 ${ρ, θ}$ 坐标系中开挖面上地层的应力与位移：

$\begin{array}{l} σ_{ρ}^{g} = - 2 Im [{φ^{'}}_{1} (Θ) / ω^{'} (Θ)] + \\ Im {σ^{2} [ω (1 / Θ) {φ^{″}}_{1} (Θ) - ω (1 / Θ) ω^{″} (Θ) {φ^{'}}_{1} (Θ) / ω^{'} (Θ) + \\ ω^{'} (Θ) {ψ^{'}}_{1} (Θ) + τ ω^{'} (Θ) ω^{'} (Θ)]} / ω^{'} (1 / Θ) ω^{'} (Θ), \end{array}$

(6a)

$\begin{array}{l} τ_{ρ θ}^{g} = 1 / ω^{'} (1 / Θ) ω^{'} (Θ) Re {Θ^{2} [ω (1 / Θ) {φ^{″}}_{1} (Θ) - \\ ω (1 / Θ) ω^{″} (Θ) {φ^{'}}_{1} (Θ) / ω^{'} (Θ) + \\ ω^{'} (Θ) {ψ^{'}}_{1} (Θ) + τ ω^{'} (Θ) ω^{'} (Θ)]}, \end{array}$

(6b)

$\begin{array}{l} u_{ρ}^{g} = - 1 / 2 G_{g} | ω^{'} (Θ) | Im {Θ^{- 1} [κ_{g} ω^{'} (1 / Θ) φ_{1} (Θ) + \\ ω (Θ) {φ^{'}}_{1} (1 / Θ) + ω^{'} (1 / Θ) ψ_{1} (1 / Θ) - τ ω^{'} (1 / Θ) ω (1 / Θ)]}, \end{array}$

(6c)

$\begin{matrix} u_{θ}^{g} = 1 / (2 G_{g} | ω^{'} (Θ) |) Re {Θ^{- 1} [κ_{g} ω^{'} (1 / Θ) φ_{1} (Θ) + \\ ω (Θ) {φ^{'}}_{1} (1 / Θ) + ω^{'} (1 / Θ) ψ_{1} (1 / Θ)] - τ ω^{'} (1 / Θ) ω (1 / Θ)} 。 \end{matrix}$

(6d)

式中,各项均为关于 $Θ$ 的Laurent级数,因而将式（2）,（5）代入式（6a）～（6d）中,通过级数运算可以将开挖面上地层的应力与位移表示成如下形式：

$σ_{ρ}^{g}, u_{ρ}^{g}, τ_{ρ θ}^{g}, u_{θ}^{g} ~ \sum_{k = - p_{k}^{(l)}}^{p_{k}^{(l)}} \sum_{j = 1}^{2 N} U_{k j}^{(l)} X_{j} Θ^{k} + \sum_{k = - p_{k}^{(l)}}^{p_{k}^{(l)}} V_{k}^{(l)} Θ^{k}$ ,

(7)

式中,应力与位移的Laurent系数为 $X_{k}$ 的线性组合, $U_{k j}^{(l)}$ 为k阶Laurent级数项中 $X_{j}$ 的系数, $V_{k}^{(l)}$ 为常数。

2.3 衬砌的控制方程

根据壳体理论^[19],衬砌上任一点的轴力T与弯矩M可以表示为

$\begin{array}{l} T = \frac{E_{l} δ}{1 - ν_{l}^{2}} (\frac{d u_{θ}^{l}}{d s} + K u_{ρ}^{l}), \\ M = - \frac{E_{l} δ^{3}}{12 (1 - ν_{l}^{2})} [\frac{d^{2} u_{ρ}^{l}}{d s^{2}} + K^{2} u_{ρ}^{l} - \frac{d K}{d s} u_{θ}^{l}] 。 \end{array}}$

(8)

式中 T和M分别为衬砌任意位置上的轴力与弯矩； $u_{θ}^{l}$ , $u_{ρ}^{l}$ 为 ${ρ, θ}$ 坐标系下的衬砌位移；s为L₁的线长参数；K为衬砌上任一点的曲率,向外弯为正。衬砌的平衡方程为

$\begin{array}{l} d T /d s + K d M /d s + τ_{ρ θ}^{l} = 0, \\ - K T + d^{2} M /d s^{2} + σ_{ρ}^{l} = 0 。 \end{array}}$

(9)

式中, $σ_{ρ}^{l}$ 和 $σ_{ρ}^{l}$ 为 ${ρ, θ}$ 坐标系下的衬砌应力。

将式（8）代入式（9）,有

$\begin{array}{l} d^{2} u_{θ}^{l} /d s^{2} +d (K u_{ρ}^{l}) /d s - K δ^{2} / 12 [d^{3} u_{ρ}^{l} / d s^{3} + \\ d (K^{2} u_{ρ}^{l}) / d s - d (K^{'} u_{θ}^{l}) / d s] = - (1 - ν_{l}^{2}) / (E_{l} δ) τ_{ρ θ}^{l}, \\ K d u_{θ}^{l} / d s + K^{2} u_{ρ}^{l} + δ^{2} / 12 [d^{4} u_{ρ}^{l} /d s^{4} + d^{2} (K^{2} u_{ρ}^{l}) / d s^{2} - \\ d^{2} (K^{'} u_{θ}^{l}) / d s^{2}] = (1 - ν_{l}^{2}) / (E_{l} δ) σ_{ρ}^{l} 。 \end{array}}$

(10)

为了将衬砌在坐标系 ${ρ, θ}$ 中表出,需将式（10）中的各物理量表示为 $Θ$ 的级数。由求导法则,有

$\frac{d}{d s} = \frac{d θ}{d s} \frac{d Θ}{d θ} \frac{d}{d Θ} = \frac{i}{A} \frac{d}{d Θ}$ ,

(11)

式中, $A$ 为曲线的拉梅常数, $A = | ω^{'} (σ) |$ 。 $1 / A$ 和K的表达式可以由式（2）确定,然后将其展开成傅里叶级数。

2.4 边界条件

本文考虑两种典型的地层–结构接触条件：不滑移和全滑移。地层与衬砌不产生相对位移时,应力与位移在接触面上满足连续性条件：

$\begin{array}{l} u_{ρ}^{l} = u_{ρ}^{g}, u_{θ}^{l} = u_{θ}^{g}, \\ σ_{ρ}^{l} = σ_{ρ}^{g}, τ_{ρ θ}^{l} = τ_{ρ θ}^{g} 。 \end{array}}$

(12)

地层–结构间完全滑移时,在接触面上法向应力与法向位移满足连续性条件,切向应力为0,因而有

$\begin{array}{l} u_{ρ}^{l} = u_{ρ}^{g}, \\ σ_{ρ}^{l} = σ_{ρ}^{g} τ_{ρ θ}^{l} = τ_{ρ θ}^{g} = 0 。 \end{array}}$

(13)

需要说明的是,由于深埋隧道受周围岩土体初始自重应力场的作用,即使在地震作用下,衬砌与地层通常不会沿接触面法向脱开,因此可视为接触面上法向应力与法向位移保持连续。

2.5 求解步骤

首先求解地层–结构间不滑移的解,将式（7）,（12）代入式（10）中,并结合式（11）,有

$\begin{array}{l} \sum_{k = M_{1}}^{M_{1}} \sum_{j = 1}^{2 N} {(F_{1})}_{k j} X_{j} Θ^{k} = \sum_{k = M_{1}}^{M_{1}} {(b_{1})}_{k} Θ^{k}, \\ \sum_{k = M_{2}}^{M_{2}} \sum_{j = 1}^{2 N} {(i F_{2})}_{k j} X_{j} Θ^{k} = \sum_{k = M_{2}}^{M_{2}} {(i b_{2})}_{k} Θ^{k} 。 \end{array}}$

(14)

通过比较式（14）等式两边同幂项的系数,可以获得一组线性方程,则待定系数 $x_{k}$ 可以通过求解这个线性方程组得到。

地层–结构间完全滑移时,将衬砌切向位移作傅里叶级数展开,有

$u_{θ}^{l} = \sum_{k = 0}^{N} d_{k} \cos k θ = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{N} d_{k} (Θ^{k} + Θ^{- k})$ ,

(15)

并记

$X_{2 N + k} = d_{k} (k = 1, 2, 3, \dots, N + 1)$ 。

(16)

将（7）,（13）,（15）代入式（10）中,并结合式（11）,得

$\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{3 N + 1} {(F_{3})}_{k j} X_{j} {(b_{3})}_{k} & (k = 0, 1, 2, 3, \dots, N), \\ \sum_{j = 1}^{3 N + 1} {(F_{4})}_{k j} X_{j} {(b_{4})}_{k} & (k = 1, 2, 3, \dots, N), \\ \sum_{j = 1}^{2 N} U_{k j}^{(3)} X_{j} = - V_{k}^{(3)} & (k = 0, 1, 2, 3, \dots, N) 。 \end{matrix}}$

(17)

同样的,通过比较式（7）等式两边同幂项的系数,可以解出所有的待定参数。

具体求解流程归纳如下：①通过式（6）计算式（7）中各参数；②将式（7）代入式（10）,依据不同的接触条件,计算式（14）或式（17）中各参数；③求解式（14）或式（17）,得出待定系数 $X_{k}$ 和 $d_{k}$ ；④将 $x_{k}$ 代入式（7）,得开挖面上地层的应力与位移；⑤地层–结构不滑移时,由式（12）确定衬砌的应力与位移。地层–结构全滑移时,将 $d_{k}$ 代入式（15）得到衬砌的切向位移,再由式（13）得到其余的衬砌应力和位移,地层与衬砌在oxy坐标下的应力与位移可由式（3）,（4）求得；⑥将衬砌的应力和位移代入式（8）,得到衬砌的轴力与弯矩。

2.6 含中隔墙隧道的解答

在远场剪应力的作用下,中隔墙对隧道管片作用为剪力T和弯矩 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ ,如图3所示。

图 3 含中隔墙隧道计算简图

Figure 3. Mechanical model for a tunnel with middle wall

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为了计算集中力（矩）作用在衬砌内部时的响应,使用如下函数来描述集中力（矩）：

$f (θ) = {\begin{matrix} {[ε + \cos k_{a} θ]}^{k_{b}} & (| θ | \leq 10 \sqrt{ε} / k_{a}) \\ 0 & (其它) \end{matrix}$ ,

(18)

式中, $ε = 10^{- 4}$ , $k_{a} = 5$ , $k_{b} = 10^{3}$ , $f (θ)$ 为仅在 $θ = 0$ 附近不为0的函数。

记中隔墙端部剪力为 $T A_{1} f (θ) + T A_{2} f (θ + π)$ ,力矩为 $M_{1} A_{1} f (θ) + M_{2} A_{2} f (θ + π)$ , $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 为实参数,由归一化条件确定。

则 $T$ , $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 与衬砌位移有如下关系：

$\begin{array}{l} (1 - ν_{l}^{2}) T = 6 i / l [d u_{ρ}^{l} / d s (0) + d u_{ρ}^{l} /d s (π)] + \\ 12 i / l^{2} [u_{θ}^{l} (0) + u_{θ}^{l} (π)], \\ (1 - ν_{l}^{2}) M_{1} = - i [4 d u_{ρ}^{l} /d s (0) + 2 d u_{ρ}^{l} /d s (π)]] + \\ 6 i / l^{2} [u_{θ}^{l} (0) + u_{θ}^{l} (π)], \\ (1 - ν_{l}^{2}) M_{2} = i [2 d u_{ρ}^{l} /d s (0) + 4 d u_{ρ}^{l} /d s (π)] + \\ 6 i / l^{2} [u_{θ}^{l} (0) + u_{θ}^{l} (π)] 。 \end{array}}$

(19)

式中, $i = E I_{m} / l$ , $I_{m}$ 为中隔墙单位纵截面的转动惯量,l为中隔墙长度, $I_{m} = δ_{m}^{3} / 12$ , $δ_{m}$ 为中隔墙厚度。忽略剪力对衬砌管片法向平衡的影响,则中隔墙对衬砌管片的作用可以由如下应力分布表示：

$\begin{matrix} σ_{ρ 0}^{1} = - M_{0} d^{2} f (θ) / d s^{2}, \\ τ_{ρ θ 0}^{1} = - T_{0} d f (θ) / d s - M_{0} K d f (θ) / d s 。 \end{matrix}}$

(20)

将式（9）改为如下形式：

$\begin{array}{l} d T / d s + K d M /d s + τ_{ρ θ}^{l} + τ_{ρ θ 0}^{l} = 0, \\ - K T + d^{2} M /d s^{2} + σ_{ρ}^{l} + σ_{ρ 0}^{l} = 0 。 \end{array}}$

(21)

按照2.5节的计算步骤,在步骤③中联立式（19）,可求得衬砌与地层的应力和位移。

3. 数值验证

建立有限元基准模型来验证本文解析方法的有效性和可行性。选用如下两种不同形状的隧道进行对比验证：不含中隔墙的直墙拱形隧道^[21]和含中隔墙的类矩形隧道^[1]。隧道设防烈度设为Ⅶ,地震动峰值速度 $V_{\max} = 0.13 m/s$ ^[22]。

假设直墙拱形隧道高6 m,宽4.85 m,衬砌厚度 $δ$ 为0.3 m,弹性模量 $E_{l}$ 为30 GPa,泊松比 $ν_{l}$ 为0.2。地层弹性模量 $E_{g}$ 为5 GPa,泊松比 $ν_{g}$ 为0.25,场地剪切波速 $V_{\max} = 800 m/s$ 。

$\begin{matrix} z = ω (ζ) = 3 (ζ - 0.1036 + 0.0873 ζ^{- 1} + 0.0729 ζ^{- 2} - \\ 0.0984 ζ^{- 3} + 0.0384 ζ^{- 4} + 0.0052 ζ^{- 5}) \end{matrix}$ 。

(22)

类矩形隧道高6.49 m,宽11.05 m,衬砌厚度 $δ$ 为0.45 m,中隔墙厚度 $δ_{m}$ 为0.35 m,衬砌弹性模量 $E_{l}$ 为34.5 GPa,泊松比 $ν_{l}$ 为0.2。地层弹性模量 $E_{g}$ 为1 GPa,泊松比 $ν_{g}$ 为0.25,场地剪切波速 $V_{\max} = 200 m/s$ 。隧道映射函数如下：

$\begin{matrix} z = ω (ζ) = 4 .4434(ζ - 0.26173 ζ^{- 1} - 0.0145 ζ^{- 3} + \\ 0.00635 ζ^{- 5} + 0.00193 ζ^{- 7} - 0.00136 ζ^{- 9}) \end{matrix}$ 。

(23)

基于大型通用软件ABAQUS建立相应的有限元模型,采用梁单元模拟衬砌结构,平面应变单元模拟地层。地层–结构间不滑移时,采用绑定约束；地层–结构间全滑移时,法向为硬接触,切向设为Coulomb型接触面。衬砌内边界的切向正应力为 $σ_{θ} = T / δ +$ $M δ / 2 I$ ,式中, $I = δ^{3} / 12$ 。

图4给出了直墙拱形隧道衬砌内边界上归一化切向正应力 $σ_{θ} / τ$ 的分布情况,图5给出了不滑移条件下类矩形隧道中 $σ_{θ} / τ$ 的分布情况,以及考虑初始地应力条件（竖向应力 $σ_{v} = 900 kPa$ ,水平应力 $σ_{h} =$ $630 kPa$ ）时地层–结构交界面上的法向接触应力 $σ_{ρ}$ 分布。根据算例中隧道结构的对称性,取1/2模型进行地震响应分析。

图 4 直墙拱形隧道地震响应对比验证

Figure 4. Comparison of seismic responses of straight-wall-arch shaped tunnel by FEM model and proposed analytical solution

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图 5 类矩形隧道地震响应对比验证

Figure 5. Comparison of seismic responses of quasi-rectangular tunnel by FEM model and proposed analytical solution

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对比本文解析解与有限元数值解可以看出,分析结果均吻合较好,从而验证了本文解析解的正确性。此外,解析解与数值解均表明地震作用下隧道-地层接触面法向接触应力总为压应力,进一步说明了地层与结构沿法向不会脱开,也即交界面上的法向应力和法向位移保持连续性。

4. 参数敏感性分析

在以上验证算例的基础上,选取了地层–结构相对刚度比和中隔墙厚度进行参数敏感性分析,并研究了隧道形状和地层–结构接触条件对隧道地震响应的影响程度。

4.1 地层–结构相对刚度比的影响

在基于相对刚度法的圆形隧道解析解中,引入了压缩比和柔度比来描述地层–结构相对刚度,其中柔度比被认为对地震响应有较大影响^[13]。参照圆形隧道^[12,16],定义非圆隧道的柔度比如下：

$F = \frac{E_{g} R^{3} (1 - ν_{l}^{2})}{E_{l} I (1 - ν_{g}^{2})}$ 。

(24)

图6给出了直墙拱形隧道衬砌内边界上归一化切向正应力的最大值与柔度比的关系,以及归一化法向位移最大值 $u_{ρ}^{l} / u_{free field} = 2 G u_{ρ}^{l} / τ R$ 与柔度比的关系, $u_{free field}$ 为与O点距离R处的自由场位移。可见随着柔度比增大,隧道的应力响应减小。当柔度比较小时,即对于软土地层,隧道应力响应随柔度比的增大降低较快,而地层–结构之间的不滑移或全滑移接触边界则对隧道地震响应影响较小。当柔度比较大时,如对于岩石地层,隧道应力响应的最大值对地层–结构相对刚度较不敏感,地层–结构不滑移时的响应略大于全滑移时的响应。隧道的位移响应与内力响应变化规律相反,即随着柔度比的增大而增大,且全滑移条件下的衬砌最大位移大于不滑移条件下的位移。而在衬砌接近刚体即柔度比趋近于0时,位移响应接近于0。

图 6 柔度比对隧道最大内力响应和位移响应的影响

Figure 6. Effects of flexibility ratio on maximum stress and displacement responses of tunnel

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4.2 中隔墙厚度的影响

通过改变类矩形隧道验证算例中的中隔墙厚度,探究中隔墙厚度对隧道地震响应的影响。图7给出了不同中隔墙厚度下隧道内边界切向应力分布,中隔墙厚度与衬砌管片厚度的比值分别取0,0.5,1.0,1.5,2.0。从中可以看出中隔墙厚度变化对衬砌内力分布的影响局限在中隔墙端部附近,在远离端部处中隔墙的影响可以忽略不计。当厚度比大于1.5时,中隔墙端部处的内力响应超过了不含中隔墙时的最大内力。因此,在含中隔墙隧道的抗震设计中,对于中隔墙厚度相对衬砌管片较大时,应重点关注中隔墙对隧道最大地震响应的放大作用。

图 7 中隔墙厚度对衬砌内力分布的影响

Figure 7. Effects of thickness of the middle wall on stress distribution of lining

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5. 结论

本文针对目前工程设计对非圆隧道抗震简化分析方法的实际需求,采用复变函数法推导出任意形状深埋隧道地震响应的解析解,并考虑了地层-隧道不滑移与全滑移两种接触条件以及隧道含中隔墙的影响。通过与有限元基准模型的计算结果对比,验证了本文所推导解析解的正确性。本文所提出的解析解可以简便、快速地对具有任意形状横断面的隧道结构进行抗震安全性评估,为实际工程隧道结构抗震设计与分析提供了实用有效的解析方法。

应用该解析解开展了多因素影响分析,结果表明：

（1）地层与结构的柔度比越大,隧道的内力响应越小,而位移响应越大,且相比岩层隧道,土层隧道的地震响应对柔度比的变化更敏感。

（2）相比地层–结构全滑移条件（Full-slip）,地层-结构不滑移条件（No-slip）下隧道衬砌的内力响应较大而位移响应较小。因此,在土层尤其是软土地层修建隧道时,结构设计应重点关注隧道的抗震安全性。

（3）对比有无中隔墙隧道的抗震分析表明,中隔墙对隧道内力的影响仅局限于中隔墙与隧道相接端部附近,且中隔墙厚度越大,中隔墙端部附近的内力响应越大。对于类矩形隧道,当中隔墙厚度超过衬砌厚度的1.5倍时,中隔墙的存在将显著增大了隧道衬砌的最大内力响应,因此隧道抗震设计时应重点考虑中隔墙的影响。

需要说明的是,本文所推导出的解析解仅针对任意截面隧道结构的地震响应特性,该地震响应解析解还需要与初始静力工况计算结果进行组合,从而应用于实际工程指导隧道结构设计。

图 1 国际多种典型微型孔压传感器结构设计

Figure 1. Structural design of several typical miniature transducers

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图 2 DSP-II分体微型孔压传感器设计结构与实物

Figure 2. Separable structure and photo of DSP-II

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图 3 动力孔压响应标定装置与孔压传感器标定

Figure 3. Photos of dynamic response calibration device for pore water transducer and calibration procedure

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图 4 标定试验输入压力荷载与孔压传感器响应结果

Figure 4. Calibrated results of input pressure loads and response of miniature transducers

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图 5 孔压传感器静力性能分析

Figure 5. Comparison of static performances of miniature transducers

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图 6 孔压传感器动力性能对比分析

Figure 6. Comparison of dynamic performances of miniature transducers

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图 7 DCIEM-40-300大型动力离心机试验系统

Figure 7. DCIEM-40-300 centrifuge shaking table test system

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图 8 土工离心试验模型设计与实物照片

Figure 8. Model design and photo of centrifuge tests

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图 9 施加离心加速度与动力荷载

Figure 9. Centrifugal acceleration and dynamic loading

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图 10 各组孔压传感器静力离心试验结果

Figure 10. Static centrifugal test results of transducers along depth

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图 11 两种孔压传感器静力性能对比验证

Figure 11. Comparison of static performance verification of transducers

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图 12 0.1g正弦波荷载下动力离心试验结果

Figure 12. Dynamic centrifugal test results under 0.1g sine wave

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图 13 0.4g El-centro波荷载下动力离心试验结果

Figure 13. Dynamic centrifugal test results under 0.4g El-centro wave

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图 14 0.3g脉冲波荷载下动力离心试验结果

Figure 14. Dynamic centrifugal test results under 0.3g step wave

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表 1 国际多种典型微型孔压传感器主要设计参数及材质

Table 1 Main technical specifications and materials of several typical miniature transducers (mm)

型号	壳体	透水石	空腔	线缆	壳体材质	透水石材质
PDCR-81	$ϕ$ 6.4×11.4	$ϕ$ 6.0×2.0	0.13	$ϕ$ 2.3	不锈钢	多孔陶瓷
2Mie	$ϕ$ 7.0×11.2	$ϕ$ 3.8×4.0	0.40	$ϕ$ 1.2	不锈钢	多孔陶瓷
KPE-PB	$ϕ$ 10×13.5	$ϕ$ 6.5×1.0	2.80	$ϕ$ 1.6	黄铜	细烧不锈钢

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表 2 DSP-II分体微型孔压传感器设计参数与材料

Table 2 Technical specifications and materials of DSP-II (mm)

型号	壳体	透水石	空腔	线缆	壳体材质	透水石材质
DSP-II	$ϕ$ 10×13.5	$ϕ$ 5.4×3.0	0.20	$ϕ$ 2.0	不锈钢	多孔陶瓷

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表 3 两种传感器静力和动力标定试验量测性能指标对比

Table 3 Comparison of operational indexes of static and dynamic calibration tests on two transducers

静力指标	ξ_l/%	A_e/%	ξ_r/%	ξ_d/%
DSP-II	0.312	0.232	0.143	0.147
PDCR-81	0.451	0.253	0.149	0.164
动力指标	t_r/ms	t_p/ms	ξ_l/%	A_e/%
DSP-II	4.93	11.36	0.368	0.483
PDCR-81	4.97	11.43	0.497	0.575

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表 4 长期稳定性测试总体误差

Table 4 Long-term stability overall operational data (%)

离心荷载	5g	10g	20g	30g	40g	50g
DSP-II	1.31	0.84	0.58	0.63	0.69	0.47
PDCR-81	1.39	1.05	0.69	0.77	0.75	0.65

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表 5 正弦波荷载下两种孔压传感器动力性能对比

Table 5 Comparison of dynamic performances of miniature transducers under 0.1g sine wave

原型深度	5.5 m		11.0 m		16.5 m		21.5 m
动力指标	P_e/kPa	P_t/ms	P_e/kPa	P_t/ms	P_e/kPa	P_t/ms	P_e/kPa	P_t/ms
饱和砂	2.15	1.76	0.93	0.52	0.28	0.51	0.29	0.41
纯水	0.12	0.55	0.07	0.48	0.16	0.42	0.11	0.45

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表 6 地震波荷载下两种孔压传感器动力性能对比

Table 6 Comparison of dynamic performances of miniature transducers under 0.4g El-centro seismic wave

原型深度/m	饱和砂	纯水
原型深度/m	R	R	T_d(DSP-II)/ms	T_d(PDCR-81)/ms
5.5	0.9991	0.9936	8.47	8.55
11.0	0.9993	0.9908	6.31	6.58
16.5	0.9997	0.9976	5.03	5.31
21.5	0.9995	0.9925	4.96	5.17

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表 7 两种孔压传感器动力量测分辨力对比

Table 7 Comparison of dynamic resolutions of miniature transducers (kPa)

原型深度	5.5 m	11.0 m	16.5 m	21.5 m	平均分辨力
DSP-II	0.049	0.065	0.057	0.062	0.058
PDCR-81	0.051	0.076	0.056	0.064	0.063

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