基于双分形级配模型参数的粗粒土渗透系数计算公式

曲诗章; 刘晓明; 黎莉; 陈仁朋

doi:10.11779/CJGE20210543

基于双分形级配模型参数的粗粒土渗透系数计算公式 English Version

曲诗章^1,,
刘晓明¹,
黎莉^{1, 2, ,},
陈仁朋^{1, 2}

1.
湖南大学土木工程学院, 湖南长沙 410082
2.
湖南大学建筑安全与节能教育部重点实验室, 湖南长沙 410082

基金项目:

国家重点研发计划项目 2019YFC1904705

详细信息

作者简介:
曲诗章(1992—)，男，博士研究生，主要从事地基基础和岩土基本性质等方面的研究工作。E-mail: qsz.cxdl@hnu.edu.cn

通讯作者:
黎莉, E-mail: lilicivil@hnu.edu.cn

中图分类号: TU441
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出版历程
- 收稿日期: 2021-05-13
- 网络出版日期: 2023-02-03
- 发布日期: 2021-05-13
- 刊出日期: 2022-12-31

Formula for permeability coefficient of coarse-grained soil based on parameters of two-dimensional fractal gradation model

QU Shizhang^1,,
LIU Xiaoming¹,
LI Li^{1, 2, ,},
CHEN Renpeng^{1, 2}

1.
College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China
2.
Key Laboratory of Building Safety and Energy Efficiency of Ministry of Education, Hunan University, Changsha 410082, China

摘要

摘要: 粗粒土在自然界中分布广泛且在工程中应用普遍。渗透性是粗粒土的重要性质，对于同种粗粒土，因颗粒级配与孔隙特征几乎决定其渗透性，原则上其渗透系数应该可基于颗粒级配和孔隙特征参量计算得到。采用基于分形理论建立的双分形级配模型对粗粒土的连续级配、间断级配进行定量描述，以确定该级配模型的适用性并获得级配模型参数。在此基础上，基于双分形级配模型参数和Kozeny-Carman公式构造出包含级配参量及孔隙率的渗透系数计算公式。在论述了计算公式中各项物理意义后，基于现有文献的实测数据验证该计算公式的有效性。结果表明，双分形级配模型能准确唯一地定量描述粗粒土的颗粒级配；建立的含颗粒级配参量和孔隙率的粗粒土渗透系数计算公式是合理的，该公式适用于计算连续和间断级配粗粒土的渗透系数。
- 粗粒土 /
- 渗透系数 /
- 分形模型 /
- 颗粒级配 /
- 孔隙率
Abstract: The coarse-grained soil is widely distributed in nature and used in engineering. The permeability is one of its key properties, and for the same type of coarse-grained soil, its permeability is almost determined by the grain-size distribution and the pore characteristics. In principle, its permeability coefficient can be calculated based on the grain-size distribution and the pore characteristic parameters. The two-dimensional fractal gradation model based on the fractal theory is used to quantitatively describe the continuous gradation and gap gradation of the coarse-grained soil so as to determine the applicability of the gradation model and obtain its parameters. Then, based on the parameters of the two-dimensional fractal gradation model and the Kozeny-Carman formula, a formula for calculating the permeability coefficient including grain-size distribution parameters and the porosity is established. After discussing the physical meaning of each item in the formula, the validation of the formula is verified by using the measured data in the existing researches. The results show that the two-dimensional gradation model can accurately and uniquely describe the grain size distribution of the coarse-grained soil. The established formula for calculating the permeability coefficient of the coarse-grained soil including grain-size distribution parameters and the porosity is reasonable, and it is suitable for calculating the permeability coefficient of continuously graded and gap-graded coarse-grained soil.
- coarse-grained soil /
- permeability coefficient /
- fractal model /
- grain-size distribution /
- porosity

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0. 引言

近年来，海洋开发和利用不断加深，特别是中国海上风电、跨海大桥、海上石油平台、海底隧道、海底管道等重大海洋工程投入使用。与此同时，中国海域及邻区所处地震地质环境复杂，地震活动性较强，海域地震频发^[1]，海洋工程的抗震设防能力及重要性凸显，海域场地工程特性得到充分关注^[2]。针对中国海域及邻近区域的场地地震反应研究工作仍不足^[1]，对海域土层条件，场地特性及分类等研究还处在起步阶段^[3]，所以研究海域场地效应和海域场地分类可以为海洋工程抗震设防，海洋结构安全性评价提供帮助。

Nakamura^[4]提出基于地脉动的水平和竖向谱比（horizontal-to-vertical spectral ratio, HVSR）作为场地特征评估方法，国内外涌现很多基于HVSR的场地地震效应和场地分类的研究。其中Boore等^[5]认为水平向地震动与竖向地震动之比（H/V）可以消除震源、断层类型、传播路径等因素，用以分析场地效应；同时Boore等^[5]认为H/V谱比法可同时应用于陆域和海域场地的研究。Field等^[6]利用HVSR法研究了1994年北岭地震场地非线性放大效应。Bonilla等^[7]利用南加州地区的井下阵列钻孔记录对比了HVSR法和传统的场地特征研究方法，发现两种方法得到的场地卓越周期基本一致。Wen等^[8]利用HVSR法分析了集集地震的场地非线性反应。任叶飞等^[9]将广义线性反演法和HVSR法进行对比，得出HVSR方法可以应用于评估场地卓越周期。荣棉水等^[10]利用美国Garner Valley Downhole Array（GVDA）竖向观测台阵的记录，对比了传递函数法和HVSR法的差异，并指出在可忽略场地竖向放大的情况下，可以利用HVSR研究场地特性。Ren等^[11]分析了2008年汶川地震的场地非线性效应，并提出了5个关键参数来表征场地非线性。Dhakal等^[12]利用K-NET六座海底台站记录到的315次地震事件分析了海底台站的场地效应，当PGA > 50gal时，海底部分台站所在场地出现非线性。Kubo等^[13]基于日本DONET1观测网记录到的2016年日本Off-Mie地震，利用HVSR法分析了台站所在场地的场地效应，认为部分台站场地的非线性反应抑制了地震动的放大效应。Ji等^[14]将HVSR计算出的非线性响应程度（DNL）和非线性响应百分比（PNL）联合PGA和V_S30（或V_S20）作为变量，采用k-means方法识别非线性场地响应。Yaghmaei-Sabegh等^[15]利用2017年伊朗Ezgeleh地震所记录到的地震数据，提出了基于广义回归神经网络（generalized regression neural networks，GRNN）的HVSR分类方法，该方法仅利用地震记录就可进行场地类别的划分，并将其与Vs30场地分类方法进行对比，展现了GRNN方法的可靠性。周旭彤等^[16]利用HVSR方法对日本DONET1台网20座海底台站场地效应进行分析，研究结果表明，部分台站具有相似的场地特征，海底台站的布设方式和海底地形会对谱比结果产生影响。

本文基于日本K-NET台网的海底台站收集的地震数据，利用HVSR联合动态聚类的方法对海底台站的场地特征进行识别，给出了台站所在场地的分类结果，为研究海域场地效应提供参考。

1. 海域强地震动观测数据与谱比方法

1.1 海域强地震动观测现状及数据处理

海域强地震动观测与陆域相比，存在设备安置难度大、回收效率低及观测稳定性较差等技术难题，发展远落后于现有陆域观测水平及海洋工程建设需求。美国和日本较早开展海域地震动观测，中国台湾地区也布设了海底地震观测设备^[17]，美国在20世纪70年代（1977年）针对海底地震记录观测需求，提出了SEMS计划（seafloor earthquake monitor system，以下简称SEMS）^[3]，日本于90年代（1996年）在东京圈近海开展ETMC计划（earthquake and tsunami monitoring cable，以下简称ETMC）^[18]。美国SEMS计划开发了4代海底地震仪，安装在南加州海域，水深区间为数10~300 m。日本ETMC系统布置在相模湾，观测系统由海底强震仪及海啸压力传感器组构，水深区间在900~2000 m不等。本文收集、整理了日本K-net台网6个海底台站2000—2018年的海域地震动数据。海底台站信息见表 1，分布见图 1。

表 1 海底台站信息

Table 1. Information of seabed stations

台站编号	东经/(°)	北纬/(°)	海水深度/m
KNG201	139.9183	34.5956	2197
KNG202	139.8393	34.7396	2339
KNG203	139.6435	34.7983	902
KNG204	139.5711	34.8931	933
KNG205	139.4213	34.9413	1486
KNG206	139.3778	34.0966	1130

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图 1 海底台站与水深分布图

Figure 1. Distribution map of submarine stations and water depth

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为研究6个台站所在海域的场地效应，考虑噪声对地震记录的影响，本文对上述数据进行筛选，筛选原则如下：①震级大于4级且PGA < 20 cm/s²；②震源位置均在海域。据此选取338组地震记录，每组记录均包含三分量，震级震中距分布见图 2。由图 2可知，震级主要分布在4.0~5.5级，震中距主要分布在0~300 km。

图 2 震级震中距分布图

Figure 2. Distribution map of magnitude and distance

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针对原始地震记录可能出现的基线漂移、仪器噪声及环境噪声等信号偏差，对筛选后的海域地震动记录采用基线校正和滤波的方法进行处理，其中采用Boore提出的分段式基线对地震动记录进行校正^[19]，构建4阶Butterworth带通滤波器，截止频率为0.1~20 Hz，处理前后的地震记录对比见图 3，由图可知，未处理地震动将出现基线漂移，中、长周期信号失真。处理后的地震记录更符合实际物理过程。

图 3 地震记录处理

Figure 3. Processing of seismic records

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1.2 海域强地震动记录HVSR计算

在利用强震记录研究场地效应时，需尽量选取S波时段^[20]。姚鑫鑫等^[21]关于S波的截取对HVSR谱比结果影响的研究表明，截取S波可以更好地体现高频段场地放大效应。因此本文对筛选后的海域地震动记录截取S波到时，将Arias强度能量^[22]达到90%所对应的持时作为S波的结束时间。

对截取后的S波数据进行快速傅里叶变换（FFT），选取0.2~20 Hz频带范围，并利用Konno平滑方法^[23]对傅里叶振幅谱进行平滑，平滑系数b取20。图 4（a）表明，利用该平滑方法既不低估场地放大效应的幅值，又不影响卓越频率的识别，可以较好地体现各频段的信息。将平滑后的地震记录S波的EW、NS向利用几何平均合成水平向，并除以相应的UD向平滑后的傅里叶振幅谱，得到的HVSR结果见图 4（b）。

图 4 HVSR计算过程

Figure 4. Calculation process of HVSR

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2. 动态聚类学习原理与评价

2.1 动态k-means聚类学习原理

Zhang等^[24]完善了动态 $k$ -means聚类方法，针对反应谱数据开展了聚类分析，本文通过添加谱比序列标签，采用动态聚类算法实现HVSR谱比分类。动态聚类学习原理如下：针对 $m$ 个数据序列 $\boldsymbol{Z} =$ $\left\{\boldsymbol{z}_1, \boldsymbol{z}_2, \cdots, \boldsymbol{z}_m\right\}^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，各序列由 $n$ 个样本点组成行向量，即 ${{\bf{z}}_i} = \{ {z_{i1}}, {z_{i2}}, \cdot \cdot \cdot , {z_{in}}\}$ ，其中 $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot , m$ 。通过聚类、迭代方法，将数据序列实现分类，即将计算序列 ${\bf{Z}}$ 和各类数据中心 $\boldsymbol{C}=\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_k\right\}^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{k \times n}$ 的欧式距离聚类：

$P(\boldsymbol{U}, \boldsymbol{W}, \boldsymbol{C})=\sum\limits_{p=1}^k \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n \lambda_{i p} w_{p j}\left(z_{i j}-c_{p j}\right)^2 \text{，}$

(1)

式中： $\boldsymbol{c}_p=\left\{c_{p 1}, c_{p 2}, \cdots, c_{p n}\right\}$ 是 $p$ 个类中心，由n个样本点组成的行向量。 $\boldsymbol{U} \in {\mathbb{Z}^{z \times k}}$ 为二元矩阵，当 ${\lambda _{ip}} = 1$ 表示第 $i$ 个序列分配给 $p$ 类，并且每个序列仅可分配给同类，即 $\sum\nolimits_{p = 1}^k {{\lambda _{ip}} = 1}$ 。通过设置权重矩阵 $\boldsymbol{W}$ ，可更好识别局部数据跨度内时间序列的相关性，提高聚类性能，每个序列的权重之和为1，即 $\sum\nolimits_{j = 1}^n {{w_{pj}} = 1}$ 。为了平滑在相邻序列间的权重，防止陷入局部最小，设置约束正则项，定义如下：

$Q_w(\boldsymbol{W})=\frac{\alpha}{2} \sum\limits_{p=1}^k \sum\limits_{j=1}^{n-1}\left(w_{p j}-w_{p(j+1)}\right)^2 \text{，}$

(2)

式中， $\alpha$ 为平滑参数， $\alpha = \sum\nolimits_{i = 1}^m {\sum\nolimits_{j = 1}^n {({z_{ij}} - \sum\nolimits_{i = 1}^m {{z_{ij}}/} } }$ $m{)^2}$ 。

综上，动态聚类可以被定义为具有正则化目标函数的优化问题：

$\begin{aligned} & \{\hat{\boldsymbol{U}}, \hat{\boldsymbol{W}}, \hat{\boldsymbol{C}}\}=\underset{\{\boldsymbol{U}, \boldsymbol{W}, \boldsymbol{C}\}}{\arg \min } P(\boldsymbol{U}, \boldsymbol{W}, \boldsymbol{C})+Q_{\mathrm{w}}(\boldsymbol{W}) \\ & \mathrm{s}.\text{t}.\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\lambda }_{ip}\ge {m}_{0}}且{\displaystyle \sum _{p=1}^{k}{\lambda }_{ip}=1};{\lambda }_{ip}\in \{0, 1\}\\ {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{w}_{pj}=1;}\qquad \qquad\qquad 0\le {w}_{pj}\le 1\end{array}\right\} \text{，} \end{aligned}$

(3)

式中， ${m_0}$ 为每类所存在的最小序列数。 $\sum\nolimits_{i = 1}^m {{\lambda _{ip}} \geqslant {m_0}}$ 代表 $p$ 类中的每一类的序列数至少是m₀。式（3）的第一项使得所有类内的加权总距离最小，第二项使相邻类间隔的权重更平滑，即类间的区别更明显。通过设置计算序列到各中心的欧式距离，当此距离越近表示序列越相似。

2.2 动态聚类学习流程

该方法旨在最小化目标函数式（3），式（3）的变量由二元矩阵 $\boldsymbol{U}$ ，权重矩阵 $\boldsymbol{W}$ 和聚类中心矩阵 $\boldsymbol{C}$ 构成。采用优化方法，即将其中两个变量作为已知量，采用信息更新方法优化第三变量，当迭代次数达到40次，目标函数（3）收敛条件为10^-6时停止更新。整个优化过程可以分为如下3步。

（1）给定假设的权重矩阵 $\boldsymbol{W}$ 和聚类中心 $\boldsymbol{C}$ ，当式（1）满足式（4），序列被分配到假设聚类中心的类中，各类中心与序列之间的权重距离被最小化。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\lambda }_{ip}\ge {m}_{0}}且{\displaystyle \sum _{p=1}^{k}{\lambda }_{ip}=1};{\lambda }_{ip}\in \{0, 1\} 。$

(4)

（2）当确定权重矩阵 $\boldsymbol{W}$ 和二元矩阵 $\boldsymbol{U}$ 后，通过令式（1）的导数为0求解信息更新后的新聚类中心，具体过程如下：

$\frac{\partial P(\boldsymbol{U}, \boldsymbol{W}, \boldsymbol{C})}{\partial c_{p j}}=2 \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i p} w_{p j}\left(z_{i j}-c_{p j}\right)=0 \text{，}$

(5)

变换得

${c_{pj}} = {{\sum\limits_{i = 1}^m {{\lambda _{ip}}{c_{ij}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sum\limits_{i = 1}^m {{\lambda _{ip}}{c_{ij}}} } {\sum\limits_{i = 1}^m {{\lambda _{ip}}} }}} \right. } {\sum\limits_{i = 1}^m {{\lambda _{ip}}} }} \text{，}$

(6)

通过式（6）可得到更新后的聚类中心。

（3）通过第一、二步确定二元矩阵 $\boldsymbol{U}$ 和聚类中心 $\boldsymbol{C}$ ，此时当式（3）满足

$\sum\limits_{j = 1}^n {{w_{pj}} = 1} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (0 \leqslant {w_{pj}} \leqslant 1) 。$

(7)

式（3）转化为计算权重矩阵 $\boldsymbol{W}$ 的二次规划问题，具体求解方法可以参考文献[25]。

2.3 动态k-means聚类方法验证

为验证该方法在HVSR分类中的性能，选取5%阻尼比的反应谱来进行方法验证。依据《建筑抗震设计规范：GB50011—2010》^[26]，在场地分类为III类条件下，生成两组设计反应谱，两类反应谱见图 5，图 5中第一类反应谱的特征周期为0.9 s，地震影响系数最大值为0.9；第二类反应谱特征周期为0.3 s，地震影响系数最大值为0.79。

图 5 设计反应谱

Figure 5. Design response spectra

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依据上述不同特性反应谱，从PEER强震动数据库中^[27]，分别针对各分类选取50条地震记录。图 6给出了数据的选取情况。

图 6 不同记录反应谱特性

Figure 6. Two clusters of response spectra

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将两组数据利用动态聚类学习方法进行分类测试，结果见图 7。由图 7可知，采用动态聚类学习方法划分的中心和反应谱均值无偏差，展现出良好的聚类性能及鲁棒性。

图 7 反应谱均值与中心匹配

Figure 7. Mean values of response spectra and cluster centroid

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3. 海域地震动谱比法分类

3.1 海域地震动谱比法分类依据

将HVSR结果利用上述动态聚类方法进行聚类。利用误差平方和准则评价聚类性能，表示聚类的畸变程度。给定数据序列 $\boldsymbol{Z}$ ，假设 $\boldsymbol{Z}$ 中的序列可分为 $k$ 类，即 ${\boldsymbol{Z}_1}, {\boldsymbol{Z}_2}, \cdot \cdot \cdot , {\boldsymbol{Z}_k}$ ；各类序列数分别为 ${m_1}, {m_2}, \cdot \cdot \cdot , {m_k}$ ；各类中心分别为 ${c_1}, {c_2}, \cdot \cdot \cdot , {c_k}$ ，则误差平方和准则函数为

$D = \sum\nolimits_{i = 1}^k {\sum\limits_{z \in {Z_i}} {{{(d(z, {c_i}))}^2}} } \text{，}$

(8)

式中， $D$ 为数据序列分为 $k$ 类时的每类数据序列与其中心序列的距离和。 $D$ 越小表示每类数据序列到对应中心的距离越小，越紧凑，分类性能越好。分别令 $k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot , 8$ 进行聚类计算并计算 $D$ ，计算结果见图 8。从中可以看出，随着分类数增大，误差平方和趋于稳定，结合肘部法则^[28]确定最优分类数为 $k = 3$ 。此外为保证每类结果具有统计意义，设置每类最少存在6组HVSR数据序列，即 ${m_0} = 6$ 。

图 8 误差平方和与分类数关系

Figure 8. Identification of optimal number of cluster at the elbow point

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3.2 海域场地特性分析

HVSR动态聚类结果见图 9，对应台站统计如图 10所示。由图 9，10可知：海域场地HVSR曲线无明显峰值或多峰值现象，结合肘部算法，相模湾海区最优化场地可分为三类，结合相模湾海区地貌^[29-30]，综合分为海底峡谷区（KNG203，KNG204）及海洋盆地区（KNG201，KNG202，KNG205，KNG206），两类地貌分类的HVSR谱比呈显著差异，海底峡谷区高频衰减慢且优势频段主要集中在中高频，台站KNG204代表的第一类主要集中在12 Hz，体现了海底峡谷中少量沉积的薄覆盖层环境；台站KNG203代表的第三类优势频带跨度较大（5~10 Hz），台站KNG201，KNG202，KNG205，KNG206则表现为中长周期发育，高频衰减快，呈现出典型的深厚覆盖层的海洋盆地特性。

图 9 HVSR聚类结果

Figure 9. Clustering results of HVSR

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图 10 各海域台站HVSR与类别对应

Figure 10. HVSR of each station corresponding to category

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其次，局部场地地形效应也显著影响海域地震动传播，以台站作为中心点，以类似地貌作为依据，通过采样点与标准点之间的距离（500 m）与高程计算局部场地地形坡度：

$i = h/l \times 100\% \text{，}$

(9)

式中，h为采样点与标准点的平均高程差，l为采样点与标准点距离。

各台站所在局部场地地形坡度见表 2。由表 2可知：海底峡谷区台站KNG203较KNG204场地局部地形平缓度高，存在局部沉积形成的浅覆盖层；海洋盆地区台站KNG201，KNG205，KNG206所在场地局部地形坡度基本一致，KNG202所在场地处于盆地边缘，存在基岩面拉伸导致的局部场地不均匀分布特性。

表 2 局部场地地形坡度

Table 2. Topographic slopes of local site

类别	台站	地貌	坡度	地形	场地特征
一	KNG204	海洋峡谷	4.62	陡峭	薄覆盖层
二	KNG201	海洋盆地	1.39	平缓	厚覆盖层
	KNG205		1.85
	KNG206		1.02
	KNG202		3.81	陡峭	薄覆盖层
三	KNG203	海洋峡谷	0.38	平缓	浅覆盖层

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4. 结论

本文采用动态聚类学习方法结合海域场地HVSR谱比，分析了动态聚类方法在地震动分类的适用性；给出了相模湾海区场地工程特性，结合海洋工程地质给出了海域地形坡度与场地分类关系。希望通过对有限的海域场地地震记录研究，为近海以及海洋工程结构和设施的设计提供合理、科学的工程场地参考。得到以下2点结论。

（1）动态聚类学习方法针对时序数据的聚类性能及鲁棒性强，可满足局部及全局分辨率，应用于场地工程特性分析中，可结合HVSR谱比，最优化、自动化的给出场地分类特性；

（2）HVSR动态聚类的海洋场地特性表明：台站KNG203和KNG204位于海底峡谷区，台站KNG201、KNG202、KNG205、KNG206位于海洋盆地区，两类地貌分类对海域地震动传播影响较大，海底峡谷区高频衰减慢且优势频段主要集中在中高频，通过局部场地地形坡度分析给出了各台站所在场地的工程特性。

图 1 花岗岩级配碎石试验级配曲线及双分形模型拟合曲线

Figure 1. Fitting curves of granite-graded macadam by tests and two-dimensional fractal model

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图 2 渭河粗粒土试验级配曲线及双分形模型拟合曲线

Figure 2. Fitting curves of coarse-grained soil from Weihe River by tests and two-dimensional fractal model

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图 3 砂岩粗粒料试验级配曲线及双分形模型拟合曲线

Figure 3. Fitting curves of sandstone coarse-grained materials by tests and two-dimensional fractal model

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图 4 花岗岩级配碎石渗透系数实测值及计算值

Figure 4. Measured and calculated values of permeability coefficient of granite-graded macadam

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表 1 粗粒土双分形级配模型参数

Table 1 Parameters of two-dimensional fractal gradation model for coarse-grained soil

文献来源	级配编号	级配类型	D₁	D₂	R_T1/mm	R_T2/mm	M_T1	M_T2	R²
文献[4]	JP1	连续	2.592	1.912	45	3.0623	64.00	36.00	0.9971
	JP2	连续	2.588	2.528	45	9.1935	55.00	45.00	0.9972
	JP3	连续	2.564	2.580	45	10.3868	49.95	50.05	0.9980
	JP4	连续	2.500	2.000	45	3.9093	69.00	31.00	0.9983
	JP5	连续	2.512	2.472	45	8.1350	67.25	32.75	0.9966
	JP6	连续	2.616	2.204	45	7.1977	83.15	16.85	0.9969
	JP7	连续	2.400	2.024	45	4.9916	75.00	25.00	0.9996
	JP8	连续	2.400	2.224	45	4.4177	75.00	25.00	0.9991
	JP9	连续	2.396	2.416	45	3.9097	74.35	25.65	0.9981
文献[5]	TYU1	连续	1.904	2.328	20	1.4164	77.00	23.00	0.9962
	TYU2	连续	2.292	0.104	20	0.3199	90.00	10.00	0.9979
	TYU3	连续	2.404	1.284	20	0.6747	92.05	7.95	0.9969
	TYU4	连续	2.308	2.380	20	3.6713	71.15	28.85	0.9960
	TYU5	连续	2.300	2.380	20	6.2355	47.10	52.90	0.9964
	TYU6	连续	2.324	2.296	20	5.0453	41.85	58.15	0.9970
	TYU7	连续	2.404	1.924	20	2.6729	39.95	60.05	0.9981
	TYU8	连续	1.840	1.980	20	2.4032	20.00	80.00	0.9984
	TYU9	连续	2.544	0.848	20	1.1443	28.35	71.65	0.9979
	TYU10	连续	2.692	0.400	20	1.0331	17.00	83.00	0.9974
文献[7]	1-3#	间断	2.600	1.584	60	24.5036	58.00	42.00	0.9927
	1-4#	间断	2.376	2.172	60	24.5033	43.50	56.50	0.9959
	1-7#	间断	2.616	1.704	60	18.9698	66.05	33.95	0.9915
	2-1#	间断	2.620	2.004	60	21.5590	65.00	35.00	0.9928
	2-2#	间断	1.500	2.608	60	27.8484	16.05	83.95	0.9824
	2-3#	间断	2.604	1.204	60	0.5987	76.00	24.00	0.9807

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表 2 渭河粗粒土试样渗透系数实测值及计算值

Table 2 Measured and calculated values of permeability coefficient of coarse-grained soil samples from Weihe River

级配编号	渗透系数k/ (10^-2cm·s^-1)			$\frac{{M{\text{(}}r < {d_{\text{c}}}{\text{)}}}}{{{M_{\text{T}}}}}/$ %	相对误差δ/%
级配编号	试验值	计算值^[5]	式（10）计算值		δ^[5]	δ_式（10）
TYU1	6.70	9.50	6.64	31.54	41.79	0.90
TYU2	4.50	7.90	4.71	31.74	75.56	4.67
TYU3	2.80	—	2.66	35.79	—	5.00
TYU4	2.40	5.20	2.48	41.54	116.67	3.33
TYU5	2.30	4.10	2.31	42.97	78.26	0.43
TYU6	2.10	3.00	1.86	48.13	42.86	11.43
TYU7	1.90	2.20	1.74	72.13	15.79	8.42
TYU8	1.00	1.50	1.35	81.95	50.00	35.00
TYU9	0.96	—	1.07	83.01	—	11.46
TYU10	0.88	—	0.77	92.16	—	12.50
注：相对误差δ=\|k_计算值-k_实测值\|/k_实测值×100%。

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表 3 砂岩粗粒料的渗透系数实测值与计算值

Table 3 Measured and calculated values of permeability coefficient of sandstone coarse-grained materials

级配编号	实测值		$\frac{{M(r < {d_{\text{c}}})}}{{{M_{\text{T}}}}}/$ %	渗透系数计算值/(10^-2 cm·s^-1)					相对误差/%
级配编号	ρ_d/ (g·cm^-3)	k/ (10^-2 cm·s^-1)	$\frac{{M(r < {d_{\text{c}}})}}{{{M_{\text{T}}}}}/$ %	k_式（11）	k_T	k_C	k_水科院	k_杨志浩	δ_式（11）	δ_T	δ_C	δ_水科院	δ_杨志浩
1-3#	1.89	84.10	32.27	84.14	4.15	37.12	149.84	8.78	0.05	95.07	55.86	78.17	89.56
1-4#	1.91	60.71	32.10	60.39	20.45	143.42	138.75	15.62	0.53	66.32	136.24	128.55	74.27
1-7#	1.89	6.17	38.95	5.32	2.51	25.65	31.71	6.09	13.78	59.32	315.72	413.94	1.30
2-1#^①	1.91	7.14	40.80	8.56	1.67	18.21	22.20	4.90	19.89	76.61	155.04	210.92	31.37
2-1#^②	1.82	8.76	40.80	9.22	2.54	27.93	30.93	6.73	5.25	71.00	218.84	253.08	23.17
2-1#^③	1.74	10.64	40.80	10.04	3.50	39.91	40.39	8.79	5.64	67.11	275.09	279.61	17.39
2-2#^①	1.91	0.79	50.08	0.75	0.90	8.80	0.89	2.32	5.06	13.92	1013.92	12.66	193.67
2-2#^②	2.00	0.39	50.08	0.29	0.54	5.53	0.61	1.65	25.64	38.46	1317.95	56.41	323.08
2-2#^③	1.79	1.17	50.08	1.69	1.55	15.47	1.37	3.53	44.44	32.48	1222.22	17.09	201.71
2-3#^①	1.91	0.59	56.83	0.58	0.67	5.17	0.50	1.32	1.69	13.56	776.27	15.25	123.73
2-3#^②	2.00	0.11	56.83	0.11	0.40	3.25	0.34	0.94	0	263.64	2854.55	209.09	754.55
2-3#^③	1.81	0.90	56.83	1.33	1.06	8.30	0.72	1.87	47.78	17.78	822.22	20.00	107.78

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